‌قضیه نابرابری ضلع‌ها

قضیهٔ نابرابری ضلع‌ها

فرض. در مثلث، مانند \(ABC\)، $A\widehat{C}B < A\widehat{B}C$.
حکم. $AB < AC$.

اثبات قضیهٔ نابرابری ضلع‌ها.

با روش برهان غیر مستقیم فرض کنیم حکم نادرست باشد، پس $AB\nless AC$.
در نتیجه $AB=AC$ یا $AC < AB$.
اگر $AB=AC$ باشد، مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است و در نتیجه $A\widehat{C}B = A\widehat{B}C$ که با فرض در تناقض است.
اگر $AC < AB$ باشد، با استفاده از قضیهٔ نابرابری زاویه ها، نتیحه می‌گیریم $A\widehat{‌B}C < A\widehat{C}B$ که با فرض در تناقض است.
در هر دو حالت به نتاقض رسیدیم. پس فرض $AB\nless AC$ ناممکن و حکم درست است.