پنج‌تایی دیوفانتی

فرض کنید $A$ زیرمجموعه‌ای $m$عضوی از اعداد گویا باشد. اگر حاصل‌ضرب هر دو عضو متمایز $A$ را با یک جمع بزنیم و حاصل، توان دوم یک عدد گویا باشد، آنگاه مجموعهٔ $A$ را یک $m$تایی دیوفانتی می‌نامند. اگر همهٔ اعضای یک $m$تایی دیوفانتی اعداد طبیعی باشند، به آن یک $m$تایی دیوفانتی طبیعی می‌گویند. برای مثال، $\{3,5,16\}$ یک سه‌تایی دیوفانتی طبیعی است، زیرا:
\[3\times 5+1=16=4^2,\;\;3\times 16+1=49=7^2,\;\;5\times 16+1=81=9^2.\]
دیوفانتوس (قرن سوم ق.م) چهارتایی دیوفانتیِ $\{\frac{1}{16},\frac{33}{16},\frac{17}{4},\frac{105}{16}\}$ را پیدا کرد؛ اما نتوانست یک پنج‌تایی دیوفانتی بیابد. فِرما ($1607$ ــ $1665$) اولین نفری بود که توانست چهارتایی دیوفانتی طبیعی $\{1,3,8,120\}$ را بسازد. اویلِر ($1707$ ــ $1783$) با اضافه کردن عدد $\frac{777480}{8288641}$ به چهارتایی فرما، یک پنج‌تایی دیوفانتی ساخت. اویلر ثابت کرد که بی‌شمار پنج‌تایی دیوفانتی وجود دارد. بیش از دو قرن بعد، در سال $1999$، گیبز $\rm{(Gibbs)}$ اولین کسی بود که توانست یک شش‌تایی دیوفانتی پیدا کند
$[6]$:\[\left\{\frac{11}{192},\frac{35}{192},\frac{155}{27},\frac{512}{27},\frac{1235}{48},\frac{180873}{16}\right\}\cdot\]
در سال $2015$، دویلا $\rm{(Dujella)}$ و همکارانش ثابت کردند که بی‌شمار شش‌تایی دیوفانتی وجود دارد $[5]$. دربارهٔ وجود یا عدم وجود هفت‌تایی دیوفانتی، هنوز چیزی نمی‌دانیم.
اما مهم‌ترین مسئله‌ در ارتباط با چندتایی‌های دیوفانتی که هنوز کسی پاسخ آن را نمی‌داند، مسئلهٔ زیر است.

