مطالب تدریس شده در کلاس

1. در چند تا از شکل‌های داده شده می‌توان با قرار دادن پیکان به‌جای تمام پاره‌خط‌های کشیده شده، و قرار دادن تعدادی عدد طبیعی بر تمام رأس‌ها، آن را تبدیل به نموداری کرد که اگر از $a$ به $b$ یک پیکان باشد، آنگاه $a$ شمارنده‌ای از $b$ باشد و برعکس؟






پاسخ را نشان بده!

در هر سه شکل می‌توان این کار را انجام داد. برای مثال،





---

2. در شکل زیر، برای هر نقطه یک عدد در نظر گرفته‌ایم و هر دو نقطه‌ای که ب‌م‌م آنها غیر از یک است را به‌هم وصل کرده‌ایم. کوچک‌ترین عددی که می‌توان برای نقطهٔ \(A\) در نظر گرفت، چند است؟




پاسخ را نشان بده!

\(A\) نمی‌تواند برابر \(2\) باشد.
چرا؟

اگر \(A\) برابر \(2\) باشد، آن‌وقت اعداد روی نقطه‌های قرمز و آبی شکل زیر، باید مضربی از \(2\) باشند.



دراین‌صورت چون ب‌م‌م اعداد روی نقطه‌های قرمز و آبی غیر از \(1\) است (حداقل برابر \(2\) است)، پس باید پاره‌خطی این دو نقطه را به‌هم وصل کند؛ چون چنین پاره‌خطی در شکل وجود ندارد پس نمی‌توانیم \(A\) را برابر \(2\) قرار دهیم.

\(A\) می‌تواند برابر \(6\) باشد.
چرا؟

برای اینکه نشان دهیم \(A\) می‌تواند برابر \(6\) باشد، کافی است یک مثال بسازیم که در آن \(A\) برابر \(6\) باشد.



---

پرسش ۱. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(30\) باشد؟

پرسش ۲. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(210\) باشد؟

پرسش ۳. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(49\) باشد؟

پرسش ۴. تعداد شمارنده‌های اول \(A\) حداقل چندتا باید باشد؟ چرا؟

---

3. صد لامپ را با شماره‌های \(1\) تا \(100\) شماره‌گذاری کرده‌ایم. هر لامپ یک کلید دارد که با فشار دادن آن، لامپ روشن یا خاموش می‌شود. در ابتدا همهٔ لامپ‌ها خاموش بودند. صد دیوانه، کلید لامپ‌ها را به‌صورت زیر فشار دادند.
   دیوانهٔ اول کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(1\) را \(1\)بار فشار داد.
   دیوانهٔ دوم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(2\) را \(2\)بار فشار داد.
   دیوانهٔ سوم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(3\) را \(3\)بار فشار داد.
   دیوانهٔ چهارم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(4\) را \(4\)بار فشار داد.
   \(\quad\vdots\)
   دیوانهٔ صدم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(100\) را \(100\)بار فشار داد.

   حالا تعدادی از لامپ‌ها روشن‌اند. حاصل‌جمع شمارهٔ لامپ‌های روشن را به‌دست آورید.

   پاسخ را نشان بده!

   کلید هر لامپ به تعداد مجموع مقسوم‌علیه‌هایش فشار داده می‌شود. برای مثال، کلید لامپ \(4\) را \(1\)بار دیوانهٔ اول، \(2\)بار دیوانهٔ دوم، و \(4\)بار دیوانهٔ چهارم فشار می‌دهد. بنابراین، تعداد دفعاتی که کلید لامپ \(4\) فشار داده می‌شود برابر است با:\[1+2+4=7.\] پس برای اینکه شمارهٔ لامپ‌‌های روشن را بیابیم، باید اعداد کوچک‌تر یا مساوی \(100\) را مشخص کنیم که مجموع مقسوم‌علیه‌های هریک از آن‌ها عددی فرد باشد.
   مجموع مقسوم‌علیه‌های یک عدد وقتی فرد است که تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد آن عدد، فرد باشد.
   چرا؟

   برای اینکه سؤال واضح‌تر شود، عدد \(18\) را بررسی می‌کنیم.
   تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد عدد \(18\)، فرد است. زیرا مقسوم‌علیه‌های \(18\) عبارتند از
   \[{\color{red}1},2,{\color{red}3},6,{\color{red}9},18.\]
   پس \(18\)، سه‌تا مقسوم‌علیه فرد دارد: \(1\)، \(3\)، و \(9\).

