مسئلهٔ هفته (هفتهٔ بیستم)

سلام
من برای حل این سوال از الگویابی استفاده کردم
ابتدا با خودم این طوری گفتم :
با 1 خط حداکثر دایره به 2 قسمت تقسیم می شود
با 2 خط دایره حداکثر به 4 قسمت تقسیم می شود
(فقط قبل از اینکه من تعداد قسمت ها با 3 را خط را بگم از همین جا باید چند شرطی باید به مسئله اضافه کنم: شرط اول اینه که برای اینکه با تعداد بیشتر از دو خط دایره را تقسیم کنیم اولا باید هر خط همه ی خط ها را قطع کند . ثانیا هر نقطه تقاطع دو خط فقط باید مال همون دو خط باشه منظورم اینه که مثلا سه خط نمی تونه از یک نقطه بگذره چون در این صورت تعداد قسمت ها حداکثر نمی شه . به عنوان مثال با 3 خط اگر مثلا هر 3 تا خط از یک نقطه بگذرند من حساب کردم تعدااد قسمت ها میشه 6 در صورتی که اگر از نقطه همه خط ها نگذرند حداکثر قسمت ها میشه 7.و اگر خواستید تعداد ناحیه ها را بشمارید می توانید از روش نقطه گذاری استفاده کنید یعنی هر ناحیه ای را که می شمارید داخلش نقطه بذارید)
پس با شرایط بالا با 3 خط حداکثر به 7 قسمت تبدیل می شود.
با 4 خط دایره حداکثر به 11 قسمت تقسیم می شود.
با 5 خط دایره حداکثر به 16 قسمت تقسیم می شود.
خب حالا بببینم میشه با این نتایج الگوی ثابتی بدست اورد یا نه
خب اگه به اعداد به دست امده دقت کنید می بینید که فاصله ها اعداد متوالی هستد . اول 2 بعد 3 بعد 4 و بعد 5
خب این شما رو یاد الگوی خاصی نمی اندازه؟؟؟
بله درسته! این همون الگو اعداد مثلثی هست که قبلا به ما یاد دادند.
پس شکل و شمایل جمله عمومی باید به صورت n(n+1) / 2 باشه
اما اگه دقت کنید این با این فرممول همه ی اعداد یکی کمتر در می ایند . مثلا 5 خط : 5*6=30 بعد تقسیم بر دو میشه 15 که خب یکی کمتره اگه برای بقیه هم امتحان کنید و به جای n تعداد خطوط را بگذارید متوجه می شوید جمله ی عمومی باید این طوری باشه: n(n+1) /2+1
یعنی همون الگو اعداد مثلثی به علاوه یک
پس با n خط حداکثر قسمت ها می شود n(n+1)/2 + 1
باتشکر.