فهرست
چندجمله‌ای‌ها
تعریف یک‌جمله‌ای
هر عبارت را، که به‌صورت حاصلضرب یک عدد حقیقی در توان‌های صحیح نامنفیِ یک یا چند متغیر باشد، یک‌جمله‌ای (تک‌جمله‌ای) می‌نامند.
مثال ۱. الف) عبارت \(5x^{10}\) یک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
عبارت \(5x^{10}\)، حاصلضرب عدد حقیقی \(5\) در متغیر \(x\) است که توان متغیر، یعنی عدد \(10\)، صحیح نامنفی است. پس، با توجه به تعریف یک‌جمله‌ای، عبارت \(5x^{10}\) یک‌جمله‌ای است.
ب) عبارت \(\frac{2x^2}{3}z\) یک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
این عبارت، حاصلضرب عدد حقیقی \(\frac{2}{3}\) در توان‌های صحیح نامنفی متغیرهای \(x\) و \(z\) است. توان متغیر \(x\) برابر \(2\) و توان متغیر \(z\) برابر \(1\) است.
ج) عبارت \(2\sqrt{x}\) تک‌جمله‌ای نیست. (چرا؟)
در عبارت \(2\sqrt{x}\)، توان \(x\)
صحیح نامنفی نیست. در واقع، توان \(x\) برابر \(\frac{1}{2}\) است. در ریاضیات سال دهم، داریم:
هرگاه \(a\geq0\) برای هر دو عدد طبیعی \(m\) و \(n\)، توان کسری و غیرصحیحِ \(\frac{m}{n}\) را برای \(a\) چنین تعریف می‌کنیم:
\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.\]
د) عبارت \(-\sqrt{3}\,a^3x^2z\) تک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
عبارت \(-\sqrt{3}\,a^3x^2z\)، حاصلضرب یک عدد حقیقی، یعنی \(-\sqrt{3}\)، در توان‌های صحیح نامنفیِ چند متغیر است. توجه کنید که توان \(a\)، \(x\)، و \(z\) به‌ترتیب اعداد صحیح نامنفیِ \(3\)، \(2\)، و \(1\) هستند.
هـ) عبارت \(2x^2+2x\) تک‌جمله‌ای نیست. (چرا؟)
بنابه تعریف تک‌جمله‌ای، باید بین اعداد و متغیرها فقط عمل ضرب باشد. اما در عبارت \(2x^2+2x\)، عمل جمع نیز وجود دارد.
و) عبارت \(2x+3x\) یک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
عبارت \(2x+3x\) یک‌جمله‌ای است، زیرا \(2x+3x=5x\)، و \(5x\) یک‌جمله‌ای است.
ز) عبارت \(\pi x^3\) تک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
عبارت \(\pi x^3\)، حاصلضرب عدد حقیقی \(\pi\)، در متغیر \(x\) است که توان متغیر، یعنی عدد \(3\)، صحیح نامنفی است.
ح) عبارت \(3^x\) یک‌جمله‌ای نیست. (چرا؟)
در عبارت \(3^x\) متغیر در عدد حقیقی ضرب نشده است؛ بلکه متغیر در توان قرار دارد. بنابراین، \(3^x\) یک‌جمله‌ای نیست.
ط) عبارت \(\frac{1}{x}\) تک‌جمله‌ای نیست. (چرا؟)
چون \(\frac{1}{x}=x^{-1}\)، و در عبارت \(x^{-1}\) توان متغیر صحیح نامنفی نیست، پس \(\frac{1}{x}\) تک‌جمله‌ای نیست.
ی) عبارت \(\frac{1}{2}\) یک‌جمله‌ای است. (چرا؟)
چون \(\frac{1}{2}\) یک
عدد حقیقی است، پس یک‌جمله‌ای است.
شاید با خودتان بگویید: «\(\frac{1}{2}\) که متغیر ندارد»! اشکالی ندارد! میتوانید آن را به‌صورت \(\frac{1}{2}x^0\) بنویسید؛ حالا متغیر دارد و توان متغیر صحیح نامنفی است!
تعریف ضریب عددی
در یک‌جمله‌ای‌ها به عددی که در متغیرها ضرب شده است، ضریب عددی می‌گویند.
