دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۲ ریاضی دهم بسنجند. معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
در مثلث \(ABC\)، زاویهٔ \(B\) قائمه است و نقطهٔ \(D\) روی ضلع \(AB\) قرار دارد. اگر اندازهٔ زاویه‌های \(BDC\) و \(ACD\) به‌ترتیب \(60\) و \(30\) درجه و طول \(BD\) برابر \(10\) سانتی‌متر باشد، آنگاه طول \(AD\) چقدر است؟
ابتدا شکل مناسبی برای این مسئله رسم میکنیم.
\(BC=10\sqrt{3}\).
در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(BCD\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}=\frac{BC}{DB}\\[7pt]&\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{10} \\[7pt]&\Rightarrow BC=10\sqrt{3}.\end{aligned}\]
\(\widehat{A}=30^\circ\).
با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(ACD\))، داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}+A\widehat{C}D=B\widehat{D}C\\&\Rightarrow\widehat{A}+30^\circ=60^\circ\\&\Rightarrow\widehat{A}=30^\circ.\end{aligned}\]
در نتیجه، \(AB=30\,\rm cm\).
در مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan\widehat{A}=\frac{BC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow AB=30.\end{aligned}\]
در شکل زیر، فرض کنید که \(AB\) عرشهٔ یک قایق بادبانی به‌طول \(8\) متر، و \(FM\) دکل آن باشد. طنابی با زاویه \(60\) درجه از \(A\) به \(M\) (بالای دکل) کشیده شده است. تعداد بیشتری طناب با زاویه \(\theta\) از \(B\) به نقطهٔ \(P\) وصل شده است. اگر نقطهٔ \(P\) دو متر پایین‌تر از \(M\) باشد، آنگاه مقدار \(MF\) (ارتفاع دکل) را برحسب \(\theta\) بیابید.
و می‌دانیم \(MF=\sqrt{3}x\) پس \(MF=\dfrac{8\sqrt{3}\tan\theta+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\tan\theta}\).
با توجه به شکل زیر، دو تپه در نقطه \(O\) به یکدیگر رسیده‌اند. یک تپه با افق زاویه \(30^\circ\) و دیگری زاویه \(45^\circ\) می‌سازد. نقاط \(A\) و \(B\) روی تپه ها قرار دارند به‌طوری‌که \(OA=OB=20{\rm m}\).
ستون‌های عمودی \(AC\) و \(BD\) با کابل \(CD\) متصل شده اند. اگر \(AC=6{\rm m}\)، و \(CD\) کمترین طول را داشته باشد، اندازه \(BD\) را بیابید.
با توجه به فرض مسئله، \(CD\) باید بر \(BD\) عمود باشد.
در صورت مسئله نوشته شده که \(CD\) کمترین طول ممکن را دارد. فرض کنیم که \(CD\) بر \(BD\) عمود نباشد. در این‌صورت اگر عمود \(CH\) را بر \(BD\) رسم کنیم، آنگاه \(CH < CD\) که با فرض مسئله در تناقض است.
پس شکل مسئله باید به‌صورت زیر باشد.
دو ستون \(AC\) و \(BD\) را امتداد می‌دهیم تا افق را به‌ترتیب در نقاط \(P\) و \(Q\) قطع کنند.
در این‌صورت \(CP=16\).
بنابه فرض مسئله، \(AO=20\). پس در مثلث \(APO\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin30^\circ=\frac{AP}{AO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{AP}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10=AP.\end{aligned}\]بنابراین:
\[\begin{aligned}CP&=AP+AC\\&=10+6\\&=16.\end{aligned}\]
و \(BQ=10\sqrt{2}\).
