نهم. فصل ۳. قضیهٔ نیم‌ساز و عکس آن

این قضیه در تمرین ۱۱ صفحهٔ ۹۸ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم نیز شرح داده شده است. اگر کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را دانلود کنید، می‌توانید در صفحهٔ ۴۸ از فصل ۳ این کتاب، قضیهٔ ززض را ببینید.

احتمالاً معلم شما از حالت وتر و یک زاویهٔ حاده استفاده کرده است. به شکل‌های زیر، دقت کنید.

در مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ بالا، \(BC=EF\) و \(\widehat{B}=\widehat{E}\). احتمالاً‌ معلم شما می‌گوید که دو مثلث بالا در حالت وتر و یک زاویهٔ حاده همنهشت‌اند. اما وتر و یک زاویهٔ حاده، یک حالت خاص از قضیهٔ ززض است.
با استفاده از حالت ززض در مثلث‌های بالا، دو زاویهٔ برابر، عبارتند از:
\[\begin{aligned}\widehat{B}&=\widehat{E}\\\widehat{A}&=\widehat{D}=90^\circ.\end{aligned}\] و یکی از ضلع‌های غیر بین این دو زاویه نیز نظیر به نظیر برابرند:
\[BC=EF.\]

اثبات قضیهٔ ززض با استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، بسیار ساده است: «چون دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابر است، و می‌دانیم مجموع زاویه‌های هر مثلث برابر \(180\) درجه است، پس زاویهٔ سوم این دو مثلث نیز برابرند. در نتیجه، حالت ززض تبدیل به حالت زض‌ز می‌شود.»
در مثال بالا، و با استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، واضح است که زاویه‌های \(C\) و \(F\) نیز برابرند و دو مثلث داده شده در حالت زض‌ز همنهشت‌اند.

در واقع، حالت ززض برای همهٔ مثلث‌ها درست است؛ اما کتاب‌های درسی از این حالت فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه استفاده می‌کنند!!!
البته، توجه داشته باشید که برای استفاده از حالت ززض، نظیر‌به‌نظیر بودن ضلع‌های برابر بسیار مهم است. تمرین ۱۱ صفحهٔ ۹۸ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم این نکتهٔ مهم را به‌خوبی آموزش می‌دهد.

همان‌طور که دیدید، اثبات قضیهٔ ززض بسیار آسان بود! و به‌راحتی از قضیهٔ زض‌ز نتیجه شد. حال، سؤالی که پیش می‌آید این است که چرا کتاب‌های ریاضی تکمیلی هشتم و نهم روی این قضیه تأکید کرده‌اند.
در ریاضیات دبیرستانی، فقط هندسه‌ٔ اقلیدسی وجود دارد. و در هندسهٔ اقلیدسی، مجموع زاویه‌های هر مثلث برابر \(180\) درجه است. اما در هندسه‌های نااقلیدسی، مجموع زاویه‌های هر مثلث \(180\) درجه نیست! اثبات دیگری برای قضیهٔ ززض وجود دارد که در آن از \(180\) درجه بودن مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نمی‌شود. و از آن اثبات نتیجه می‌شود که قضیهٔ ززض در هندسه‌های نااقلیدسی نیز درست است.

اگر می‌خواهید دربارهٔ هندسه‌های نااقلیدسی بیشتر بدانید، و همچین اثبات قضیهٔ ززض (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث) را ببینید، کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی را به شما معرفی می‌کنم. البته، همیشه در جلساتی که با معلمان (به‌ویژه معلمان مدارس تیزهوشان) داشته‌ام، به آنها گفته‌ام که کسی که می‌خواهد هندسه درس بدهد، حتماً باید این کتاب (یا کتابی در این سطح) را خوانده باشد …

سلام
احتمالاً منظورشون این بوده که حالت وتر و یک ضلع، صورت خاصی از ززض است.