الگوی عددی زیر را ببینید:
اگر الگوی بالا را ادامه دهیم، قطر اول این الگو، دنبالهٔ\[1,2,3,4,5,6,\dots\]است که از $1$ شروع می‌شود و هر عدد یک واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
و قطر دوم این الگو، دنبالهٔ\[2,4,6,8,10,\dots\]است که از $2$ شروع می‌شود و هر عدد دو واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
به‌همین‌ترتیب، قطر $n$اُم این الگو با عدد $n$ شروع می‌شود و هر عدد $n$ واحد از عدد قبلی بزرگ‌تر است.
عدد \(2021\) برای اولین‌بار در چندمین سطر افقی این الگو ظاهر می‌شود؟
عدد \(2021\) را تجزیه می‌کنیم: \[2021=43\times47.\] بنابراین، همهٔ حالت‌هایی که می‌توان \(2021\) را بهصورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی نوشت، این‌گونه است: \[\begin{aligned}2021&=1\times2021\\&=43\times47.\end{aligned}\] حال با توجه به الگوی داده شده، از \(2021=1\times2021\) نتیجه می‌شود که \(2021\) در سطر \(2021\) ظاهر می‌شود؛ و از \(2021=43\times47\) نتیجه می‌شود که \(2021\) در سطر \(43+47-1=89\) ظاهر می‌شود.
بنابراین، \(2021\) برای اولین بار در سطر \(89\)اُم ظاهر می‌شود.
می‌خواهیم خانه‌های خالی زیر را با اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، \(6\)، \(7\)، و \(8\) پر کنیم به‌طوری‌که مجموع اعداد روی هر ضلع با مجموع اعداد روی هریک از دو ضلع دیگر برابر باشد. (تکرار اعداد مجاز نیست.)
اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را بیابید.
ابتدا مطابق شکل زیر، داخل هر دایره یک حرف قرار می‌دهیم.
سپس مسئله را در چند مرحله حل می‌کنیم.
مرحلهٔ اول
با توجه به شکل بالا داریم:
\[S=12+\frac{a+b+c}{3}.\quad(1)\]
می‌دانیم که مجموع این هشت عدد با حاصل‌جمع \(1\) تا \(8\) برابر است. پس:
\[\begin{aligned}&a+b+c+w+v+x+y+z\\&=1+2+3+4+5+6+7+8\\[8pt]&=\frac{8\times9}{2}\\[8pt]&=36.\quad(2)\end{aligned}\]
از طرفی می‌دانیم که مجموع اعداد روی هر ضلع، برابر \(S\) است. پس:
\[\begin{aligned}S&=a+v+w+b\quad(3)\\S&=b+z+c\quad(4)\\S&=c+y+x+a.\quad(5)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((3)\)، \((4)\)، و \((5)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&S+S+S=(a+v+w+b)+(b+z+c)+(c+y+x+a)\\&\Rightarrow 3S=(a+b+c+w+v+x+y+z)+(a+b+c).\quad(6)\end{aligned}\]
حال، با توجه به رابطه‌های \((2)\) و \((6)\) داریم:
\[\begin{aligned}&3S=36+(a+b+c)\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36+(a+b+c)}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=\frac{36}{3}+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow S=12+\frac{a+b+c}{3}.\end{aligned}\]
مرحلهٔ دوم
مقدار \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.
واضح است که کمترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=1+2+3=6.\quad(7)\]
حال با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((7)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{6}{3}\\&=12+2\\&=14.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(14\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند کمتر از \(14\) باشد.
مرحلهٔ سوم
مقدار \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.
واضح است که بیشترین مقدار ممکن برای \(a+b+c\) برابر است با:
\[a+b+c=6+7+8=21.\quad(8)\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S&=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&=12+\frac{21}{3}\\&=12+7\\&=19.\end{aligned}\]
یعنی اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) برابر با \(6\)، \(7\)، و \(8\) باشند، آن‌وقت \(S\) باید برابر با \(19\) باشد. در نتیجه \(S\) نمی‌تواند بیشتر از \(19\) باشد.
پس در مراحل بعد باید مقدارهای \(14\)، \(15\)، \(16\)، \(17\)، \(18\)، و \(19\) را بررسی کنیم.
مرحلهٔ چهارم
مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.