بنابه فرض مسئله، \(BO=20\). پس در مثلث \(BQO\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin45^\circ=\frac{BQ}{BO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{BQ}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10\sqrt{2}=BQ.\end{aligned}\]
حال، چون چهارضلعی \(CDQP\) مستطیل است(؟)، پس
\[\begin{aligned}&DQ=CP\\&\Rightarrow BD+BQ=16\\&\Rightarrow BD+10\sqrt{2}=16\\&\Rightarrow BD=16-10\sqrt{2}.\\&\end{aligned}\]
مطابق شکل زیر، متحرکی ازنقطهٔ \(A\) شروع به حرکت می‌کند و پس از طی مسافت \(5\sqrt{2}\) کیلومتر به نقطهٔ \(B\) و پس از طی مسافت \(4\sqrt{3}\) به نقطهٔ \(C\) می‌رسد. جابه‌جایی کل این متحرک در راستای افقی و در راستای عمودی را بیابید.
ابتدا از نقطهٔ \(B\) عمودی بر محور \(x\)ها رسم میکنیم و پای عمود را \(H\) می‌نامیم. سپس، از نقطه‌های \(A\) و \(C\) عمودهایی بر \(BH\) رسم میکنیم و پای این عمودها را به‌ترتیب \(M\) و \(K\) می‌نامیم.
توجه کنید که چون در مثلث \(AMB\)، اندازهٔ زاویه‌های \(A\) و \(M\) به‌ترتیب \(45\) و \(90\) درجه است، پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، \(A\widehat{B}M=45^\circ\). و چون بنابه فرض مسئله، \(A\widehat{B}C=105^\circ\)، پس:
\[\begin{aligned}M\widehat{B}C&=A\widehat{B}C-A\widehat{B}M\\[7pt]&=105^\circ-45^\circ\\[7pt]&=60^\circ.\end{aligned}\]
در مثلث \(BCK\)، داریم:
\[\begin{aligned}&\sin 60^\circ =\frac{CK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]& \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\times4\sqrt{3}=CK\\[7pt]&\Rightarrow6=CK.\end{aligned}\]
پس جابه‌جایی افقی این متحرک برابر است با:
\[\begin{aligned}AM+CK&=5+6\\&=11.\end{aligned}\]
در ادامه، جابه‌جایی کل این متحرک در راستای عمودی را محاسبه میکنیم.
به‌سادگی می‌توان نشان داد که \(BM=5\) و \(BK=2\sqrt{3}\).
چون مثلث \(ABM\) متساوی‌الساقین است(؟)، پس:
\[BM=AM=5.\]
از طرفی، در مثلث \(BKC\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos60^{\circ}=\frac{BK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow 2\sqrt{3}=BK.\end{aligned}\]
بنابراین، جابجایی کل متحرک در راستای عمودی برابر است با:
\[\begin{aligned}KM&=BM-BK\\&=5-2\sqrt{3}.\end{aligned}\]
اگر \(\cos \theta=\tan\theta\)، آنگاه مقدارهای ممکن برای \(\sin\theta\) را به‌دست آورید.
از \(\cos \theta=\tan\theta\) می‌توان نتیجه گرفت که \(\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0\).
با استفاده از اتحادهای مثلثاتی \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) و \(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos\theta=\tan\theta\\&\Rightarrow \cos\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\&\Rightarrow \cos^2 \theta=\sin\theta\\& \Rightarrow 1-\sin^2 \theta=\sin\theta \\& \Rightarrow \sin^2 \theta+\sin\theta-1=0 \end{aligned}\]
بنابراین، \(\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\).
به کمک روش مربع کامل، معادلهٔ \(\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0\) را حل میکنیم.
\[\begin{aligned}&\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\\&\sin^2\theta+\sin\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow \sin^2\theta+\sin\theta+{\color{red}\frac{1}{4}}=1+{\color{red}\frac{1}{4}}\\[7pt]&\Rightarrow \big(\sin\theta+\frac{1}{2}\big)^2=\frac{5}{4}\\[7pt]& \Rightarrow \sin \theta+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\[7pt]& \Rightarrow \sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}\]
چون محدوده تغییرات \(\sin\theta\) بازهٔ \([-1,1]\) است و
\[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx-1.65 < -1\] پس
\(\sin\theta=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\) غیرقابل قبول است. بنابراین:
\[\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.\]
اگر \(x\) یک زاویه تند باشد و \(\tan x=\frac{3}{4}\)، حاصل عبارت زیر را بیابید.
