کلاس ریاضی پیشرفته نهم – تابستان ۱۴۰۳

فهرست

مسئله‌ها

1. دنباله‌ای از اعداد طبیعی داده شده است. اگر اختلاف هر دو عضو این دنباله را بنویسیم و مقدارهای به‌دست آمده را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم، دنبالهٔ حاصل را دنبالهٔ تفاضلی دنبالهٔ داده شده می‌نامیم.

برای مثال، اختلاف هر دو عضو متوالی دنبالهٔ \(2,7,10\) برابر است عبارتند از
\[\begin{aligned}&7-2=5\\&10-2=8\\&10-7=3.\end{aligned}\]بنابراین، دنبالهٔ تفاضلی دنبالهٔ‌ \(2,7,10\) برابر است با:
\[3,5,8.\]
دنبالهٔ تفاضلی \(2,3,5,8\) برابر است با:
\[1,2,3,3,5,6.\]

---

الف) فرض کنید حاصل‌جمع اعداد دنبالهٔ تفاضلی \(1,4,9,16,x\) برابر \(112\) باشد. اگر \(x>16\)، آن‌وقت \(x\) را بیابید.


پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&(x-16)+(x-9)+(x-4)+(x-1)+(16-9)+(16-4)+(16-1)+(9-4)+(9-1)+(4-1)=112\\&\Rightarrow4x+20=112\\&\Rightarrow4x=92\\&\Rightarrow x=23.\end{aligned}\]


ب) اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) اعدادی طبیعی باشند و \(3<a<b<c<14\) و دنبالهٔ تفاضلی \(3,a,b,c,14\) عدد تکراری نداشته باشد، آن‌وقت کمترین مقدار ممکن برای \(c\) چیست؟


پاسخ را نشان بده!

چهار عضو از دنبالهٔ تفاضلی \(3,a,b,c,14\) عبارتند از
\[a-3,b-a,c-b,14-c.\] می‌دانیم در بین این چهار عضو، عدد تکراری وجود ندارد و
\[(a-3)+(b-a)+(c-b)+(14-c)=14-3=11.\] بنابراین، هریک از این چهار برابر یکی از اعداد زیر است.
\[1,2,3,5\]
چرا؟

حاصل \(c-b\) و \(b-a\) نمی‌تواند برابر \(2\) باشد.

بنابراین، دو حالت داریم.
حالت اول: \(a-3=2\). در این‌ حالت \(b-a=5\).
چرا؟

در نتیجه، دوتا دنباله

حالت دوم: \(14-c=2\). در این حالت \(c-b=5\).
چرا؟

ج) می‌دانیم \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) اعدادی طبیعی هستند و \(3<a<b<c<d<14\). ثابت کنید دنبالهٔ تفاضلی \(3,a,b,c,d\) عدد تکراری دارد.

پاسخ را نشان بده!

---

2. الف) اگر دو جواب طبیعی برای معادلهٔ
   \[\dfrac{5}{x}+\dfrac{14}{y}=2\] بیابید.

   ب) همهٔ جواب‌های طبیعی معادلهٔ زیر را بیابید.
   \[\frac{4}{x}+\frac{5}{y}=1.\]

   ج) فرض کنید \(p\) یک عدد اول بزرگ‌تر از \(3\) باشد. کوچک‌ترین مقدار ممکن برای \(p\) را بیابید، به‌طوری که \(x\) و \(y\) جواب طبیعی معادلهٔ
   \[\frac{16}{x}+\frac{25}{y}=p\] باشند.

---

3. کامیار اعداد \(2\) و \(5\) را درهم ضرب کرد و عدد \(10\) به‌دست آمد. سپس، عدد \(4\) را به‌ هریک از اعداد \(2\) و \(5\) اضافه کرد. او این‌ حاصل‌جمع‌ها، یعنی \(6\) و \(9\)، را درهم ضرب کرد و عدد \(54\) به‌‌دست آمد. کامیار فهمید که اگر هریک از رقم‌های عدد \(10\) را هم با \(4\) جمع بزند، عدد \(54\) به‌دست می‌آید!

او جفت \((2,5)\) را یک جفت عجیب نامید.

در حالت کلی، دو عدد طبیعی \(a\) و \(b\)، که
\(a\leq b\leq 9\)، جفت عجیب هستند هرگاه \(ab\) یک عدد دورقمی باشد و عددی طبیعی مانند \(d\) وجود داشته باشد به‌طوری که
\(\bullet\) حاصل \((a+d)(b+d)\) یک عدد دورقمی باشد؛
\(\bullet\) یکان \((a+d)(b+d)\) از یکان \(ab\)، \(d\) واحد بیشتر باشد؛
\(\bullet\) دهگان \((a+d)(b+d)\) از دهگان \(ab\)، \(d\) واحد بیشتر باشد.

الف) نشان دهید \((2,8)\) یک جفت عجیب است.

ب) نشان دهید \((3,6)\) یک جفت عجیب نیست.

ج) همهٔ \(x\)هایی را بیابید که \((x,6)\) یک جفت عجیب باشد.

د) چند جفت عجیب وجود دارد؟

---