همان‌طور که دیدیم، اگر \(a+b+c=6\)، آن‌وقت \(S\) باید برابر \(14\) باشد. در این حالت، بیشترین مقدار ممکن برای \(b+c\) برابر است با:
\[b+c=2+3=5.\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث، باید برابر \(S\) باشد؛ یعنی:
\[\begin{aligned}&b+z+c=S\\&\Rightarrow5+z=14\\&\Rightarrow z=9.\end{aligned}\]
چون \(z\) نمی‌تواند عددی بزرگ‌تر از \(8\) باشد، پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(14\) باشد.
مرحلهٔ پنجم
مقدار \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.
اگر \(S\) برابر \(18\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow18-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow6=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow18=a+b+c.\quad(9)\end{aligned}\]
از طرفی، مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث باید برابر \(18\) باشد، یعنی:
\[b+z+c=18.\quad(10)\]
از رابطه‌های \((9)\) و \((10)\) نتیجه می‌شود:
\[\left.\begin{aligned}a+b+c=18\\b+z+c=18\end{aligned}\right\}\Rightarrow a=z.\]
اما می‌دانیم که هشت عدد داخل دایره‌ها باید متفاوت باشند. پس \(S\) نمی‌تواند برابر با \(18\) باشد.
مرحلهٔ ششم
مقدار \(S\) می‌تواند برابر با \(15\)، \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد.
اگر \(S\) برابر \(15\) باشد، آن‌وقت بنابه رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}&S=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15=12+\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow15-12=\frac{a+b+c}{3}\\[8pt]&\Rightarrow3=\frac{a+b+c}{3}\\&\Rightarrow9=a+b+c.\end{aligned}\]
حال، می‌توانیم حالت‌هایی را بررسی کنیم که مجموع سه عدد طبیعی برابر \(9\) می‌شود. برای نمونه:
\[a=1,\;b=2,\;c=6.\]
در این حالت، چون مجموع اعداد روی ضلع پایین مثلث برابر \(15\) است، داریم:
\[\begin{aligned}&b+z+c=15\\&\Rightarrow2+z+6=15\\&\Rightarrow z=15-8\\&\Rightarrow z=7.\end{aligned}\]
اکنون به‌سادگی می‌توانیم مقدارهای \(w\)، \(v\)، \(x\)، و \(y\) را نیز پیدا کنیم.
پرسش. اگر \(a=1\)، \(b=3\)، و \(c=5\)، آیا می‌توان جواب دیگری پیدا کرد؟
برای حالت‌هایی که \(S\) برابر با \(16\)، \(17\)، یا \(19\) باشد نیز با روشی مشابه روش بالا، می‌توان مثال‌هایی ساخت. برای نمونه، مثال‌های زیر را ببینید.
\(S=16\):
\(S=17\):
\(S=19\):
بنابراین، مجموع همهٔ مقادیر ممکن \(S\) برابر است با:
\[15+16+17+19=67.\]
در شکل زیر، برای هر نقطه یک عدد در نظر گرفته‌ایم و هر دو نقطه‌ای که ب‌م‌م آنها غیر از یک است را به‌هم وصل کرده‌ایم. کوچک‌ترین عددی که می‌توان برای نقطهٔ \(A\) در نظر گرفت، چند است؟
اگر \(A\) برابر \(2\) باشد، آن‌وقت اعداد روی نقطه‌های قرمز و آبی شکل زیر، باید مضربی از \(2\) باشند.
دراین‌صورت چون ب‌م‌م اعداد روی نقطه‌های قرمز و آبی غیر از \(1\) است (حداقل برابر \(2\) است)، پس باید پاره‌خطی این دو نقطه را به‌هم وصل کند؛ چون چنین پاره‌خطی در شکل وجود ندارد پس نمی‌توانیم \(A\) را برابر \(2\) قرار دهیم.
\(A\) می‌تواند برابر \(6\) باشد.
برای اینکه نشان دهیم \(A\) می‌تواند برابر \(6\) باشد، کافی است یک مثال بسازیم که در آن \(A\) برابر \(6\) باشد.
پرسش ۱. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(30\) باشد؟
پرسش ۲. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(210\) باشد؟
پرسش ۳. آیا می‌توانید مثالی بسازید که در آن \(A\) برابر \(49\) باشد؟
پرسش ۴. تعداد شمارنده‌های اول \(A\) حداقل چندتا باید باشد؟ چرا؟
دو تا استوانه داریم؛ یکی را استوانهٔ بزرگ و دیگری را استوانهٔ کوچک می‌نامیم. قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ بزرگ به‌ترتیب $10$ و $30$، و قطر قاعده و ارتفاع استوانهٔ کوچک به‌ترتیب $8$ و $20$ است. داخل استوانهٔ بزرگ تا ارتفاع $25$ آب ریخته‌ایم، و استوانهٔ کوچک خالی است.