\[\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}\]
چون \(x\) یک زاویهٔ تند است و \(\tan x=\frac{3}{4}\)، پس
\[\begin{aligned}\cot x&=\frac{4}{3}\\[7pt]\cos x&=\frac{4}{5}\\[7pt]\sin x&=\frac{3}{5}.\end{aligned}\]
می‌دانیم همهٔ نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های تند، مثبت است. بنابراین،
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) داریم:
\[\begin{aligned}\cot x&=\frac{1}{\tan x}\\[9pt]&=\frac{1}{\frac{3}{4}}\\[9pt]&=\frac{4}{3}.\end{aligned}\]
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\Big(\frac{3}{4}\Big)^2+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{9}{16}+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{16}{25}=\cos^2x\\[8pt]&\Rightarrow\frac{4}{5}=\cos x.\end{aligned}\]
\(\bullet\) با استفاده از اتحاد \(\sin^2x+\cos^2x=1\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^2x=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\Big(\frac{4}{5}\Big)^2=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\frac{16}{25}=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x=\frac{9}{25}\\[7pt]&\Rightarrow\sin x=\frac{3}{5}.\end{aligned}\]
حال، با جایگذاری مقدارهای بالا در عبارت داده شده، حاصل آن را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{\frac{4}{5}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{12}{20}+\frac{16}{20}-\frac{15}{20}}{\frac{75}{60}+\frac{48}{60}-\frac{80}{60}}\\[9pt]&=\frac{\frac{13}{20}}{\frac{43}{60}}\\[9pt]&=\frac{13}{20}\times\frac{60}{43}\\[9pt]&=\frac{39}{43}.\end{aligned}\]
در چهارضلعی محدب \(ABCD\)، \(A\widehat{B}C=90^\circ\)، \(B\widehat{C}D=60^\circ\)، و
\[AB=BC=CD=6.\] طول \(AD\) را بیابید.
ابتدا از \(D\) خطی بر \(BC\) عمود میکنیم و پای عمود را \(E\) می‌نامیم.
در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&BE=CE=3\quad(1)\\&DE=3\sqrt{3}.\quad(2)\end{aligned}\]
در مثلث \(CDE\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos 60^\circ=\frac{CE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow CE=CD\times\cos 60^\circ\\&\Rightarrow CE=6\times\frac{1}{2}\\&\Rightarrow CE=3.\end{aligned}\]
از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، \(BC=6\)، پس داریم:
\[\begin{aligned}BE&=BC-CE\\&=6-3\\&=3.\end{aligned}\]
همچنین، در مثلث \(CDE\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin60^\circ=\frac{DE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow DE=CD\times\sin 60^\circ\\&\Rightarrow DE=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Rightarrow DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}\]
سپس، از \(D\) خطی بر \(AB\) عمود میکنیم و پای عمود را \(F\) می‌نامیم.
در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&DF=3\quad(3)\\&AF=6-3\sqrt{3}.\quad(4)\end{aligned}\]
چون چهارضلعی \(BEDF\) سه زاویهٔ قائمه دارد، پس این چهارضلعی، مستطیل است. و می‌دانیم که در مستطیل، ضلع‌های روبه‌رو دوبه‌دو برابرند. بنابراین، و بنابه رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&DF=BE=3\\&BF=DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}\]
از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، \(AB=6\)، پس
\[\begin{aligned}AF&=AB-BF\\&=6-3\sqrt{3}.\end{aligned}\]
در نتیجه، \(AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}\).