   هر عدد، تعدادی مقسوم‌علیه فرد و تعدادی مقسوم‌علیه زوج دارد. می‌دانیم:
   \(\bullet\) مجموع هر تعداد عدد زوج، عددی زوج است،
   \(\bullet\) مجموع زوج‌تا عدد فرد، عددی زوج است،
   \(\bullet\) و مجموع فردتا عدد فرد، عددی فرد است.
   پس فقط در صورتی مجموع مقسوم‌علیه‌های یک عدد، عددی فرد است که تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد آن، عددی فرد باشد.

   هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت \(2^n\times k\) نوشت که \(n\) یک عدد صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد.
   می‌شه چندتا مثال بزنید؟!

   \[\begin{aligned}&4=2^2\times1\\&27=2^0\times27\\&18=2^1\times9.\end{aligned}\]

   فرض کنید \(m=2^n\times k\) (که \(n\) یک عددی صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد)، آنگاه مقسوم‌علیه‌های فرد \(m\) دقیقاً مقسوم‌علیه‌های \(k\) هستند. تعداد مقسوم‌علیه‌های \(k\) وقتی فرد است که \(k\) مربع کامل باشد.
   چرا؟

   در زیر، روشی ارائه می‌کنیم که با استفاده از آن بتوانیم (بدونِ شمارشِ تعدادِ شمارنده‌های یک عدد طبیعی) زوج یا فرد بودن تعداد شمارنده‌های آن عدد را مشخص کنیم.

   یادآوری. باتوجه‌به تعریفِ شمارندهٔ یک عدد طبیعی، اگر $a$ شمارندهٔ عدد طبیعی $n$ باشد، آنگاه عددی طبیعی، مانند $b$ وجود دارد به‌طوری‌که $n=a\times b$. دراین‌صورت $b$ نیز شمارندهٔ $n$ است. برای مثال، اگر $n=24$ و $a=6$، آنگاه $b=4$ (اعداد \(4\) و \(6\) شمارنده‌های \(24\) هستند).

    

   می‌خواهیم شمارنده‌های هر عدد طبیعی را به‌صورت جفت‌جفت بنویسیم. برای مثال، شمارنده‌های \(99\) را می‌توان به‌صورت زیر، جفت‌جفت نوشت:
   \[\begin{aligned}99&=1\times99\\&=3\times33\\&=9\times11.\end{aligned}\]
   همان‌طور که می‌بینید، جفتِ \(1\)، \(99\)، جفتِ \(3\)، \(33\)، و جفتِ \(9\)، \(11\) است.
   اگر شمارنده‌های هر عدد طبیعی را (به‌صورت بالا) جفت‌جفت بنویسیم (بدون شمارشِ تعدادِ شمارنده‌ها) می‌توان نتیجه گرفت که تعدادِ شمارنده‌های همهٔ عددهای طبیعی، زوج است به‌جز اعدادی که در یکی از جفت‌ها یک شمارنده تکرار می‌شود. برای مثال، شمارنده‌های عدد \(81\) را در نظر بگیرید:
   \[\begin{aligned}81&=1\times 81\\&=3\times 27\\&=9\times 9.\end{aligned}\]
   در سطرِ آخرِ رابطهٔ بالا، جفتِ \(9\)  خود \(9\) است.
   واضح است که اگر در عددی شمارنده‌ها را جفت‌جفت بنویسیم و جفتِ یکی شمارنده‌ها خودش باشد، آن‌وقت آن عدد، مربع کامل است. پس فقط تعدادِ شمارنده‌های اعدادِ مربع کامل، فرد است.

   به‌ این ترتیب، عددهایی که به‌دنبال آنها هستم به‌صورت \(a^2\times2^n\) هستند که \(a\) عددی فرد و \(n\) یک عدد صحیح نامنفی است. این اعداد عبارتند از:
   \[\begin{aligned}&1^2\times2^0=1\\&1^2\times2^1=2\\&1^2\times2^2=4\\&1^2\times2^3=8\\&1^2\times2^4=16\\&1^2\times2^5=32\\&1^2\times2^6=64\\[5pt]&3^2\times2^0=9\\&3^2\times2^1=18\\&3^2\times2^2=36\\&3^2\times2^3=72\\[5pt]&5^2\times2^0=25\\&5^2\times2^1=50\\&5^2\times2^2=100\\[7pt]&7^2\times2^0=49\\&7^2\times2^1=98\\[5pt]&9^2\times2^0=81.\end{aligned}\]
   و حاصل‌جمع این اعداد برابر \(665\) است.