بی‌شک فرما و اویلر برای ساختن یک پنج‌تایی دیوفانتی طبیعی تلاش زیادی کرده‌‌ بودند که به سرانجامی نرسید؛ این نشان می‌دهد حل این مسئله
بدون استفاده از ریاضیات مدرن، تقریباً غیرممکن است.
تا به امروز تلاش‌های زیادی برای حل مسئلهٔ پنج‌تایی دیوفانتی صورت گرفته است. یکی از ایده‌های حلّ این مسئله این بوده است که به یک چهارتایی دیوفانتی یک عضو اضافه کنیم به‌طوری‌که پنج‌تایی ِحاصل، پاسخ مسئله باشد.
در سال $1969$، بیکر ($\rm{Baker}$)، برندهٔ مدال فیلدز، و داونپورت ($\rm{Davenport}$) ثابت کردند که عدد طبیعی دیگری وجود ندارد که اگر آن را به مجموعهٔ $\{1,3,8,120\}$ اضافه کنیم، یک پنج‌تایی دیوفانتی ساخته شود $[2]$.
واضح است که اگر یک پنج‌تایی دیوفانتی طبیعی ‌وجود داشته باشد، هر زیر مجموعهٔ چهارتایی آن یک چهارتایی دیوفانتی طبیعی است. بنابراین،
ریاضی‌دان‌ها سعی کردند همهٔ چهارتایی‌‌های دیوفانتی طبیعی را بشناسند. در سال $1979$، آرکین $\rm{(Arkin)}$ و همکارانش ثابت کردند که می‌توان از هر سه‌تایی دیوفانتی یک چهارتایی دیوفانتی ساخت $[1]$؛ به‌این‌ترتیب که اگر $\{a,b,c\}$ یک سه‌تایی دیوفانتی باشد که
\[ab+1=r^2,\;\;ac+1=s^2,\;\;bc+1=t^2,\] آنگاه با قرار دادن $d=a+b+c+2abc+2rst$، چهارتایی دیوفانتی $\{a,b,c,d\}$ به‌دست می‌آید.
از روش آرکین و همکارانش نتیجه می‌شود که اگر بی‌شمار سه‌تایی دیوفانتی وجود داشته باشد، آنگاه بی‌شمار چهارتایی دیوفانتی نیز وجود دارد.
در زیر دو روش برای تولید بی‌شمار سه‌تایی دیوفانتی طبیعی آمده است:
روش اول. برای هر عدد طبیعی $k$، مجموعهٔ $\{k,k+2,4k+4\}$ یک سه‌تایی دیوفانتی طبیعی است.
روش دوم. در این روش از جمله‌های دنبالهٔ فیبوناتچی استفاده می‌شود.
در زیر جملهٔ اول تا جملهٔ یازدهم این دنباله نوشته شده است.
\[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….\] اگر جملهٔ $k$اُم دنبالهٔ فیبوناتچی را با $F(k)$ نشان دهیم، آنگاه برای هر عدد طبیعی $k$، مجموعهٔ $\{F(2k),F(2k+2),F(2k+4)\big\}$ یک سه‌تایی دیوفانتی طبیعی است.
در سال $1997$ دویلا ثابت کرد که اگر با روش آرکین و همکارانش از مجموعه‌های $\{k,k+2,4k+4\}$ و $\{F(2k),F(2k+2),F(2k+4)\big\}$ چهارتایی دیوفانتی طبیعی بسازیم، به هیچ‌کدام از این چهارتایی‌ها نمی‌توان عددی طبیعی اضافه کرد به‌طوری که مجموعهٔ حاصل یک پنج‌تایی دیوفانتی طبیعی باشد $[4]$.
دویلا در سال $2004$ ثابت کرد که هیچ شش‌تایی دیوفانتی طبیعی وجود ندارد. همچنین او ثابت کرد که اگر پنج‌تایی‌های دیوفانتی طبیعی وجود داشته باشند، تعداد آنها متناهی است $[3]$.
چندتایی‌های دیوفانتی به‌عنوان مسئله‌ای در خم‌های بیضوی نیز مطرح هستند. خم‌‌های بیضوی موجوداتی هندسی هستند که ارتباط تنگاتنگی با اعداد صحیح دارند و در رمزنگاری پیشرفته از آنها استفاده می‌شود.

منابع

$[1]$ J. Arkin and V. E. Hoggatt, and E. G. Strauss, On Euler’s solution of a problem of Diophantus, Fibonacci Quart. $\mathbf{17}\;(1979)$, $333$–$339$.

\([2]\) A. Baker and H. Davenport, The equations $3x^2-2 = y^2$ and $8x^2-7 = z^2$ , Quart. J. Math. Oxford Ser. $(2)$ $\mathbf{20}\;(1969)$, $129$–$137$.

$[3]$ ​A. Dujella, There are only finitely many Diophantine quintuples, J. Reine Angew. Math. $\mathbf{566}$ $(2004)$, $183$–$214$. ​

$[4]$ A. Dujella, The problem of the extension of a parametric family of Diophantine triples, Publ. Math. Debrecen $\mathbf{51}\;(1997)$, $311$–$322$.

$[5]$ A. Dujella, M. Kazalicki, M. Mikic, and M. Szikszai, There are infinitely many rational Diophantine sextuples, Int. Math. Res. Not. IMRN, to appear.

$[6]$ P. Gibbs, Some rational Diophantine sextuples, Glas. Mat. Ser. III $\mathbf{41}$ $(2006)$, $195$–$203$.