مسائل ریاضی آزمون پیشرفت تحصیلی هشتم سمپاد (فروردین ۹۷)

۴۱. تنها با گذاشتن تعدادی پرانتز، کمترین مقداری که از عبارت زیر می‌توان به‌دست آورد، چه عددی است؟ (دقت کنید که در این سؤال منظور از پرانتزگذاری فقط تعیین اولویت عمل است و نمی‌توانید از پرانتزها برای عمل ضرب استفاده کنید.) \[12-8-5\times6-2\times3\]
۱) عددی بین \(0\) و \(-10\)
۲) عددی بین \(-35\) و \(-45\)
۳) عددی بین \(-75\) و \(-85\)
۴) عددی کمتر از \(-100\)

پاسخ تشریحی

۴۲. در یک مربع جادویی \(4\times4\) که با اعداد \(1\) تا \(16\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.)
۱) \(20\)
۲) \(34\)
۳) \(40\)
۴) \(46\)

پاسخ تشریحی

۴۳. در مورد حاصل جمع $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}$ کدام گزینه صحیح است؟
۱) عددی کمتر از \(5\) است.
۲) عددی بین \(5\) تا \(10\) است.
۳) عددی بین \(10\) تا \(15\) است.
۴) عددی بیشتر از \(15\) است.

پاسخ تشریحی

۴۴. اگر برای سه عدد اول $a$، $b$، و $c$ بدانیم که
\[a=\frac{xy+3}{y},\;b=\frac{xy+2y+3}{y},\;c=\frac{xy+4y+3}{y}\]
آنگاه مقدار عددی $a^2+b^2-c^2$ کدام است؟
۱) $-15$
۲) $65$
۳) $x^2-y$
۴) نمی‌توان مشخص کرد.

پاسخ تشریحی

۴۵. اگر \(a<0\)، \(b>0\)، و \(c<0\)، چندتا از عبارت‌های زیر منفی هستند؟
\[ab^2c\quad(b-a)^3\quad(ac^2-b^2c)\quad\frac{a^3b^3}{b^6c^2}\]
۱) حداقل دو تا
۲) حداکثر دو تا
۳) بیش از دو تا
۴) کمتر از دو تا

پاسخ تشریحی

۴۶. معادلهٔ \(x+3y=50\) چند جواب صحیح نامنفی دارد؟
۱) \(16\)
۲) \(17\)
۳) \(25\)
۴) \(26\)

پاسخ تشریحی

۴۷. در بین هر \(10\) عدد طبیعی متوالی …
۱) حداقل یک عدد اول وجود دارد.
۲) حداقل دو عدد اول وجود دارد.
۳) حداکثر چهار عدد اول وجود دارد.
۴) حداکثر پنج عدد اول وجود دارد.

پاسخ تشریحی

۴۸. فرض کنید \(p\) و \(q\) دو عدد اول هستند و تعداد شمارنده‌های طبیعی دو عدد طبیعی \(n\) و \(m\) به‌ترتیب \(p\) و \(q\) هستند. کدام گزینه نادرست است؟
۱) عدد \(n\times m\) دارای \(pq\) شمارندهٔ طبیعی است اگر \((n,m)=1\).
۲) عدد \(n\times m\) دارای \(p+q-1\) شمارندهٔ طبیعی است اگر \((n,m)\ne1\).
۳) عدد \(n^2\times m^2\) دارای \(p^2q^2\) شمارندهٔ طبیعی است اگر \((n,m)=1\).
۴) عدد \(n^2\times m^2\) دارای \(2(p+q)-3\) شمارندهٔ طبیعی است اگر \((n,m)\ne1\).

پاسخ تشریحی

۴۹. یک چندضلعی محدب حداکثر چند زاویهٔ داخلی حاده (تند) دارد؟
۱) یکی
۲) دو تا
۳) سه تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی

۵۰. چندتا از تساوی‌های زیر به‌ازای هر مقدار عددی برای متغیرها همواره درست هستند؟
\[\begin{aligned}&(a-b)(a^2-ab+b^2)=a^3-b^3\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1).\end{aligned}\]
۱) یکی
۲) دو تا
۳) سه تا
۴) چهار تا

