هفته اول دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی هشتم سمپاد

اگر منظور سؤال دقیقاً همان مثلث رسم شده باشد، راه‌حل حمید درست است و ایرادی ندارد. اما در مسائل هندسه، منظور از «در شکل زیر» دقیقا‌ً همان شکل رسم شده نیست! منظور همهٔ شکل‌هایی با آن خاصیت داده شده هستند. توجه داشته باشید که همهٔ مسائل هندسه را می‌توان بدون رسم شکل، نوشت. برای مثال، صورت مسئلهٔ حمید را می‌توان این‌گونه نوشت:

در مثلث $ABC$، دو ضلع $AB$ و $AC$ برابرند، و نقاط $D$ و $E$ به‌ترتیب روی ضلع‌ $AB$ و امتداد ضلع $AC$ (از طرف $C$)، طوری قرار دارند که $BD=CE$. اگر پاره‌خط $DE$ ضلع $BC$ را در نقطهٔ‌ $F$ قطع کند، آنگاه ثابت کنید پاره‌خط‌های $FD$ و $FE$ برابرند.

اگر حمید یک شکل برای مسئله بالا رسم کند و همان راه‌حل قبلی را به‌کار ببرد، راه‌حل او فقط برای شکلی که کشیده‌، درست است؛ اما می‌دانیم با توجه به متن این مسئله، می‌توان شکل‌های بسیار دیگری، متفاوت از شکل حمید، رسم کرد. بنابراین، باید راه‌حلی بسازیم که برای همهٔ شکل‌های ممکنِ این مسئله کارساز باشد.

واضح است که فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{0\atop4}\Big]$ تا مبدأ مختصات، برابر $4$ واحد است.

واضح است که فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{-5\atop0}\Big]$ تا مبدأ مختصات، برابر $5$ واحد است.

فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{-3\atop3}\Big]$ تا مبدأ مختصات، برابر $\sqrt{18}$ است.

با توجه به شکل زیر، برای به‌دست آوردن فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{-3\atop3}\Big]$ از مبدأ مختصات، کافی است طول وتر مثلث آبی‌رنگ را محاسبه کنیم.

با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&x^2=3^2+3^2\\&\Rightarrow x^2=9+9\\&\Rightarrow x^2=18\\&\Rightarrow x=\sqrt{18}.\end{aligned}\]

فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{2\atop-3}\Big]$ تا مبدأ مختصات، برابر $\sqrt{13}$ است.

با توجه به شکل زیر، برای به‌دست آوردن فاصلهٔ نقطهٔ $\Big[{2\atop-3}\Big]$ از مبدأ مختصات، کافی است طول وتر مثلث صورتی را محاسبه کنیم.

با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&y^2=2^2+3^2\\&\Rightarrow y^2=4+9\\&\Rightarrow y^2=13\\&\Rightarrow x=\sqrt{13}.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در شکل زیر، هریک از مثلث‌های زرد، آبی، و سبز، مثلث‌هایی قائم‌الزاویه هستند.

طول وتر مثلث‌های زرد، آبی، و سبز به‌ترتیب برابر $\sqrt{2}$، $3\sqrt{2}$،‌ و $\sqrt{10}$ است.

بنابه قضیهٔ فیثاغورس،
طول وتر مثلث‌های زرد برابر است با:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2+1^2}&=\sqrt{1+1}\\&=\sqrt{2}.\end{aligned}\]
طول وتر مثلث آبی برابر است با:
\[\begin{aligned}\sqrt{3^2+3^2}&=\sqrt{3^2\times2}\\&=3\sqrt{2}.\end{aligned}\]و طول وتر مثلث سبز برابر است با:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2+3^2}&=\sqrt{1+9}\\&=\sqrt{10}.\end{aligned}\]

در نتیجه، محیط شکل صورتی برابر است با:
\[\begin{aligned}&4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}\\&=7\sqrt{2}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، محل برخورد قطرهای چهارضلعی $ABCD$ را $E$ می‌نامیم و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[AE=x,\;BE=y,\;CE=w,\;DE=z\]

اگر مقدار $x^2+z^2$ را داشته باشیم، آنگاه می‌توانیم مقدار $DA$ را به‌دست آوریم.