مثال ۲. ضریب عددی هریک از یکجملهایهای زیر را تعیین کنید.
\[\frac{x^2y}{5},\;\sqrt{5}xy^2,\;-xy,\;\sqrt[3]{2}a^4\big(\frac{b}{\sqrt{2}}\big)\]
چون \(\frac{x^2y}{5}=\frac{1}{5}x^2y\)، پس ضریب عددی این یک‌جمله‌ای برابر \(\frac{1}{5}\) است.
ضریب عددی \(\sqrt{5}xy^2\) برابر \(\sqrt{5}\) است.
ضریب عددی \(-xy\) برابر \(-1\) است.
چون \(\sqrt[3]{2}a^4\big(\frac{b}{\sqrt{2}}\big)=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}a^4b\)، پس ضریب عددی این یک‌جمله‌ای \(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}\) است.
ضرب یک‌جمله‌ای‌ها
برای ضرب یک‌جمله‌ای‌ها کافی است ضرایب عددی را در هم ضرب کنیم و متغیرها را با استفاده از «قانون اعداد توان‌دار با پایه‌های مساوی» محاسبه کنیم. برای مثال، حاصلضرب یکجملهایهای \(2x^2y\) و \(\frac{1}{3}x^5y^2z\) به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.
\[\begin{aligned}&\big(2x^2y\big)\big(\frac{1}{3}x^5y^2z\big)\\[7pt]&=\big(2\times\frac{1}{3}\big)x^{(2+5)}y^{(1+2)}z^1\\[7pt]&=\frac{2}{3}x^7y^3z.\\[7pt]\end{aligned}\]
مثال ۳. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌صورت یک تک‌جمله‌ای بنویسید و ضریب عددی آن را مشخص کنید.
الف) \(\big(\frac{1}{2}a^2b\big)\big(ab\big)\big(\frac{-2}{7}a^2c^5\big)\)
\[\begin{aligned}&\big(\frac{1}{2}a^2b\big)\big(ab\big)\big(\frac{-2}{7}a^2c^5\big)\\[7pt]&=\big(\frac{1}{2}\times\frac{-2}{7}\big)a^{(2+1+2)}b^{(1+1)}c^5\\[7pt]&=-\frac{1}{7}a^5b^2c^5.\end{aligned}\]بنابراین، ضریب عددی یک‌جمله‌ای حاصل برابر \(-\frac{1}{7}\) است.
ب) \(2\big(5xy^4\big)^2\big(-2x^5y^2\big)\)
\[\begin{aligned}&2\big(5xy^4\big)^2\big(-2x^5y^2\big)\\&=2(25x^2y^8)(-2x^5y^2)\\&=2\times25\times(-2)x^{(2+5)}y^{(8+2)}\\&=-100x^7y^{10}.\end{aligned}\]
بنابراین، ضریب عددی یک‌جمله‌ای حاصل برابر \(-100\) است.
ج) \(\big(-3x^3\big)^2\big(\frac{1}{3}x^2\big)^3\)
\[\begin{aligned}&\big(-3x^3\big)^2\big(\frac{1}{3}x^2\big)^3\\[7pt]&=\big(9x^6\big)\big(\frac{1}{27}x^6\big)\\[7pt]&=\big(9\times\frac{1}{27}\big)x^{(6+6)}\\[7pt]&=\frac{1}{3}x^{12}.\end{aligned}\]
بنابراین، ضریب عددی تک‌جمله‌ای حاصل برابر \(\frac{1}{3}\) است.
تعریف یکجملهایهای متشابه
هروقت قسمت‌های حرفی دو یا چند یک‌جمله‌ای یکسان باشند، به آنها یکجملهایهای متشابه می‌گویند.
مثال ۴. کدام جفت از یکجملهایهای زیر متشابه‌اند و کدام جفت‌ها غیرمتشابه‌اند؟
الف) \(7ab,\;-3ba\)
یکجملهایهای \(7ab\) و \(-3ba\) متشابه‌اند. چون قسمت‌های حرفی آنها، یعنی \(ab\) و \(ba\)، یکسان هستند.