استوانهٔ کوچک را در استوانهٔ بزرگ به‌آرامی و با سرعت ثابت فرو می‌بریم؛ وقتی استوانهٔ کوچک به کفِ استوانهٔ بزرگ برسد، حجم آب داخل استوانهٔ کوچک چقدر است؟ عدد پی را تقریباً \(3.14\) در نظر بگیرید. (\(\pi\approx3.14\))
حرکت استوانهٔ کوچک را در دو مرحلهٔ زیر بررسی می‌کنیم:
مرحلهٔ اول. وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ فرو می‌رود، تا قبل از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، آب از کناره‌های استوانهٔ بزرگ روی زمین می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)
مرحلهٔ دوم. بعد از اینکه بالای دو استوانه هم‌سطح شد، در ادامهٔ حرکت، آب از کناره‌ها داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. (شکل زیر را ببینید.)
می‌توانید آزمایش بالا را با دو استوانه یا لیوان بزرگ و کوچک انجام دهید.
در ادامه، مقدار آبی را که در مرحلهٔ اول روی زمین می‌ریزد و همچنین مقدار آبی را که در مرحلهٔ دوم داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد، محاسبه می‌کنیم.
(مرحلهٔ اول) در ابتدا، حجم آب داخل استوانهٔ بزرگ برابر \(625\pi\) است.
وقتی بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، حجم آب بین دو استوانه برابر \(430\pi\) است. (چرا؟)
با توجه به شکل زیر، حجم فضای بین دو استوانه با اختلاف حجم دو استوانه برابر است.
پس داریم:
\[\begin{aligned}&\pi(5)^2(30)-\pi(4)^2(20)\\&=\pi(10)\big(5^2\times3-4^2\times2\big)\\&=\pi(10)(25\times3-16\times2)\\&=\pi(10)(75-32)\\&=\pi(10)(43)\\&=430\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، وقتی استوانهٔ کوچک داخل استوانهٔ بزرگ می‌رود، تا جایی که بالای دو استوانه هم‌سطح شوند، مقدار آبی که روی زمین می‌ریزد برابر است با:\[625\pi-430\pi=195\pi.\]
(مرحلهٔ دوم) در ادامهٔ حرکت، تا وقتی که استوانهٔ کوچک به کف استوانهٔ بزرگ برسد، آب از کناره‌ها به داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد. بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر \(250\pi\) است. (چرا؟)
وقتی حرکت را از وضعیتی که بالای دو استوانه هم‌سطح هستند، ادامه می‌دهیم تا کف دو استوانه (تقریباً) هم‌سطح شوند، آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد برابر حجمی است که با رنگ تیره در شکل سمت چپ زیر مشخص شده است.
بنابراین، حجم آبی که داخل استوانهٔ کوچک می‌ریزد با حجم استوانه‌ای به شعاع قاعدهٔ \(5\) و ارتفاع \(10\) برابر است:
\[\begin{aligned}\pi(5)^2(10)&=\pi(25)(10)\\&=250\pi.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[250\pi\approx250\times3.14=785.\]
اگر طول بردارهای \(a\)، \(b\)، و \(c\) به‌ترتیب برابر با \(2\)، \(3\)، و \(4\) باشد و \(\overset{\longrightarrow}{d}=\overset{\longrightarrow}{a}+\overset{\longrightarrow}{b}+\overset{\longrightarrow}{c}\)، آن‌وقت کمترین مقدار و بیشترین مقدار طول بردار \(d\) را به‌دست آورید.
اگر \(\overset{\longrightarrow}{a}\)، \(\overset{\longrightarrow}{b}\)، و \(\overset{\longrightarrow}{c}\) هم‌جهت باشند، آن‌وقت طول \(\overset{\longrightarrow}{d}\) بیشترین مقدار ممکن خواهد بود. بنابراین، بیشترین مقدار برای طول \(\overset{\longrightarrow}{d}\) برابر است با: \[4+3+2=9.\]
چون اعداد \(2\)، \(3\)، و \(4\) می‌توانند طول اضلاع یک مثلث باشند، پس در حالت زیر، کمترین مقدار ممکن برای طول \(\overset{\longrightarrow}{d}\) به‌دست می‌آید.
\[\overset{\longrightarrow}{a}+\overset{\longrightarrow}{b}+\overset{\longrightarrow}{c}=\overset{\longrightarrow}{0}.\]
فرض کنید $x$، $y$ و $z$ رقم‌های متمایز هستند و حاصل‌جمع عددهای دو رقمی $\overline{xx}$، $\overline{yy}$،و $\overline{zz}$ برابر است با $\overline{zyx}$. همهٔ حالت‌های ممکن برای \(x\)، \(y\)، و \(z\) را به‌دست آورید.
