کلاس ریاضی پیشرفته نهم – تابستان ۱۴۰۳

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&(x-4)(x^2+2x^3-x+1)\\&=x(x^2+2x^3-x+1)-4(x^2+2x^3-x+1)\\&=x^3+2x^4-x^2+x-4x^2-8x^3+4x-4\\&=2x^4-7x^3-5x^2+5x-4.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

عبارت \(xy^2+y^2x\)، یک‌جمله‌ای است. زیرا \(xy^2+y^2x=2xy^2\).

عبارت \(\frac{5x^2}{y}+\frac{y}{5x^2}+a\)، چندجمله‌ای نیست. زیرا \(\frac{5x^2}{y}\) یک‌جمله‌ای نیست.

عبارت \(\frac{x^2y+xy^2}{5}\)، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: \[\frac{x^2y+xy^2}{5}=\frac{1}{5}x^2y+\frac{1}{5}xy^2.\]عبارت \(x^2+3x^2+2x^3\)، دوجمله‌ای است. زیرا می‌توان آن را به‌صورت مجموع دوتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه نوشت: \[x^2+3x^2+2x^3=4x^2+2x^3.\]عبارت \(yx^2+\sqrt{x^2}y\)، چندجمله‌ای نیست. زیرا \(\sqrt{x^2}y=|x|y\)، و \(|x|y\) یک‌جمله‌ای نیست(؟).

عبارت \(-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x\) دوجمله‌ای نیست. زیرا جمله‌های \(-\sqrt{2}x\) و \(\sqrt{3}x\) متشابه‌اند. در واقع، عبارت \(-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x\) یک‌جمله‌ای است و ضریب عددی آن برابر \(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\) است:\[-\sqrt{2}x+\sqrt{3}x=(-\sqrt{2}+\sqrt{3})x.\]عبارت \(5+\sqrt{3}\) یک عدد حقیقی است. پس یک‌جمله‌ای است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&8x^2-x+2(x-4)-3(2x^2-4x-4)\\&=8x^2-x+2x-8-6x^2+12x+12\\&=2x^2+13x+4.\end{aligned}\]

تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب حداکثر \(4\) جمله است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
با عددگذاری به‌جای \(a\) و \(b\)می‌توان مثال‌هایی ساخت که چندجمله‌ای حاصل، چهارجمله‌ای، سه‌جمله‌ای، یا دوجمله‌ای باشد. برای نمونه:
\(\bullet\) اگر \(a=0\) و \(b=1\)، آن‌وقت عبارت داده شده چهارجمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x+1.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=1\) و \(b=0\)، آن‌وقت عبارت داده شده سه‌جمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x^2+x.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(a=0\) و \(b=0\)، آن‌وقت عبارت داده شده دوجمله‌ای است:
\[\begin{aligned}&x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b\\&=x^3+x.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای در یکدیگر حداقل دوجمله‌ای است. (چرا؟)

حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند سه‌جمله‌ای باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&(x+1)(x+1)\\&=x(x+1)+1(x+1)\\&=x^2+x+x+1\\&=x^2+2x+1.\end{aligned}\]
حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای می‌تواند چهارجمله‌ای باشد. برای مثال:
\[\begin{aligned}&(x+1)(y+1)\\&=x(y+1)+1(y+1)\\&=xy+x+y+1.\end{aligned}\]

واضح است که حاصل‌ضرب دوتا دوجمله‌ای نمی‌تواند بیشتر از چهار جمله داشته باشد.

