پاسخ تشریحی مسئلهٔ ۳ – مسابقهٔ ریاضی تکمیلی – مهر ۹۸

در سال $66$ قبل از میلاد مسیح، رومیان شهر جوتاپاتا را تسخیر کردند. یهودیان پس $47$ روز مقاومت مجبور به فرار شدند. در میان گروهی از یهودیان، مورخ مشهوری به‌نام ژوزفوس فلاویوس بود، که همراه $40$ نفر دیگر در غاری پناه گرفتند. اینان ترجیح می‌دادند کشته شوند تا اینکه اسیر رومیان شوند. ژوزفوس با این تصمیم مخالف بود ولی این موضوع را علنی نمی‌کرد.

قرار بر این شد که این $41$ نفر، با شماره‌های $1$ تا $41$، دایره‌وار (و در جهت عقربه‌های ساعت) مرتب شوند. ابتدا شمارهٔ $1$، شمارهٔ $2$ را بكُشد، سپس شمارهٔ $3$، شمارهٔ $4$ را بكُشد، بعد شمارهٔ $5$، شمارهٔ $6$ را بکُشد و به‌همین‌ترتیب هركس در نوبتش نفر زندهٔ سمت چپش را بكشد. در پایان نیز آخرین نفری که زنده می‌ماند، خودش را بکشد.

كُشتار به همین‌ترتیب ادامه پیدا کرد، اما در پایان ژوزفوس زنده ماند و خودش را نکشت!

شمارهٔ ژوزفوس چند بود؟

در این مسئله، اگر به‌جای \(41\) نفر، \(4111\) نفر دایره‌وار نشسته باشند، در پایان عملیاتی که در بالا گفته شد، نفر چندم باید خودش را بکشد؟

راهنمای حل

در ویدئوی زیر، دانیل ارمن (DANIEL ERMAN)، استاد ریاضی دانشگاه ویسکانسین-مدیسن (Wisconsin-Madison) مسئلهٔ بالا را برای \(41\) نفر حل می‌کند. همچنین، او برای این مسئله یک رابطهٔ کلی می‌سازد.

با توجه به رابطهٔ به‌دست آمده در ویدئوی بالا، چون \[4111=2^{11}+15\] پس \(\ell=15\) و نفر آخری که باید خودش را بکشد از رابطهٔ \(2\ell+1\) به‌دست می‌آید:\[2\times15+1=31.\]