مرحلهٔ سوم:
بنابراین، \(z=1\).
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود که \(y=9\) و \(x=8\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}x\times y\times z&=8\times9\times1\\&=72.\end{aligned}\]
در صفحهٔ مختصات، همهٔ نقاط با مختصات طبیعی مانند \((x,y)\)، را بیابید به‌طوری که
\[xy-y+x-1=4.\]
\[\begin{aligned}&(xy-y)+(x-1)=4\\&\Rightarrow y(x-1)+1(x-1)=4\\&\Rightarrow(y+1)(x-1)=4\end{aligned}\] حال باید همهٔ حالت‌هایی را پیدا کنیم که می‌توان \(4\) را بهصورت حاصل‌ضرب دو عدد صحیح نوشت:
\[\begin{aligned}4&=4\times1\\&=2\times2\\&=1\times4\\&=-1\times(-4)\\&=-2\times(-2)\\&=-4\times(-1).\end{aligned}\] در جدول زیر، همهٔ حالت‌های ممکن برای \(x\) و \(y\) محاسبه شده است.
رضا روی محور اعداد صحیح، نقاط $A$ و $B$ را به‌ترتیب متناظر با اعداد \(1\) و \(0\) در نظر گرفت. او به مرکز $A$ و شعاع $AB$ دایرهٔ $c_1$ را رسم کرد تا محور اعداد را در نقطهٔ $D$ قطع کند. (نقطهٔ $D$ متناظر با عدد \(2\) است.) سپس به مرکز $D$ و شعاع $DA$ دایرهٔ $c_2$ را رسم کرد تا دایرهٔ $c_1$ را در نقاط $M$ و $N$ قطع کند. در پایان، رضا به مرکز $B$ و شعاع $BM$ دایرهٔ $c_3$ را رسم کرد. دایرهٔ $c_3$ محور اعداد را در دو نقطه قطع می‌کند؛ این دو نقطه متناظر با چه اعدادی هستند؟ چرا؟
برای پیدا کردن جواب مسئله کافی است شعاع دایرهٔ $c_3$ را به‌دست آوریم. برای این منظور، طول $BM$ را محاسبه می‌کنیم.
مثلث $BMD$ قائم‌الزاویه است.
زاویهٔ $BMD$ در دایرهٔ $c_1$ زاویه‌ای محاطی و روبه‌رو به قطر $BD$ است؛ پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ $BMD$ قائمه است.
حال با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $BMD$ داریم $BM=\sqrt{3}$.
پاره‌خط $BD$ قطر دایرهٔ $c_1$ $(BD=2)$ و پاره‌خط $DM$ شعاع دایرهٔ $c_2$ $(DM=1)$ است، و بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&BM^2+DM^2=BD^2\\&\Rightarrow BM^2+1^2=2^2\\&\Rightarrow BM^2+1=4\\&\Rightarrow BM^2=4-1\\&\Rightarrow BM^2=3\\&\Rightarrow BM=\sqrt{3}.\end{aligned}\]
بنابراین دایرهٔ $c_3$ محور اعداد را در نقطه‌هایی متناظر با اعداد $\sqrt{3}$ و $-\sqrt{3}$ قطع می‌کند.
پرسش. چگونه فقط با رسم سه دایره روی محور اعداد، عدد \(\sqrt{3}\) را مشخص کنیم؟
ماهرخ چهار عدد روی کاغذ نوشت. سپس، میانگین هر سه‌تا از این اعداد را به‌دست آورد. میانگین‌ها، \(32\)، \(39\)، \(40\)، و \(44\) هستند. آیا می‌توانید چهار عددی را که ماهرخ روی کاغذ نوشته بود، پیدا کنید؟
فرض کنید چهار عدد ماهرخ، \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) باشند. در این‌صورت:
\[\begin{aligned}&\frac{a+b+c}{3}=32\Rightarrow a+b+c=96\quad(1)\\[7pt]&\frac{a+b+d}{3}=39\Rightarrow a+b+d=117\quad(2)\\[7pt]&\frac{a+c+d}{3}=40\Rightarrow a+c+d=120\quad(3)\\[7pt]&\frac{b+c+d}{3}=44\Rightarrow b+c+d=132.\quad(4)\end{aligned}\]
با جمع زدن طرفین رابطه‌های \((1)\)، \((2)\)، \((3)\)، و \((4)\)، داریم:
\[\begin{aligned}&3a+3b+3c+3d=96+117+120+132\\&\Rightarrow3(a+b+c+d)=465\\&\Rightarrow a+b+c+d=155.\quad(5)\end{aligned}\] حال،
\(\bullet\) از رابطه‌های \((5)\) و \((1)\) نتیجه می‌شود \(d=59\).