ب) \(\frac{1}{2}xy^2, -3x^2y\)
تکجملهایهای \(\frac{1}{2}xy^2\) و \(-3x^2y\) غیرمتشابه‌اند. چون قسمت‌های حرفی آنها، یعنی \(xy^2\) و \(x^2y\)، یکسان نیستند.
ج) \(-\frac{5}{9}x^2zy, \sqrt{3}zx^2y\)
تکجملهایهای \(-\frac{5}{9}x^2zy\) و \(\sqrt{3}zx^2y\) متشابه‌اند. چون قسمت‌های حرفی آنها، یعنی \(x^2zy\) و \(zx^2y\)، یکسان هستند.
د) \(-\frac{2ab^2c^3}{5},\sqrt[3]{5}c^3ba^2\)
یکجملهایهای \(-\frac{2ab^2c^3}{5}\) و \(\sqrt[3]{5}c^3ba^2\) غیرمتشابه‌اند. چون قسمت‌های حرفی آنها، یعنی \(ab^2c^3\) و \(c^3ba^2\)، یکسان نیستند.
تعریف دوجمله‌ای
به مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه، دوجمله‌ای می‌گویند.
مثال ۵. در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا مشخص کنید که آیا عبارت داده شده دوجمله‌ای هست یا نه. سپس، برای هر دو جمله‌ای مشخص کنید که از مجموع چه یک‌جمله‌ای‌هایی تشکیل شده است و ضریب عددی هر یک‌جمله‌ای آن را تعیین کنید.
الف) \(z-y\)
عبارت \(z-y\)، دو جمله‌ای است. یکجملهایهای آن \(z\) و \(-y\)، و ضرایب عددی آنها به‌ترتیب \(1\) و \(-1\) هستند.
ب) \(2x^3y+y^2\)
عبارت \(2x^3y+y^2\)، دو جمله‌ای است. یکجملهایهای آن \(2x^3y\) و \(y^2\)، و ضرایب عددی آنها به‌ترتیب \(2\) و \(1\) هستند.
ج) \(-3ab^2-4b^2c^3\)
عبارت \(-3ab^2-4b^2c^3\)، دو جمله‌ای است. یکجملهایهای آن \(-3ab^2\) و \(-4b^2c^3\)، و ضرایب عددی آنها به‌ترتیب \(-3\) و \(-4\) هستند.
د) \(2a^2b+4b^{-1}c^3\)
عبارت \(2a^2b+4b^{-1}c^3\)، دو جمله‌ای نیست. چون \(4b^{-1}c^3\) یک‌جمله‌ای نیست(؟).
هـ) \(\frac{1}{5}z-\frac{ab}{3}\)
عبارت \(\frac{1}{5}z-\frac{ab}{3}\)، دو جمله‌ای است. یکجملهایهای آن \(\frac{1}{5}z\) و \(-\frac{ab}{3}\)، و ضرایب آنها به‌ترتیب \(\frac{1}{5}\) و \(-\frac{1}{3}\) هستند.
هـ) \(\sqrt[3]{2}uw^2-\sqrt{3x}y^2\)
عبارت \(\sqrt[3]{2}uw^2-\sqrt{3x}y^2\)، دوجمله‌ای نیست؛ زیرا \(\sqrt{3x}y^2\) یک‌جمله‌ای نیست(؟).
تعریف چندجمله‌ای
مجموع چند یک‌جمله‌ای غیرمتشابه را چندجمله‌ای می‌نامند.
یک‌جمله‌ای‌ها نیز چندجمله‌ای هستند.
مثال ۶. کدام‌یک از عبارت‌های زیر چندجمله‌ای است؟
الف) \(x^2+xz+\sqrt{2}\)
چون \(x^2\)، \(xz\)، و \(\sqrt{2}\) یک‌جمله‌ای هستند، پس \(x^2+xz+\sqrt{2}\) یک چندجمله‌ای (سهجملهای) است.
ب) \(x^2y+x^3+\frac{x}{y}\)
عبارت \(x^2y+x^3+\frac{x}{y}\)، چندجمله‌ای نیست. زیرا \(\frac{x}{y}\) یک‌جمله‌ای نیست.
