پاسخ تشریحی مسئله ۴ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مرداد ۹۸

در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.
دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.

راهنمایی. در زیر، شکلی برای این مسئله رسم شده است.

اندازهٔ دوازده زاویهٔ \(A_1\)، \(A_2\)، \(B_1\)، \(B_2\)، \(C_1\)، \(C_2\)، \(D_1\)، \(D_2\)، \(E_1\)، \(E_2\)، \(E_3\)، و \(E_4\)، برحسب درجه، اعدادی صحیح هستند.
ابتدا قرار می‌دهیم \(\widehat{C}_1=x\)؛ سپس، اندازهٔ هریک از دوازده زاویهٔ بالا را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.

راهنمای حل

این مسئله را در شش مرحله حل می‌کنیم.

مرحلهٔ ۱. اگر \(\widehat{C}_1=x\)، آن‌وقت اندازهٔ یازده زاویهٔ دیگر، برحسب \(x\) به‌صورت زیر است.

(چرا؟)

و همچنین، به‌سادگی می‌توان نشان داد که \(x\ne1^\circ\). (چگونه؟)

مرحلهٔ ۳. اندازهٔ زاویه‌های \(B_1\) و \(B_2\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، هیچ‌یک از مقدارهای \(2x\) و \(4x\)، برحسب درجه، نمی‌توانند عددی اول باشد. (چرا؟)

مرحلهٔ ۴. اندازهٔ زاویهٔ \(D_1\)، برحسب درجه، عددی اول نیست؛ به‌عبارت دیگر، \(90^\circ-2x\)، برحسب درجه، نمی‌تواند عددی اول باشد. (چرا؟)

مرحلهٔ ۵. اندازهٔ زاویه‌های \(A_1\) و \(C_2\) وقتی و فقط وقتی عدد اول است که \(x=29^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، \(x=29^\circ\) یکی از جواب‌های مسئله است. (چرا؟)

مرحلهٔ ۶. از مرحله‌های ۲، ۳، ۴،‌ و ۵ نتیجه می‌شود که اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) تا \(29\) باشد، آن‌وقت اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی مرکب است.
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{C}_1=90^\circ-3x\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_1=2x\\&\widehat{B}_2=4x\\&\widehat{D}_1=90^\circ-2x.\end{aligned}\]
بنابراین، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید اندازهٔ هریک از شش زاویهٔ زیر، برحسب درجه، عددی اول باشد.
\[\begin{aligned}&\widehat{C}_1=x\\&\widehat{E}_1=\widehat{E}_3=90^\circ+x\\&\widehat{E}_2=\widehat{E}_4=\widehat{D}_2=90^\circ-x.\end{aligned}\]
به‌عبارت دیگر، اگر \(x\) یک عدد صحیح بین \(1\) و \(29\) باشد، آن‌وقت باید سه مقدار \(x\)، \(90^\circ-x\)، و \(90^\circ+x\) اعدادی اول باشند.
پس جواب‌های دیگر مسئله عبارتند از:
\[\begin{aligned}x&=7^\circ\\x&=11^\circ\\x&=17^\circ\\x&=19^\circ\\x&=23^\circ.\end{aligned}\]
(چرا؟)