پاسخ تشریحی

۵۱. با توجه به شکل زیر، کدام رابطه درست است؟

۱) \(\overset{\rightarrow}{a}+\overset{\rightarrow}{b}+\overset{\rightarrow}{c}+\overset{\rightarrow}{d}+\overset{\rightarrow}{e}+\overset{\rightarrow}{f}+\overset{\rightarrow}{g}+\overset{\rightarrow}{h}=\overset{\rightarrow}{0}\)
۲) \(\overset{\rightarrow}{a}-\overset{\rightarrow}{b}+\overset{\rightarrow}{c}-\overset{\rightarrow}{d}=\overset{\rightarrow}{e}-\overset{\rightarrow}{f}+\overset{\rightarrow}{g}-\overset{\rightarrow}{h}\)
۳) \(\overset{\rightarrow}{a}+\overset{\rightarrow}{b}+\overset{\rightarrow}{c}=\overset{\rightarrow}{h}+\overset{\rightarrow}{g}+\overset{\rightarrow}{f}\)
۴) \(\overset{\rightarrow}{a}+\overset{\rightarrow}{c}+\overset{\rightarrow}{e}+\overset{\rightarrow}{g}=\overset{\rightarrow}{b}+\overset{\rightarrow}{d}+\overset{\rightarrow}{f}+\overset{\rightarrow}{h}\)

پاسخ تشریحی

۵۲. مجموع شش زاویهٔ مشخص شده در شکل چند درجه است؟

۱) $180^\circ$
۲) $270^\circ$
۳) $360^\circ$
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

۵۳. فرض کنید \(A=\Big[{2\atop3}\Big]\)، \(B=\Big[{7\atop15}\Big]\)، و \(C=\Big[{-5\atop20}\Big]\) مختصات سه رأس از مربع \(ABCD\) هستند. مختصات نقطهٔ \(D\) کدام است؟
۱) \(\Big[{-4\atop38}\Big]\)
۲) \(\Big[{-10\atop8}\Big]\)
۳) \(\Big[{14\atop-2}\Big]\)
۴) \(\Big[{0\atop32}\Big]\)

پاسخ تشریحی

۵۴. در شکل زیر، مقدار \(x\) کدام است؟

۱) \(12\)
۲) \(20\)
۳) \(21\)
۴) \(29\)

پاسخ تشریحی

۵۵. در چهارضلعی \(ABCD\)، قطرهای \(AC\) و \(BD\) برهم عمودند. اگر \(AB=17\)، \(BC=38\)، و \(CD=34\)، مقدار \(DA\) کدام است؟
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی

۵۶. در شکل زیر، مقدار \(xy\) کدام است؟

۱) $\sqrt{1353}$
۲) $\sqrt{1397}$
۳) $\sqrt{2017}$
۴) $\sqrt{2005}$

پاسخ تشریحی

۵۷. در شکل زیر، \(AH=6\) و \(BH=9\). مساحت مستطیل \(ABCD\) کدام است؟

۱) \(39\)
۲) \(54\)
۳) \(78\)
۴) \(108\)

پاسخ تشریحی

۵۸. مطابق شکل زیر قرار است دو تیر عمودی با ارتفاع‌های \(4\) و \(5\) و به فاصلهٔ \(10\) متر از هم را با کابلی به زمین ببندیم. دو سر کابل به بالای تیرها بسته شده و در بین راه به زمین متصل شده است. کوتاهترین کابلی را که می‌توان با آن این کار را انجام داد کدام است؟

۱) \(\sqrt{41}+\sqrt{50}\)
۲) \(\sqrt{177}\)
۳) \(5+\sqrt{74}\)
۴) \(\sqrt{181}\)

پاسخ تشریحی

۵۹. با کمک یک (یا چند) پرانتزگذاری، در عبارت \(2^{3^{4^5}}\) به چند عدد متفاوت می‌توان دست یافت؟
۱) \(4\)
۲) \(5\)
۳) \(6\)
۴) \(7\)

پاسخ تشریحی

۶۰. کدام‌یک از اعداد زیر بزرگ‌تر است؟
۱) \(\sqrt{24}+\sqrt{17}\)
۲) \(\sqrt{18}+\sqrt{23}\)
۳) \(\sqrt{19}+\sqrt{22}\)
۴) \(\sqrt{20}+\sqrt{21}\)

پاسخ تشریحی