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث \(AFD\))، و رابطه‌های \((3)\) و \((4)\) داریم:
\[\begin{aligned}&AD^2=AF^2+DF^2\\&\Rightarrow AD^2=\big(6-3\sqrt{3}\big)^2+3^2\\&\Rightarrow AD^2=36-36\sqrt{3}+27+9\\& \Rightarrow AD^2=72-36\sqrt{3}\\& \Rightarrow AD^2=36\big(2-\sqrt{3}\big)\\&\Rightarrow AD=\sqrt{36\big(2-\sqrt{3}\big)}\\& \Rightarrow AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.\end{aligned}\]
پرسش. آیا در این مسئله، می‌توان اندازهٔ زاویه‌های \(CDA\) و \(DAB\) را به‌دست آورد؟
حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[\tan 1^{\circ}\times\tan 2^{\circ}\times\dots\times \tan 88^{\circ}\times\tan 89^{\circ}\]
برای زاویهٔ \(x\) که \(0^\circ\leq x\leq90^\circ\)، داریم \(\tan x=\cot\big(90^\circ-x\big)\) (؟). بنابراین،
\[\begin{aligned}\tan46^{\circ}&=\cot44^{\circ}\\\tan47^{\circ}&=\cot43^{\circ}\\&\vdots\\\tan88^{\circ}&=\cot2^{\circ}\\\tan89^\circ&=\cot1^\circ.\end{aligned}\quad(1)\]از طرفی، برای هر زاویه دلخواه \(x\) داریم:
\[\tan x\times\cot x=1.\quad(2)\]حال، با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
\[\tan1^\circ\times\tan2^\circ\times\dots\times\tan88^\circ\times\tan89^\circ=1.\]
برای زاویهٔ \(x\) که \(0^\circ\leq x\leq90^\circ\)، داریم \(\sin x=\cos\big(90^\circ-x\big)\) (؟). بنابراین،
\[\begin{aligned}\sin46^{\circ}&=\cos44^{\circ}\\\sin47^{\circ}&=\cos43^{\circ}\\&\vdots\\\sin88^{\circ}&=\cos2^{\circ}\\\sin89^\circ&=\cos1^\circ.\end{aligned}\quad(1)\]از طرفی، برای هر زاویه دلخواه \(x\) داریم:
\[\sin^2x+\cos^2x=1.\quad(2)\]
حال، با استفاده از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
\[\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\dots+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ=\frac{89}{2}.\]
الف) با توجه به شکل داده شده، داریم: \(\widehat A=\dfrac{\alpha}{2}\).
چون مثلث \(ACD\) متساوی‌الساقین است، پس \(\widehat{A}=D\widehat{B}A\). از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(ABD\)) داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}+D\widehat{B}A=C\widehat{D}B\\&\Rightarrow2\widehat{A}=\alpha\\&\Rightarrow\widehat{A}=\frac{\alpha}{2}.\end{aligned}\]
از طرفی، در مثلث \(BCD\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin\alpha=\frac{BC}{BD}\\&\Rightarrow BC=BD\sin\alpha.\quad (1)\end{aligned}\]و
\[\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{CD}{BD}\\&\Rightarrow CD=BD\cos\alpha.\quad (2)\end{aligned}\]
بنابراین، با استفاده از رابطه های \((1)\) و \((2)\) در مثلث \(ABC\)، داریم:
\[\begin{aligned}&\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AC}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AD+DC}\\[9pt]&\Rightarrow \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD+BD\cos\alpha}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD(1+\cos\alpha)}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.\end{aligned}\]
ب) اگر در رابطهٔ \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\)، قرار دهیم \(\alpha=30^\circ\)، آنگاه داریم:
\[\tan15^\circ=2-\sqrt{3}.\]
اگر \(\alpha=30^\circ\)، آنگاه \(\frac{\alpha}{2}=15^\circ\). پس:
\[\begin{aligned}\tan15^\circ&=\frac{\sin30^\circ}{1+\cos30^\circ}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{1}{2}\times\frac{2}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\[8pt]&=2-\sqrt{3}.\end{aligned}\]
فرض کنید \(\cos\theta=\frac{m}{m+2}\) و \(\tan\theta=\frac{m+1}{m}\). مقدار عددی \(\sin\theta\) و \(\cot\theta\) را بیابید.