نام‌گذاری چندجمله‌ای‌ها
برای نام‌گذاری چندجمله‌ای‌ها از حروف بزرگ انگلیسی استفاده می‌کنند. برای مثال، می‌توان چندجمله‌ای $x^2+y^2x$ را $P$ نامید. از طرفی، چون شناسایی متغیرهای یک چندجمله‌ای، مهم هستند، پس بهتر است چندجمله‌ای $P$ را به‌صورت $P(x,y)$ نمایش داد.
مثال ۷. الف) اگر \(P(x)=x^2+1\)، آن‌وقت \(P(2)\) را به‌دست آورید.
در اینجا، منظور از \(P(2)\) این است که در چندجمله‌ای \(x^2+1\)، بهجای \(x\) عدد \(2\) را قرار دهیم:
\[\begin{aligned}P(2)&=(2)^2+1\\&=4+1\\&=5.\end{aligned}\]
ب) اگر \(Q(x)=(x-1)(x+3)\)، آن‌وقت \(Q(-3)\) را به‌دست آورید.
\[\begin{aligned}Q(-3)&=(-3-1)(-3+3)\\&=(-4)(0)\\&=0.\end{aligned}\]
توجه. تعاریف زیر برای چندجمله‌ای‌هایی هستند که فقط یک متغیر دارند.
صورت استاندارد یک چندجمله‌ای
اگر جمله‌های یک چندجمله‌ای به‌ترتیب توان متغیرش از بزرگ به کوچک مرتب شده باشد، می‌گویند که آن چندجمله‌ای به‌صورت استاندارد نوشته شده است.
مثال ۸. صورت استاندارد هریک از چندجملهایهای زیر را بنویسید.
الف) \(x-2x^2+1\)
جمله‌های چندجمله‌ای بالا عبارتند از:
\[x,-2x^2,1.\]
بنابراین، استاندارد شدهٔ این چندجمله‌ای به‌صورت زیر است:
\[-2x^2+x+1.\]
ب) \(x^3-3x^4-1+2x^2\)
جمله‌های چندجمله‌ای بالا عبارتند از:
\[x^3,-3x^4,-1,2x^2.\]
بنابراین، استاندارد شدهٔ این چندجمله‌ای به‌صورت زیر است:
\[-3x^4+x^3+2x^2-1.\]
درجهٔ چندجمله‌ای
به بزرگ‌ترین توان متغیر در یک چندجمله‌ای، درجهٔ آن چندجمله‌ای می‌گویند. برای نشان دادن درجهٔ یک چندجمله‌ای از نماد \({\rm deg}\) استفاده می‌کنیم.
برای مثال، درجهٔ چندجمله‌ای \(1+3x-5x^2\) برابر \(2\) است؛ یا به‌عبارت دیگر: \[{\rm deg}\big(1+3x-5x^{\color{red}2}\big)={\color{red}2}.\]
مثال ۹. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) \({\rm deg}\big(x^3-3x^4-1+2x^2\big)\)
\[{\rm deg}\big(x^3-3x^{\color{red}4}-1+2x^2\big)={\color{red}4}\]
ب) \({\rm deg}(7)\)
\[{\rm deg}(7)={\rm deg}\big(7x^{\color{red}0}\big)={\color{red}0}.\]
ج) \({\rm deg}\big(\sqrt{2}x^5+\sqrt[3]{3}x^6+4+12x^2\big)\)
\[{\rm deg}\big(\sqrt{2}x^5+\sqrt[3]{3}x^{\color{red}6}+4+12x^2\big)={\color{red}6}.\]
د) \({\rm deg}\big(x(x+1)\big)\)
\[{\rm deg}\big(x(x+1)\big)={\rm deg}\big(x^{\color{red}2}+x\big)={\color{red}2}.\]
مثال ۱۰. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید و درجهٔ آن را مشخص کنید.