چون بنابه قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $AED$ داریم:
\[x^2+z^2=DA^2\]

برای یافتن مقدار $x^2+z^2$ از سه رابطهٔ زیر استفاده می‌کنیم. بنابه قضیهٔ فیثاغورس در مثلث‌های $ABE$، $BCE$، و $CDE$ داریم:
\[\begin{aligned}&x^2+y^2=17^2\quad(1)\\&y^2+w^2=38^2\quad(2)\\&w^2+z^2=34^2\quad (3)\end{aligned}\]
از رابطه‌های $(1)$، $(2)$، و $(3)$ نتیجه می‌شود:
\[x^2+z^2=1\]

می‌دانیم طرفین دو معادله را می‌توان باهم جمع زد یا از هم کم کرد. پس می‌توانیم ابتدا طرفین معادلهٔ (۲) را از طرفین معادلهٔ (۱) کم کنیم و سپس طرفین معادلهٔ حاصل را با طرفین معادلهٔ (۳) جمع بزنیم.
\[\begin{aligned}&\big(x^2+y^2\big)-\big(y^2+w^2\big)+\big(w^2+z^2\big)=17^2-38^2+34^2\\&\Rightarrow x^2+y^2-y^2-w^2+w^2+z^2=289-1444+1156\\&\Rightarrow x^2+z^2=1.\end{aligned}\]

پس $DA^2=1$ و در نتیجه $DA=1$.

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط $AD$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $P$ به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ $N$ روی پاره‌خط $AB$ داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]

اگر نقطهٔ $N$ روی نقطهٔ $A$ باشد، حکم واضح است.
اگر نقطهٔ $N$ روی نقطهٔ $A$ نباشد، آن‌وقت مثلث‌های $ADN$ و $APN$ در حالت ض‌ز‌ض ‌همنهشت هستند؛ زیرا:
$\bullet$ ضلع‌ها $AD$ و $AP$ برابرند.
$\bullet$ زاویه‌های $DAN$ و $PAN$ قائمه هستند.
$\bullet$ ضلع $AN$ در دو مثلث، مشترک است.

در نتیجه، $DN=PN$.

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند $N$، روی پاره‌خط $AB$ بیابیم به‌طوری‌که $CN+DN$ کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از $C$ به $P$ پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با $AB$ را $N$ می‌نامیم. در این حالت، $CN+DN$ کوتاهترین کابل است.

چون $DN=PN$، پس کافی است نقطهٔ $N$ را طوری بیابیم که $CN+PN$ کمترین مقدار ممکن باشد.
می‌دانیم کوتاهترین فاصلهٔ ممکن بین دو نقطه، طول پاره‌خطی است که آن دو نقطه را به‌هم متصل می‌کند. پس اگر از $C$ به $P$ پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با $AB$ را $N$ بنامیم، آن‌وقت $CN+DN$ کوتاهترین کابل است.

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر $\sqrt{181}$ است.

از نقطهٔ $P$ خطی بر $BC$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم.

چون $AB=PH$(؟)، پس با به‌کارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $CPH$ داریم:
\[\begin{aligned}&CP^2=CH^2+PH^2\\&\Rightarrow CP^2=9^2+10^2\\&\Rightarrow CP^2=81+100\\&\Rightarrow CP^2=181\\&\Rightarrow CP=\sqrt{181}.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، بنابه‌ رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ داریم:
\[\begin{aligned}CN+DN&=CN+PN\\&=CP\\&=\sqrt{181}.\end{aligned}\]

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند $N$، روی پاره‌خط $AB$ وجود دارد که $CN+DN$ کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