پرسش. حاصل‌ضرب یک دوجمله‌ای در یک سه‌جمله‌ای، چند جمله‌ می‌تواند داشته باشد؟

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}P(7)&=(7^2-1)\times(7^2-2)\times\dots(7^2-49)\times\dots\times(7^2-100)\\&=(49-1)\times(49-2)\times\dots\times(49-49)\times\dots\times(49-100)\\&=(48)\times(47)\times\dots\times(0)\times\dots\times(-51)\\&=0.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{2}(x+1)(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=(\sqrt{2}x+\sqrt{2})(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{2}x(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)+\sqrt{2}(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\\&=\sqrt{16}x^3+\sqrt{4}x^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{16}x^2+\sqrt{4}x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+2x^2+2\sqrt{2}x+4x^2+2x+2\sqrt{2}\\&=4x^3+6x^2+(2\sqrt{2}+2)x+2\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، فقط جمله‌های \(4x^3\) و \(6x^2\) ضرایب گویا دارند.

پاسخ تشریحی

همهٔ حالت‌های ممکن برای \(A\) و \(B\) عبارتند از:
\[\begin{aligned}&\left.\begin{aligned}&A=x^2\\&B=1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=x^2-1\\&\left.\begin{aligned}&A=-x^2\\&B=-1\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-x^2+1\\&\left.\begin{aligned}&A=x\\&B=x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=-x\\&B=-x\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=0\\&\left.\begin{aligned}&A=1\\&B=x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=1-x^2\\&\left.\begin{aligned}&A=-1\\&B=-x^2\end{aligned}\right\}\Rightarrow A-B=-1+x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، برای \(A-B\) سه جواب وجود دارد:
\[x^2-1,\;-x^2+1,\;0.\]

پرسش. برای \(A+B\) چند جواب وجود دارد؟

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&-‎\frac{a}{2}A=3ab+‎\frac{a^2cb}{5}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{3ab+‎\frac{a^2cb}{5}}{-‎\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=\frac{a(3b+\frac{acb}{5})}{-\frac{a}{2}}\\[6pt]&\Rightarrow A=-2(3b+\frac{acb}{5})\\[6pt]&\Rightarrow A=-6b-\frac{2}{5}abc.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

جمله‌های درجه \(1\) به سه حالت به‌دست می‌آیند:\[\begin{aligned}&(x^2+{\color{red}3x}+1)(x\,{\color{red}-\,1})(x\,{\color{red}-\,1})\\&(x^2+3x+{\color{red}1})({\color{red}x}-1)(x\,{\color{red}-\,1})\\&(x^2+3x+{\color{red}1})(x\,{\color{red}-\,1})({\color{red}x}-1)\end{aligned}\]بنابراین، ضریب عددی جملهٔ درجه \(1\)، برابر \(1\) است. زیرا:\[\begin{aligned}&3x\times(-1)\times(-1)+1\times x\times(-1)+1\times(-1)\times x\\&=3x-x-x\\&=x.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&(y-3)(y^2-3y+9)\\&=y(y^2-3y+9)-3(y^2-3y+9)\\&=y^3-3y^2+9y-3y^2+9y-27\\&=y^3-6y^2+18y-27.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\big(-\dfrac{1}{2}xy^2\big)^3\big(\dfrac{2}{x^2y^3}\big)^2(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}x^3y^6\big)\big(\frac{4}{x^4y^6}\big)(-4x)\\&=\big(-\frac{1}{8}\times4\times(-4)\big)\frac{x^3y^6}{x^4y^6}x\\&=2.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

واضح است که عبارت‌های \(xy^2\)، \(-\sqrt{2}x\)، و \(5\) یک‌جمله‌ای هستند.
عبارت \(x^2+3x^2\) به یک‌جمله‌ای تبدیل می‌شود. زیرا: \[x^2+3x^2=4x^2.\]
چون \(\frac{5x^2}{y}=5x^2y^{-1}\)، پس توان \(y\) صحیحی نامنفی نیست. در نتیجه، \(\frac{5x^2}{y}\) یک‌جمله‌ای نیست.
چون \(\sqrt{y}x^2=y^{\frac{1}{2}}x^2\)، پس توان \(y\) صحیح نامنفی نیست. در نتیجه، \(\sqrt{y}x^2\) یک‌جمله‌ای نیست.