   ---

4. مجید، سعید، و وحید هر کدام \(k\) مهره دارند که \(k\) عددی اول است. هر کدام از آنها به‌اندازهٔ یک عدد اولِ دلخواه از مهره‌هایشان جدا می‌کنند و به‌ترتیب \(6\)، \(26\)، و \(36\) مهره باقی می‌ماند. حداقل تعداد مهره‌هایی که سعید جدا کرده چقدر است؟
پاسخ را نشان بده!

فرض کنیم که مجید، سعید، و وحید به‌ترتیب \(p\)، \(q\)، و \(r\) مهره برداشته باشند. در این صورت داریم:
\[\begin{aligned}k-p&=6\\k-q&=26\\k-r&=36.\end{aligned}\]
بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}k-r=36\\k-q=26\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(k-r)-(k-q)=36-26\\&\Rightarrow k-r-k+q=10\\&\Rightarrow q-r=10.\end{aligned}\]
چون می‌دانیم که \(q\) و \(r\) اعدادی اول هستند و \(q-r=10\)، پس \(q\geq13\). اما \(q\) نمی‌تواند برابر \(13\) باشد.
چرا؟

اگر \(q=13\)، چون:
\[q-r=10\Rightarrow r=3.\]
در این‌ صورت، داریم:
\[k-r=36\Rightarrow k=39.\]
اما می‌دانیم که \(k\) عددی اول است ولی \(39\) اول نیست. زیرا:
\[39=3\times13.\]

بنابراین، حداقل مقدار \(q\) برابر \(17\) است.

چرا؟

اگر \(q=17\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&k-q=26\\&\Rightarrow k-17=26\\&\Rightarrow k=43.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&k-r=36\\&\Rightarrow 43-r=36\\&\Rightarrow r=7,\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&k-p=6\\&\Rightarrow 43-p=6\\&\Rightarrow p=37.\end{aligned}\]

پس اگر \(q=17\)، آن‌وقت همهٔ شرایط مسئله برقرار است.

---

پرسش. مجید، سعید، و وحید هر کدام \(k\) مهره دارند که \(k\) عددی اول است. هر کدام از آنها به‌اندازهٔ یک عدد اولِ دلخواه از مهره‌هایشان جدا می‌کنند و به‌ترتیب \(6\)، \(26\)، و \(36\) مهره باقی می‌ماند. آیا می‌توانید همهٔ مقادیر \(k\) را بیابید به‌طوری‌که \(k <200\)؟


---

5. سه جهانگرد خسته و کوفته به یک مهمانسرا رفتند. آنها بر سر یک میز نشستند و سفارش یک بشقاب کوفته برنجی دادند. تا پیشخدمت غذا را بیاورد هر سه چرتی کوتاه زدند. بعد از مدتی یکی از جهانگردها از خواب بیدار شد و \(\frac{1}{3}\) بشقاب را خورد و دوباره به خواب رفت. سپس دومی بیدار شد و غافل از اینکه دوستش غذا را خورده است، او هم \(\frac{1}{3}\) غذای باقی‌مانده را خورد و خوابید. آخر سر، جهانگرد سوم بیدار شد و \(\frac{1}{3}\) غذای باقی‌مانده را خورد. صبح روز بعد که پیشخدمت رستوران آمد، هشت عدد کوفته در بشقاب مانده بود. پیشخدمت چندتا کوفته برایشان آورده بوده است؟
پاسخ را نشان بده!

می‌دانیم هر جهانگرد \(\frac{1}{3}\) غذایی را که در بشقاب بوده، خورده است. پس هر جهانگرد \(\frac{2}{3}\) غذایی را که در بشقاب بوده، باقی گذاشته است.
از آخر مسئله به اول آن می‌ٰرویم. جهانگرد سوم که \(8\) کوفته به‌جا گذاشته، \(8\times\frac{3}{2}\) کوفته داشته است. همین‌طور، جهانگرد دوم که \(12\) کوفته باقی گذاشته، \(18\) کوفته و جهانگرد اول
\[8\times\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}=27\] کوفته داشته است.

---

6. فرض کنید \(n\) یک عدد صحیح مثبت باشد. اگر \(n\) مضرب \(7\) باشد و جذر آن عددی بین \(17\) و \(18\)، آنگاه چند مقدار ممکن برای \(n\) داریم؟
پاسخ را نشان بده!

