هشتم. فصل ۲. یادآوری عددهای اول. ماشین کانوی

کسرهای زیر را در نظر بگیرید.

عدد $10$ را در کسرهای فوق به‌ترتیب از چپ به راست ضرب می‌کنیم تا به یک عدد طبیعی برسیم. حاصل‌ضرب $10$ در کسرهای $F1$ تا $F8$ عددی طبیعی نیست ولی حاصل‌ضرب $10$ در $F9$ یک عدد طبیعی و برابر با $5$ است.
اکنون $5$ را در کسرهای جدول از چپ به راست ضرب می‌کنیم تا به یک عدد طبیعی برسیم. اولین عدد طبیعی از حاصل‌ضرب $5$ در کسر $F10$ به‌دست می‌آید که $455$ است.
حال $455$ را در کسرهای جدول از چپ به راست ضرب می‌کنیم تا به یک عدد طبیعی برسیم. اولین عدد طبیعی از حاصل‌ضرب $455$ در کسر $F4$ به‌دست می‌آید که $507$ است.
اگر این‌کار را به‌همین‌صورت ادامه دهیم، دنباله‌ای از اعداد طبیعی حاصل می‌شود.
در این دنباله توان‌های عدد \(10\)، اعداد اول هستند که به ترتیب همه آنها ساخته می‌شوند. یعنی اولین عددی که از توان‌های ۱۰ ساخته خواهد شد $10^2$ است که به عنوان شانزدهمین عدد در دنباله ساخته می‌شود. دومین عددی که از توان‌های ۱۰ ساخته خواهد شد $10^3$ است که به عنوان شصت و هفتمین عدد در دنباله ساخته می‌شود. $10^5$ به عنوان دویست و پنجاه و ششمین عدد ، $10^7$ به عنوان ششصد و هفدهمین عدد و به‌همین‌ترتیب بقیه توان‌های عدد \(10\) ساخته می‌شوند.

5, 455, 507, 1183, 468, 1092, 2548, 2574, 6006, 14014, 14157, 33033, 77077, 20449, 1430, 100, 50, 25, 2275, 2535, 5915, 6591, 15379, 6084, 14196, 33124, 33462, 78078, 182182, 184041, 429429, 1002001, 265837, 18590, 1300, 4900, 4950, 11550, 26950, 27225, 63525, 148225, 39325, 2750, 1750, 1950, 4550, 5070, 11830, 13182, 30758, 12168, 28392, 66248, 66924, 156156, 364364, 368082, 858858, 2004002, 2024451, 4723719, 11022011, 2924207, 204490, 14300, 1000, 500, 250, 125, 11375, 12675, 29575, 32955, 76895, 85683, 199927, 79092, 184548, 430612, 435006, 1015014, 2368366, 2392533, 5582577, 13026013, 3455881, 241670, 16900, 63700, 64350, 150150, 350350, 353925, 825825, 1926925, 511225, 35750, 2500, 1250, 625, 56875, 63375, 147875, 164775, 384475, 428415, 999635, 1113879, 2599051, 1028196, 2399124, 5597956, 5655078, 13195182, 30788758, 31102929, 72573501, 169338169, 44926453, 3141710, 219700, 828100, 836550, 1951950, 4554550, 4601025, 10735725, 25050025, 6645925, 464750, 32500, 122500, 123750, 288750, 673750, 680625, 1588125, 3705625, 983125, 68750, 43750, 48750, 113750, 126750, 295750, 329550, 768950, 856830, 1999270, 2227758, 5198102, 2056392, 4798248, 11195912, 11310156, 26390364, 61577516, 62205858, 145147002, 338676338, 342132219, 798308511, 1862719859, 494190983, 34558810, 2416700, 169000, 637000, 643500, 1501500, 3503500, 3539250, 8258250, 19269250, 19465875, 45420375, 105980875, 28117375, 1966250, 137500, 87500, 97500, 227500, 253500, 591500, 659100, 1537900, 1713660, 3998540, 4455516, 10396204, 4112784, 9596496, 22391824, 22620312, 52780728, 123155032, 124411716, 290294004, 677352676, 684264438, 1596617022, 3725439718, 3763454409, 8781393621, 20489918449, 5436100813, 380146910, 26583700, 1859000, 130000, 490000, 495000, 1155000, 2695000, 2722500, 6352500, 14822500, 14973750, 34938750, 81523750, 82355625, 192163125, 448380625, 118958125, 8318750, 5293750, 5898750, 13763750, 15336750, 35785750, 39875550, 93042950, 103676430, 241911670, 269558718, 628970342, 248823432, 580588008, 1354705352, 1368528876, 3193234044, 7450879436, 7526908818, 17562787242, 40979836898, 41397998499, 96595329831, 225389102939, 59797108943, 4181616010, 292420700, 20449000, 1430000, 100000.

توضیحاتی دربارهٔ ماشین کانوی که در کتاب ریاضی تکمیلی هشتم نیامده!

در واقع، الگوریتم بالا را جان کانوی کشف نکرده است! این الگوریتم را دوین کیلمینستر (Devin Kilminster) در سال \(1999\) کشف کرده است. البته، او این روش را با الگوبرداری از ماشین کانوی یا فرکترن (FRACTRAN) کشف کرده است. فرکترن را جان کانوی در سال \(1987\) معرفی کرد. در فرکترن چهارده کسر وجود دارد:
\[\frac{91}{17},\frac{85}{78},\frac{51}{19},\frac{38}{23},\frac{33}{29},\frac{29}{77},\frac{23}{95},\frac{19}{77},\frac{17}{1},\frac{13}{11},\frac{11}{13},\frac{2}{15},\frac{7}{1},\frac{1}{55}\] تفاوت روش کانوی با روش کیلمینستر این است که در روش کانوی به‌جای \(10\) (و توان‌های اول آن) از \(2\) (و توان‌های اول آن) استفاده می‌شود.
برای مشاهدهٔ برنامه‌ای که به‌طور آنلاین این دو الگوریتم را اجرا می‌کند، اینجا را کلیک کنید.
جالب است بدانید که کیلمینستر بعد از کشف این \(10\) کسر، توانست \(9\) کسر دیگر پیدا کند که همین کار را انجام بدهند! آیا شما می‌توانید با تعداد کمتری کسر، این کار را انجام دهید؟