مسئلهٔ ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.
دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.

راهنمایی. در زیر، شکلی برای این مسئله رسم شده است.

اندازهٔ دوازده زاویهٔ \(A_1\)، \(A_2\)، \(B_1\)، \(B_2\)، \(C_1\)، \(C_2\)، \(D_1\)، \(D_2\)، \(E_1\)، \(E_2\)، \(E_3\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، اعدادی صحیح هستند.
ابتدا قرار دهید \(\widehat{C}_1=x\)؛ سپس، اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ بالا را برحسب \(x\) به‌دست آورید.

پاسخ تشریحی