جذر \(n\) بین \(17\) و \(18\) است، پس عدد \(n\) بین \(17^{2}=289\) و \(18^{2}=324\) است.

\(n\) مضرب \(7\) است، بنابراین باید اعداد مضرب \(7\) بین \(289\) و \(324\) را در نظر بگیریم.

چون \(41 \times 7 = 287\) و \(42 \times 7 = 294\) پس \(294\) کوچک‌ترین مضرب \(7\) است که بزرگ‌تر از \(289\) است.

و چون \(46 \times 7 = 322\) و \(47\times 7=329\) پس \(322\) بزرگ‌ترین مضرب \(7\) است که کوچک‌تر از \(324\) است.

درنهایت مضارب \(7\) بین \(289\) و \(324\)، برابرند با:
\[\begin{aligned}42\times 7 =& 294\\43 \times 7 =& 301\\44 \times 7 =& 308\\45\times7 =& 315\\46 \times 7 =& 322.\end{aligned}\]

تعداد حالت‌های ممکن برای \(n\) برابر با \(5\) است.

---

7. اگر \(0<a<b<c\)، و بدانیم \(b\) به $a$ نزدیک‌تر از \(c\) است، برای چندتا از حالت‌های زیر، مثال عددی وجود دارد؟


حالت اول) \(\sqrt{b}\) به \(\sqrt{a}\) نزدیک‌تر از \(\sqrt{c}\) است.
حالت دوم) \(\sqrt{b}\) به \(\sqrt{c}\) نزدیک‌تر از \(\sqrt{a}\) است.
حالت سوم) فاصلهٔ \(\sqrt{b}\) از \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{c}\) برابر است.

پاسخ را نشان بده!

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{100},\;b=\frac{4}{100},\;c=\frac{81}{100}\]
در این مثال، فرض‌های مسئله برقرار است و $\sqrt{b}$ به $\sqrt{a}$ نزدیک‌تر از $\sqrt{c}$ است. زیرا:
\[\sqrt{a}=\frac{1}{10},\;\sqrt{b}=\frac{2}{10},\;\sqrt{c}=\frac{9}{10}.\]

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{100},\;b=\frac{36}{100},\;c=\frac{81}{100}\]
در این مثال، فرض‌های مسئله برقرار است و $\sqrt{b}$ به $\sqrt{c}$ نزدیک‌تر از $\sqrt{a}$ است. زیرا:
\[\sqrt{a}=\frac{1}{10},\;\sqrt{b}=\frac{6}{10},\;\sqrt{c}=\frac{9}{10}.\]

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{100},\;b=\frac{25}{100},\;c=\frac{81}{100}\]
در این مثال، فرض‌های مسئله برقرار است و فاصلهٔ $\sqrt{b}$ از $\sqrt{a}$ و $\sqrt{c}$ برابر است. زیرا:
\[\sqrt{a}=\frac{1}{10},\;\sqrt{b}=\frac{5}{10},\;\sqrt{c}=\frac{9}{10}.\]

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد.


---

تمرین‌های روزانه

1. می‌توان با قرار دادن \(15\) عدد طبیعی متفاوت بر تمام رأس‌های شکل زیر، آن را به نموداری تبدیل کرد که اگر از \(a\) به \(b\) یک پیکان باشد، آنگاه \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشند و برعکس، اگر \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشد یک پیکان از \(a\) به \(b\) باشد. حاصل‌ضرب این پانزده عدد دست‌کم چند شمارندهٔ اول دارد؟




---

2. چندتا از اعداد فرد مرکب بین \(50\) تا \(100\) را نمی‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب تعدادی عدد اول متمایز نوشت؟

---

3. چند مقدار مختلف برای \(a+b\) وجود دارد اگر بدانیم \((a,b)=10\) و \([a,b]=10^{1397}\)؟

---

4. چند عدد دو رقمی وجود دارد که تعداد شمارنده‌های اول آن سه‌‌تا باشد؟

---

5. برای چندتا از موارد زیر، مثال عددی وجود دارد؟


مورد اول) عدد مثبت \(x\) که \(x^2<\sqrt{x}\)
مورد دوم) عدد مثبت $x$ که \(x<\sqrt{x}<2x\)
مورد سوم) عدد مثبت $x$ که \(\frac{1}{2}x<\sqrt{x}<x\)

---