\(\bullet\) از رابطه‌های \((5)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود \(c=38\).
\(\bullet\) از رابطه‌های \((5)\) و \((3)\) نتیجه می‌شود \(b=35\).
\(\bullet\) از رابطه‌های \((5)\) و \((4)\) نتیجه می‌شود \(a=23\).
در یک صفحه، سه نقطهٔ متمایز $A$، $B$، و $C$ (که روی یک خط نیستند) را در نظر بگیرید. ابتدا به مرکز $A$ و شعاع $AC$ دایره‌ای رسم می‌کنیم؛ امتداد شعاع $AC$ این دایره را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کند. سپس به مرکز $B$ و شعاع $BD$ دایرهٔ دیگری رسم می‌کنیم تا دایرهٔ اول را در نقطهٔ $E$ (متمایز از $C$ و $D$) قطع کند. ثابت کنید $AB$ و $CE$ موازی‌اند.
دایرهٔ اول را $c_1$ و دایرهٔ دوم را $c_2$ می‌نامیم. محل برخورد خط $BA$ و دایرهٔ $c_1$ را با $M$ نمایش می‌دهیم.
اگر ثابت کنیم دو زاویهٔ $CAB$ و $ECA$ برابرند، آنگاه از عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب نتیجه می‌شود که دو خط $AB$ و $CE$ موازی‌اند.
می‌توان ثابت کرد $E\widehat{C}D=M\widehat{A}D$.
چون $AE$ و $AD$ شعاع‌های دایرهٔ $c_1$ هستند پس $AE=AD$. در نتیجه بنابه عکس قضیهٔ عمودمنصف نقطهٔ $A$ روی عمودمنصف پاره‌خط $ED$ قرار دارد. \((1)\)
به‌طور مشابه، $BE$ و $BD$ شعاع‌های دایرهٔ $c_2$ هستند پس $BE=BD$. در نتیجه، بنابه عکس قضیهٔ عمودمنصف نقطهٔ $B$ روی عمودمنصف پاره‌خط $ED$ قرار دارد. \((2)\)
بنابه \((1)\) و \((2)\)، خط $BA$ عمودمنصف $ED$ است.
نقطهٔ $M$ روی خط $BA$ (عمود منصف $ED$) قرار دارد، پس بنابه قضیهٔ عمودمنصف داریم:
\[ME=MD.\quad (3)\] پاره‌خط‌های $ME$ و $MD$ وترهای دایرهٔ $c_1$ هستند،پس بنابه رابطهٔ \((3)\) و قضیهٔ کمان و وتر داریم:
\[\begin{aligned}&\overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{MD}\\&\Rightarrow\overset{\frown}{EMD}=2\overset{\frown}{MD}.\quad (4)\end{aligned}\]
زاویهٔ $ECD$ در دایرهٔ $c_1$ یک زاویهٔ محاطی است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی و رابطهٔ \((4)\) داریم:
\[E\widehat{C}D=\frac{\overset{\frown}{EMD}}{2}=\frac{2\overset{\frown}{MD}}{2}=\overset{\frown}{MD}.\quad (5)\]
از طرفی، زاویهٔ $MAD$ در دایرهٔ $c_1$ زاویهٔ مرکزی است. پس
\[M\widehat{A}D=\overset{\frown}{MD}.\quad (6)\]
از رابطه‌های \((5)\) و \((6)\) نتیجه می‌شود:
\[E\widehat{C}D=M\widehat{A}D.\]
اکنون باتوجه‌به رابطهٔ به برابری زاویه‌های \(MAD\) و \(ECD\)، و متقابل‌به‌رأس بودن دو زاویهٔ $MAD$ و $CAB$ داریم:
\[E\widehat{C}D=M\widehat{A}D=C\widehat{A}B.\]
یعنی دو زاویهٔ $ECD$ و $CAB$ برابرند. پس بنا به عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، دو خط $AB$ و $CE$ موازی‌اند.
اگر مجموع اعداد روی هر ضلع را با $S$ نمایش دهیم، آن‌وقت همهٔ مقدارهای ممکن $S$ را بیابید.