برای هر زاویهٔ دلخواه \(\theta\) داریم:
\[1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\]
بنابراین
\[\begin{aligned}&1+\big(\frac{m+1}{m}\big)^2=\big(\frac{m+2}{m}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow1+\frac{m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{m^2+m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow 2m^2+2m+1=m^2+4m+4\\&\Rightarrow m^2-2m-3=0 \\&\Rightarrow (m-3)(m+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&m=3\\&m=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(m=-1\)، آنگاه \(\sin\theta=0\) و کتانژانت زاویهٔ \(\theta\) تعریف نشده است.
با جایگذاری \(m=-1\) در رابطهٔ \(\cos\theta=\frac{m}{m+2}\)، داریم:
\[\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{m}{m+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{-1+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{1}\\[7pt]&=-1.\end{aligned}\]از \(\cos\theta=-1\) نتیجه می‌شود که \(\sin\theta=0\).(؟)
با جایگذاری \(m=-1\) در رابطهٔ \(\tan\theta=\frac{m+1}{m}\)، داریم:
\[\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{m+1}{m}\\[7pt]&=\frac{-1+1}{-1}\\&=0.\end{aligned}\] از \(\tan\theta=0\) نتیجه می‌شود که \(\cot\theta\) تعریف نشده است.(؟)
\(\bullet\) اگر \(m=3\)، آنگاه:
\[\sin\theta=\frac{4}{5},\cot\theta=\frac{3}{4}.\]
برای \(m=3\)، داریم:
\[\cos\theta=\frac{m}{m+2}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\] و
\[\tan\theta=\frac{m+1}{m}=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}.\]
چون \(\cos\theta\) و \(\tan\theta\) هردو مثبت‌اند، پس \(\theta\) در ناحیه اول قرار دارد.
حال، چون می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\tan\theta\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\frac{4}{3}\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\cot\theta=\frac{3}{4}.\end{aligned}\]
از طرفی، چون می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\\[7pt]& \Rightarrow \sin^2\theta=1-\frac{9}{25} \\[7pt]&\Rightarrow\sin^2\theta=\frac{16}{25}\\[7pt]&\Rightarrow \sin\theta=\pm\frac{4}{5}.\end{aligned}\] اما چون \(\sin\theta\) در ناحیه اول مثبت است، پس مقدار منفی غیرقابل قبول است. بنابراین، \(\sin\theta=\frac{4}{5}\).
نیم‌دایره‌ای به قطر \(AB\) داده شده است. مماس در نقطه \(B\) را براین نیم‌دایره رسم میکنیم و از نقطه \(A\) قاطعی می‌کشیم تا نیم‌دایره را در \(C\) و مماس رسم شده را در \(D\) قطع کند. اگر \(\alpha\) زاویه بین قاطع و قطر \(AB\)، و \(AD=4AC\)، آنگاه اندازهٔ \(\alpha\) چقدر است؟
ابتدا با توجه به فرضیات مسئله، شکل مناسبی رسم میکنیم.
در شکل بالا، پاره‌خط \(BC\) را رسم کرده‌ایم. دو مثلث‌های \(ABD\) و \(ACB\) متشابه هستند.
بنابه قضیهٔ شعاع و مماس، \(BD\) بر \(AB\) عمود است. یعنی مثلث \(ABD\) قائم‌الزاویهٔ است.
بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ روبه‌رو به قطر برابر \(90\) درجه است. در نتیجه، \(A\widehat{C}B=90^\circ\). بنابراین، مثلث \(ACB\) قائم‌الزاویه است.
پس دو مثلث \(ABD\) و \(ACD\) در حالت زز متشابه‌اند. زیرا:
\(\bullet\) زاویه‌های \(ABD\) و \(ACD\) قائمه هستند.