می‌توان ثابت کرد: \[B\widehat{M}D=C\widehat{N}D.\quad (1)\]

می‌دانیم در لوزی زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟). پس $A\widehat{M}D=A\widehat{N}D$؛ چون این دو زاویه برابرند، پس مکمل‌های آنها نیز با یکدیگر برابرند، یعنی:
\[B\widehat{M}D=C\widehat{N}D.\]

و همچنین به‌سادگی می‌توان ثابت کرد: \[BM=CN.\quad(2)\]

چون چهارضلعی $AMDN$ لوزی است، پس
\[AM=AN.\]
از طرفی، چون در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ داریم $AB=AC$، پس:
\[\begin{aligned}&AB-AM=AC-AN\\&\Rightarrow BM=CN.\end{aligned}\]

دو مثلث $BMD$ و $CND$ در حالت ض‌زض همنهشت هستند.

بنابه رابطهٔ $(1)$، $B\widehat{M}D=C\widehat{N}D$.
بنابه رابطهٔ $(2)$، $BM=CN$.
چون چهارضلعی $AMDN$ لوزی است، پس $MD=ND$.

از همنهشتی دو مثلث $BMD$ و $CND$ نتیجه می‌شود:
\[BD=CD.\]

از $A$ بر امتداد $CD$ عمودی رسم می‌کنیم و پای عمود را $F$ می‌نامیم.

چهارضلعی $AFCE$ سه زاویهٔ قائمه دارد. پس، زاویهٔ چهارم آن نیز قائمه است و در نتیجه، $AFCE$ مستطیل است. در ادامه ثابت می‌کنیم که $AFCE$ مربع است. برای این کار، کافی است نشان دهیم ضلع‌های $AE$ و $AF$ برابرند.

دو مثلث $ABE$ و $ADF$ در حالت ززض همنهشت‌اند.

چون چهارضلعی $AFCE$ مستطیل است، پس $E\widehat{A}F=90^\circ$. از طرفی، بنابه فرض مسئله می‌دانیم $B\widehat{A}D=90^\circ$. پس در شکل زیر، داریم:
\[\left.\begin{aligned}\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=90^\circ\\\widehat{A}_1+\widehat{A}_2=90^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}_1=\widehat{A}_3.\quad(1)\]

بنابه داده‌های مسئله و عمودی که از $A$ بر امتداد $CD$ رسم کردیم، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{E}B=A\widehat{F}D=90^\circ\quad(2)\\&AB=AD.\quad(3)\end{aligned}\] حال، از رابطه‌های $(1)$،$(2)$، و $(3)$ نتیجه می‌شود که دو مثلث $ABE$ و $ADF$ در حالت ززض همنهشت‌اند.

از همنهشتی دو مثلث $ABE$ و $ADF$ نتیجه می‌‌شود که ضلع‌های $AE$ و $AF$ برابرند. پس، چهارضلعی $AFCE$ مربع است. همچنین، با توجه به همنهشتی دو مثلث $ABE$ و $ADF$ داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABCD}&=S_{ABE}+S_{AECD}\\&=S_{ADF}+S_{AECD}\\&=S_{AFCE}.\end{aligned}\] یعنی مساحت چهارضلعی $ABCD$ با مساحت مربع $AFCE$ برابر است. در نتیجه، مساحت مربع $AFCE$ برابر $100$ است. پس طول هر ضلع آن برابر است با \[\sqrt{100}=10.\] بنابراین، $AE=10$.

توجه کنید که در این مسئله، مشخص نیست که قطر $AC$ چهارضلعی را به دو مثلث همنهشت تقسیم کرده است یا قطر $BD$.

$\bullet$ $‌B\widehat{A}D=B\widehat{C}D$ همواره درست نیست.

مثال نقض: در شکل زیر، قطر $AC$ چهارضلعی $ABCD$ را به دو مثلث همنهشت تقسیم کرده است، ولی $B\widehat{A}D\ne B\widehat{C}D$.