پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۲ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مهر ۹۸

یک‌بار توزین یاتاقان

یک کارگاه بزرگ تولید قطعات یدکی ماشین، برای استخدام مهندسی با هوش استثنایی در روزنامه آگهی داد. بعد از چند بار غربال متقاضیان، دو نفر باقی ماندند. سرمهندس به آنها گفت:

در اینجا $200$ جعبه وجود دارد. در هر جعبه $500$ یاتاقان، هریک به وزن یک پوند، قرار دارد. اشتباهی، نوعی قدیمی از یاتاقان‌ داخل یکی از این جعبه‌ها قرار دارد. وزن هر کدام از این یاتاقان‌های قدیمی دقیقاً چهار اونس بیشتر از یاتاقان‌های جدید است، یا ممکن است یاتاقان‌های قدیمی سبک‌تر از یاتاقان‌های جدید باشند؛ دقیقاً یادم نیست! یک ترازو داریم که هزاران پوند را به‌دقت وزن می‌کند. آیا می‌توانید با این ترازو و دقیقاً یک‌بار اندازه‌گیری، و بدون هیچ اطلاعات دیگری، مشخص کنید که یاتاقان قدیمی در کدام جعبه است؟

دو مهندس به‌شدت به فکر فرو رفتند. ناگهان یکی از آنها لبخندی زد و ظاهراً جواب این مسئله را پیدا کرده بود. سرمهندس نظر او را شنید و سپس او را استخدام کرد.

ایدهٔ او چه بوده است؟

راهنمای حل

دقت کنید که در این مسئله، باید «دقیقاً یک‌بار اندازه‌گیری» انجام شود.

مهندس باهوش نقشهٔ زیر را پیشنهاد کرده بود.

من از جعبهٔ اول \(1\) یاتاقان، از جعبهٔ دوم \(2\) یاتاقان، از جعبهٔ سوم \(3\) یاتاقان و … از جعبهٔ دویستم \(200\) یاتاقان برمی‌دارم. آنها را در ترازو می‌گذارم و وزن‌شان می‌کنم. اگر همهٔ یاتاقان‌ها از نوع جدید باشند، وزن کلی دقیقاً برابر می‌شود با:
\[\begin{aligned}&1+2+3+\dots+200\\[7pt]&=\frac{200\times201}{2}\\[7pt]&=100\times201\\&=20100\;{\text{پوند}}\end{aligned}\] ولی ترازو اختلافی به‌اندازهٔ \(4n\) اونس را نشان می‌دهد، یعنی اینکه یاتاقان قدیمی در جعبهٔ \(n\)اُم است. این اختلاف ممکن است مثبت یا منفی باشد، بسته به اینکه یاتاقان قدیمی سبک‌تر یا سنگین‌تر باشد.