برای اینکه درسنامهٔ واسطه حسابی را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟
واسطه حسابی
واسطه حسابی (یا میانگینِ) دو عدد $a$ و $b$ برابر است با:\[m=\frac{a+b}{2}.\]
مثال ۱. اگر \(m\) واسطهٔ حسابی \(a\) و \(b\) باشد، آنگاه ثابت کنید که \(a\)، \(m\)، و \(b\) می‌توانند جملات متوالی یک دنبالهٔ حسابی باشند.
می‌دانیم \(m=\frac{a+b}{2}\). میخواهیم نشان دهیم که \(a\)، \(m\)، و \(b\)، جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی هستند. چون:
\[\begin{aligned}&m-a=\frac{a+b}{2}-a=\frac{a+b}{2}-\frac{2a}{2}=\frac{b-a}{2}\\[7pt]&b-m=b-\frac{a+b}{2}=\frac{2b}{2}-\frac{a+b}{2}=\frac{b-a}{2}\end{aligned}\] پس \(a\)، \(m\)، و \(b\) می‌توانند جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی باشند.
مثال ۲. واسطهٔ حسابی هر جفت از اعداد زیر را بیابید.
الف) \(12\) و \(18\)
\[m=\frac{18+12}{2}=15.\]
ب) \(\dfrac{2}{3}\) و \(-\dfrac{3}{4}\)
\[\begin{aligned}m&=\frac{\frac{2}{3}-\frac{3}{4}}{2}\\[8pt]&=\frac{\frac{8}{12}-\frac{9}{12}}{2}\\[8pt]&=\frac{-\frac{1}{12}}{2}\\[7pt]&=-\frac{1}{24}.\end{aligned}\]
در حالت کلی، اگر $m_1$، $m_2$، $m_3$، $\dots$، $m_k$ اعدادی با فاصله‌های یکسان بین $a$ و $b$ باشند به‌طوری‌که
\[a,m_1,m_2,m_3,\dots,m_k,b,\dots\]یک دنبالهٔ حسابی باشد، آن‌وقت $m_1$، $m_2$، $m_3$، $\dots$، $m_k$ را $k$ تا واسطه حسابی بین $a$ و $b$ می‌نامند.
مثال ۳. الف) بین $10$ و $18$، دوتا واسطهٔ حسابی درج کنید.
مسئلهٔ بالا را میتوان اینگونه نیز بیان کرد:
فرض کنیم، در دنبالهٔ\[a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\]داشته باشیم:\[\begin{aligned}a_1&=10,\\a_4&=18.\end{aligned}\]میخواهیم، $a_2$ و $a_3$ را طوری تعیین کنیم که دنبالهٔ\[a_1,a_2,a_3,a_4,\dots\]یک دنبالهٔ حسابی باشد.
حال، مسئلهٔ بالا را حل می‌کنیم. چون\[\begin{aligned}&a_4=a_1+3d\\&\Rightarrow 18=10+3d\\&\Rightarrow 8=3d\\&\Rightarrow \frac{8}{3}=d.\end{aligned}\]پس، داریم:\[\begin{aligned}&a_2=a_1+d=10+\frac{8}{3}=\frac{38}{3},\\[6pt]&a_3=a_1+2d=10+2\times\frac{8}{3}=10+\frac{16}{3}=\frac{46}{3}.\end{aligned}\]
ب) بین $10$ و $18$ سه‌تا واسطه حسابی درج کنید.
\[10,{\color{red}12},{\color{red}14},{\color{red}16},18,\dots\]راهحل این مسئله، کاملاً مشابه مثال ۱ است. هرچند که میتوان پاسخ این مسئله و قسمت «الف» را بهطور ذهنی نیز به‌دست آورد!
مثال ۴. اگر $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ پشت‌سرهم از یک دنبالهٔ حسابی باشند، آن‌وقت ثابت کنید:\[2b=a+c.\] (یا به‌عبارت دیگر، ثابت کنید که \(b\) واسطهٔ حسابی \(a\) و \(c\) است.)
فرض کنیم که قدرنسبت این دنبالهٔ حسابی برابر \(d\) باشد. در اینصورت، چون $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ پشت‌سرهم این دنبالهٔ حسابی هستند، پس:\[\begin{aligned}&b=a+d\\&c=a+2d.\end{aligned}\]بنابراین،
\[\begin{aligned}2b&=2(a+d)\\&=2a+2d\\&=a+(a+2d)\\&=a+c.\end{aligned}\]توجه کنید که ثابت کردیم \(b\) واسطهٔ حسابی دو عدد \(a\) و \(c\) است.
مثال ۵. جملهٔ چهارم دنبالهٔ حسابی زیر، واسطهٔ حسابی کدام جمله‌هاست؟ \[1,5,9,13,17,21,25,29,33,\dots\]
چون
\[\begin{aligned}2\times13&=9+17\\&=5+21\\&=1+25\end{aligned}\] پس جملهٔ چهارم این دنباله، واسطهٔ حسابی جمله‌های سوم و پنجم، دوم و ششم، و اول و هفتم است.