\(\bullet\) زاویهٔ \(A\) در هر دو مثلث مشترک است.
طول \(AC\) با شعاع دایره برابر است.
اگر شعاع نیم‌دایره را \(r\) فرض کنیم، آنگاه \(AB=2r\). از طرفی، چون دو مثلث \(ABD\) و \(ACB\) متشابه‌اند و بنابه فرض مسئله \({\color{red}AD}={\color{red}4AC}\)، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}AD}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}4AC}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow 4AC^2=4r^2\\&\Rightarrow AC=r.\end{aligned}\]
پس در مثلث قائم‌الزاویه \(ABC\) داریم:
\[\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{AC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\cos\alpha=\frac{1}{2}\\[7pt]&\Rightarrow \alpha=60^\circ.\end{aligned}\]
یادآوری: علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه‌های اول تا چهارم
اگر \(\tan x+\cot x>0\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیهٔ دایره مثلثاتی قرار دارد؟
از فرض \(\tan x+\cot x>0\) نتیجه می‌شود که \(\tan x\) و \(\cot x\) هر دو مثبت‌اند.
می‌دانیم \(\tan x=\frac{1}{\cot x}\). پس برای هر زاویهٔ \(x\)، مقدارهای \(\tan x\) و \(\cot x\) هم‌علامت هستند؛ یعنی یا هر دو مثبت‌اند یا هر دو منفی.
از طرفی، چون \(\tan x+\cot x>0\)، پس واضح است که مقدارهای \(\tan x\) و \(\cot x\)، هر دو مثبت‌اند.
می‌دانیم که در ناحیه‌های اول و سوم، \(\tan x\) و \(\cot x\) مثبت‌اند. پس انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ اول یا سوم قرار دارد.
اگر \(\sin \alpha\times\cos\alpha < 0\) و \(\sin\alpha-\cos\alpha < 0\)، آنگاه انتهای کمان \(\alpha\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
از \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0\) نتیجه می‌شود که انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
چون \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0\)، پس \(\sin\alpha\) و \(\cos\alpha\) مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیه دوم یا چهارم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.
از \(\sin\alpha-\cos\alpha<0\) نتیجه می‌شود که \(\alpha\) در ناحیهٔ دوم قرار ندارد.
با توجه به فرض مسئله داریم:
\[\begin{aligned}&\sin\alpha-\cos\alpha<0\\&\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha.\quad(*)\end{aligned}\]چون در ناحیهٔ دوم رابطهٔ \((*)\) برقرار نیست(؟)، پس \(\alpha\) نمی‌تواند در ناحیهٔ دوم باشد.
پس انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ چهارم قرار دارد.
چون برای برخی از زاویه‌های ناحیهٔ چهارم، هر دو شرط \(\sin \alpha\times\cos\alpha<0 \) و \(\sin\alpha-\cos\alpha<0\) برقرار است.
اگر \(\sin^4 x\times\cos x < 0\) و \(\tan x > \sin x\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
واضح است که \(\sin^4 x\geq0\). پس
\[\begin{aligned}&\overbrace{\sin^4 x}^{\geq0}\times\cos x<0\\&\Rightarrow \cos x <0.\quad(1)\end{aligned}\]
از رابطهٔ \((1)\) و فرض \(\tan x > \sin x\)، می‌توان نتیجه گرفت:\[\sin x < 0.\quad(2)\]
\[\begin{aligned}&\tan x >\sin x\\[7pt]& \Rightarrow\tan x-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow \sin x\big(\frac{1}{\cos x}-1\big)>0 \\[7pt]&\Rightarrow \sin x\big(\frac{1-\cos x}{\cos x}\big)>0.\quad(2)\end{aligned}\]
حال، می‌خواهیم علامت کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\) را تعیین کنیم.
\(\bullet\) با توجه به رابطهٔ \((1)\)، مخرج کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\) منفی است.