الف) \(P(x)=(x^5+1)(x^2-x^3+x^5)\)
\[\begin{aligned}P(x)&=(x^5+1)(x^2-x^3+x^5)\\&=x^5(x^2-x^3+x^5)+1(x^2-x^3+x^5)\\&=x^7-x^8+x^{10}+x^2-x^3+x^5\\&=x^{10}-x^8+x^7+x^5-x^3+x^2.\end{aligned}\]در نتیجه:\[{\rm deg}\big(P(x)\big)=10.\]
پرسش. اگر از شما بخواهند که چندجمله‌ای \(x^{10}-x^8+x^7+x^5+x^3-x^2\) را به‌صورت حاصلضرب دوتا چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر از \(10\) بنویسید، چه میکنید؟
ب) \(Q(y)=(y^8-\sqrt{2}y^4+1)(y^8+\sqrt{2}y^4+1)\)
\[\begin{aligned}Q(y)&=(y^8-\sqrt{2}y^4+1)(y^8+\sqrt{2}y^4+1)\\&=y^8(y^8+\sqrt{2}y^4+1)-\sqrt{2}y^4(y^8+\sqrt{2}y^4+1)+1(y^8+\sqrt{2}y^4+1)\\&=y^{16}+\sqrt{2}y^{12}+y^8-\sqrt{2}y^{12}-2y^8-\sqrt{2}y^4+y^8+\sqrt{2}y^4+1\\&=y^{16}+1.\end{aligned}\]
در نتیجه:\[\begin{aligned}{\rm deg}\big(Q(y)\big)=16.\end{aligned}\]
پرسش. اگر از شما بخواهند که \(y^{16}+1\) را به‌صورت حاصلضرب دوتا چندجمله‌ای با درجهٔ کمتر از \(16\) بنویسید، چه میکنید؟
مثال ۱۱. بدون اینکه حاصلضرب را به‌دست آورید، درجهٔ هریک از چندجملهایهای زیر را به‌دست آورید.
الف) \(P(y)=(y^2+y+1)(y^3+y^6+2)\)
برای به‌دست آوردن درجهٔ \(P(y)\)، باید جملهٔ با بزرگ‌ترین درجهٔ آن را به‌دست آوریم. واضح است که جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه، از حاصلضرب \(y^2\) در \(y^6\) به‌دست میآید:
\[(y^{\color{red}2}+y+1)(y^3+y^{\color{red}6}+2).\]
بنابراین:\[{\rm deg}\big(P(y)\big)=2+6=8.\]
ب) \(Q(z)=(z^2+z+1)(z^2-z+1)(z^6-z^4+1)\)
برای به‌دست آوردن درجهٔ \(Q(z)\)، باید جملهٔ با بزرگ‌ترین درجهٔ آن را به‌دست آوریم. واضح است که جملهٔ با بزرگ‌ترین درجه، از حاصلضرب \(z^2\) (از پرانتز اول)، \(z^2\) (از پرانتز دوم)، و \(z^6\) (از پرانتز سوم) به‌دست میآید:
\[(z^{\color{red}2}+z+1)(z^{\color{red}2}-z+1)(z^{\color{red}6}-z^4+1).\]
بنابراین: \[{\rm deg}\big(Q(z)\big)=2+2+6=10.\]
مثال ۱۲. فرض کنید \({\rm deg}\big(P(x)\big)=3\) و \({\rm deg}\big(Q(x)\big)=2\). حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) \({\rm deg}\big(2P(x)\big)\)
چون با ضرب شدن \(2\) در \(P(x)\)، توان یکجملهایهای \(P(x)\) تغییر نمیکند، پس:
\[{\rm deg}\big(2P(x)\big)=3.\]
ب) \({\rm deg}\big(P(x)-Q(x)\big)\)
چون \({\rm deg}\big(P(x)\big) > {\rm deg}\big(Q(x)\big)\)، پس: \[{\rm deg}\big(P(x)-Q(x)\big)={\rm deg}\big(P(x)\big)=3\] به زبان سادهتر، چون \(P(x)\) یک یک‌جمله‌ای درجهٔ \(3\) دارد و \(Q(x)\) یک‌جمله‌ای درجهٔ \(3\) ندارد، پس در عبارت \(P(x)-Q(x)\)، برای یک‌جمله‌ای درجهٔ \(3\) اتفاقی نمیافتد!