مثال ۶. در یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم جملهٔ هفتم برابر $10$ و جملهٔ سیزدهم برابر $23$ است. جملهٔ دهم این دنباله را محاسبه کنید.
در این مسئله، میتوانیم جملهٔ اول و قدرنسبت دنباله را به‌دست آوریم و با استفاده از آنها جملهٔ دهم را بیابیم. اما این کار را نمیکنیم!
اگر قدرنسبت این دنبالهٔ حسابی را \(d\) بنامیم، داریم:\[\begin{aligned}{\color{red}t_7}&=t_7\\t_8&=t_7+d\\t_9&=t_7+2d\\{\color{red}t_{10}}&={\color{red}t_7+3d}\\t_{11}&=t_7+4d\\t_{12}&=t_7+5d\\{\color{red}t_{13}}&={\color{red}t_7+6d}.\end{aligned}\]با توجه به رابطههای بالا، واضح است که\[\color{red}t_7+t_{13}=2\times t_{10}.\] یعنی \(t_{10}\) واسطهٔ حسابی \(t_7\) و \(t_{13}\) است. (توجه کنید که \(10\) میانگین دو عدد \(7\) و \(13\) است. یعنی بدون نوشتن عبارتهای بالا نیز میتوانستیم تشخصیص دهیم که \(t_{10}\) واسطهٔ حسابی \(t_7\) و \(t_{13}\) است.)
در نتیجه، داریم:\[\begin{aligned}&t_7+t_{13}=2\times t_{10}\\&\Rightarrow10+23=2\times t_{10}\\&\Rightarrow33=2\times t_{10}\\&\Rightarrow\frac{33}{2}=t_{10}.\end{aligned}\]
مثال ۷. در هر دنبالهٔ حسابی، مانند $a_n$، ثابت کنید:
الف) اگر $p+q=r+s$، آن‌وقت $a_p+a_q=a_r+a_s$.
\[\begin{aligned}&a_p+a_q\\&=\big(a_1+(p-1)d\big)+\big(a_1+(q-1)d\big)\\&=a_1+a_1+(\underbrace{p+q}_{r+s}-2)d\\[6pt]&=a_1+a_1+(r+s-2)d\\&=\big(a_1+(r-1)d\big)+\big(a_1+(s-1)d\big)\\&=a_r+a_s.\end{aligned}\]
ب) در یک دنبالهٔ حسابی، می‌دانیم:
\[a_5+a_7=100.\]
در این دنباله، جفت جمله‌های دیگری را که مجموعشان برابر $100$ می‌شود، بیابید.
باتوجه‌به قسمت «الف»، داریم:
\[\begin{aligned}100&=a_1+a_{11}\\&=a_2+a_{10}\\&=a_3+a_9\\&=a_4+a_8\\&=a_6+a_6.\end{aligned}\]
مثال ۸. اگر \(5\)، \(x+7\)، و \(x+4\) سه جملهٔ پشت‌سرهم از یک دنبالهٔ حسابی باشند، \(x\) را بیابید.
چون \(x+7\) واسطهٔ حسابی \(5\) و \(x+4\) است، پس:
\[\begin{aligned}&2(x+7)=5+x+4\\&\Rightarrow2x+14=x+9\\&\Rightarrow x=-5.\end{aligned}\]
مثال ۹. بین دو عدد $12$ و $47$، سه واسطهٔ حسابی درج کرده‌ایم. حاصل‌جمع این سه واسطهٔ حسابی را به‌دست آورید.
فرض کنیم $a_1=12$ و $a_5=47$، و $a_2$، $a_3$، و $a_4$ سه واسطهٔ حسابی درج شده بین $12$ و $47$ باشند. دراینصورت داریم:
\[\begin{aligned}a_2+a_4&=a_1+a_5\\&=12+47\\&=59.\end{aligned}\]
از طرفی، چون \(a_3\) واسطهٔ حسابی \(a_2\) و \(a_4\) است، پس:
\[a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=\frac{59}{2}.\]
در نتیجه:
\[a_2+a_4+a_3=59+\frac{59}{2}=\frac{177}{2}.\]
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️سعی کردم با استفاده از روش خودتون اثباتش هم بکنم نمی دونم درست رفتم یا نه
روشی که برای حل این مسئله استفاده می‌کنید همان روش معروف گاوس است (با مثال معروف جمع اعداد ۱ تا 100)
سلام و احترام
خسته نباشید
ببخشید در حالت کلی میتونیم بگیم این درست هست؟ باتوجه به سوال آخر
سلام.مثال خیلی خوب و کاملی بودن واقعا ممنونم ازتون❤️
با این روشی که گفتین خیلی اوکی شدم ?
خوشحالیم که برایتان مفید بوده است.
معلم ما که مثل ادم درس نمیده دم شما گرم که این اطلاعات خوب رو میزارید آدم یاد بگیره♥