ج) \({\rm deg}\big(P(x)\times Q(x)\big)\)
\[\left.\begin{aligned}&{\rm deg}\big(P(x)\big)=3\\&{\rm deg}\big(Q(x)\big)=2\end{aligned}\right\}\Rightarrow{\rm deg}\big(P(x)\times Q(x)\big)=3+2=5.\]
د) \({\rm deg}\big(P(x)+x^2Q(x)\big)\)
\[\left.\begin{aligned}{\rm deg}\big(x^2\big)&=2\\{\rm deg}\big(Q(x)\big)&=2\end{aligned}\right\}\Rightarrow{\rm deg}\big(x^2\times Q(x)\big)=2+2=4.\]پس داریم:\[\left.\begin{aligned}{\rm deg}\big(P(x)\big)&=3\\{\rm deg}\big(x^2\times Q(x)\big)&=4\end{aligned}\right\}\Rightarrow{\rm deg}\big(P(x)+x^2\times Q(x)\big)=4.\]
مثال ۱۳. اگر \(P(x)\) یک چهارجمله‌ای باشد، آن‌وقت حداقل مقدار \({\rm deg}\big(P(x)\big)\) چقدر است؟
واضح است که هریک از جمله‌های این چهارجمله‌ای باید حداقل درجهٔ ممکن را داشته باشند. پس این چهارجمله‌ای باید یک جملهٔ درجه \(0\)، یک جملهٔ درجه \(1\)، یک جملهٔ درجه \(2\)، و یک جملهٔ درجه \(3\) داشته باشد. برای مثال، چهارجملهایهای زیر، حداقل درجهٔ ممکن را دارند:\[\begin{aligned}&x^3+x^2+x+1\\&5x^3+x^2-2x+\sqrt{7}.\end{aligned}\]
مثال ۱۴. بدون اینکه حاصلضرب را به‌دست آورید، ضریب عددی جملهٔ درجه \(2\) هریک از چندجملهایهای زیر را به‌دست آورید.
الف) \((x-1)(1+2x^2+2x+x^4+x^3)\)
در حاصل عبارت، جملهٔ درجهٔ \(2\) از ضربهای زیر به‌دست میآید:
\(\bullet\) ضرب \(x\) از پرانتز اول در \(2x\) از پرانتز دوم:\[({\color{red}x}-1)(1+2x^2+{\color{red}2x}+x^4+x^3).\]
\(\bullet\) ضرب \(-1\) از پرانتز اول در \(2x^2\) از پرانتز دوم:\[(x{\color{green}-1})(1+{\color{green}2x^2}+2x+x^4+x^3).\]بنابراین، جملهٔ درجهٔ \(2\) حاصل برابر است با:\[\begin{aligned}&{\color{red}x\times2x}+{\color{green}(-1)\times2x^2}\\&={\color{red}2x^2}+{\color{green}(-2x^2)}\\&=0.\end{aligned}\]بنابراین، ضریب عددی جملهٔ درجه \(2\)، برابر است با: \(0\).
ب) \((5z^2-z+1)(2z^2-\sqrt{3}z-\sqrt{2})\)
در حاصل عبارت، جملهٔ درجهٔ \(2\) از ضربهای زیر به‌دست میآید:
\(\bullet\) ضرب \(5z^2\) از پرانتز اول در \(-\sqrt{2}\) از پرانتز دوم:\[({\color{red}5z^2}-z+1)(2z^2-\sqrt{3}z\,{\color{red}-\,\sqrt{2}})\]
\(\bullet\) ضرب \(-z\) از پرانتز اول در \(-\sqrt{3}z\) از پرانتز دوم:\[(5z^2\,{\color{green}-\,z}+1)(2z^2\,{\color{green}-\,\sqrt{3}z}-\sqrt{2})\] \(\bullet\) ضرب \(1\) از پرانتز اول در \(2z^2\) از پرانتز دوم:\[(5z^2-z+{\color{blue}1})({\color{blue}2z^2}-\sqrt{3}z-\sqrt{2})\]بنابراین، جملهٔ درجهٔ \(2\) حاصل برابر است با:\[\begin{aligned}&{\color{red}5z^2\times(-\sqrt{2})}+{\color{green}(-z)\times(-\sqrt{3}z)}+{\color{blue}1\times2z^2}\\&={\color{red}-5\sqrt{2}z^2}+{\color{green}\sqrt{3}z^2}+{\color{blue}2z^2}\\&=\big(-5\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\big)z^2.\end{aligned}\]بنابراین، ضریب عددی جملهٔ درجه \(2\)، برابر است با: \(-5\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\).