\(\bullet\) چون همواره \(\cos x\leq1\)، پس \(0 \leq 1-\cos x\) یا به‌طور معادل \(1-\cos x\geq0\). بنابراین، صورت کسر \(\frac{1-\cos x}{\cos x}\)، نامنفی است.
پس، با توجه به رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sin x\big(\frac{\overbrace{1-\cos x}^{\geq 0}}{\underbrace{\cos x}_{ < 0}}\big) > 0\\[9pt]&\Rightarrow\sin x < 0.\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود که انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد.
اگر \(180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}\)، حاصل عبارت \(A=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\) را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید.
به کمک اتحاد مثلثاتی \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) داریم:
\[\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{\cos^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\end{aligned}\]
چون انتهای کمان \(\alpha\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد، پس \(\cos\alpha<0\). بنابراین، \(|\cos\alpha|=-\cos\alpha\). در نتیجه:
\[\begin{aligned} A&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha(-\cos\alpha)}\\&=\sqrt{{\color{red}1}+2\sin\alpha\cos\alpha} \\&= \sqrt{{\color{red}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha}\\&=\sqrt{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}\\&=|\cos\alpha +\sin\alpha|\end{aligned}\]
چون \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\)، پس
\[\left.\begin{aligned} &\cos\alpha < 0\\ &\sin\alpha < 0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos\alpha+\sin\alpha < 0.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}A&=|\overbrace{\cos\alpha+\sin\alpha}^{<0}|\\&=-(\cos\alpha+\sin\alpha)\\&=-\cos\alpha-\sin\alpha.\end{aligned}\]
اگر \(\sin x>\sin^3 x\) و \(\cos x<\cos^3 x\)، دراین‌صورت انتهای کمان \(x\) در کدام ناحیه قرار دارد؟
با توجه به \(\sin x>\sin^3 x\)، انتهای زاویهٔ \(x\) در ناحیه اول یا دوم قرار دارد. \((1)\)
\[\begin{aligned}&\sin x>\sin^3 x \\&\Rightarrow \sin x-\sin^3 x>0 \\&\Rightarrow\sin x(1-\sin^2 x)>0\\&\Rightarrow \sin x\times\underbrace{\cos^2 x}_{\geq0}>0\\[7pt]&\Rightarrow\sin x>0.\end{aligned}\]حال، چون \(\sin x>0\)، پس \(x\) در ناحیهٔ اول یا دوم قرار دارد.
با توجه به \(\cos x<\cos^3 x\)، انتهای زاویه \(x\) در ناحیه دوم یا سوم قرار دارد. \((2)\)
\[\begin{aligned}&\cos x<\cos^3 x \\&\Rightarrow \cos x-\cos^3 x<0 \\&\Rightarrow\cos x(1-\cos^2 x)<0\\&\Rightarrow \cos x\times\underbrace{\sin^2 x}_{\geq0}<0\\&\Rightarrow \cos x<0.\end{aligned}\]حال، چون \(\cos x<0\)، پس \(x\) در ناحیهٔ دوم یا سوم قرار دارد.
با توجه به دو نتیجهٔ \((1)\) و \((2)\)، انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ دوم قرار دارد.
می‌دانیم \(180^\circ <\alpha <360^\circ\). حاصل عبارت زیر را به ساده ترین صورت بنویسید.
\[A=\sin\alpha-\sqrt{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}.\]
به کمک اتحادهای مثلثاتی\(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) و \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)، می‌توان نتیجه گرفت که \(A=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}\) می‌رسیم.
چون \(\alpha\) در ناحیه سوم و چهارم دایره مثلثاتی قرار دارد، پس \(A= \frac{1}{\sin\alpha}\).
واضح است که \(\cos^2\alpha > 0\). از طرفی، چون \(180^\circ<\alpha<360^\circ\)، پس \(\sin\alpha < 0\). بنابراین، \(|\sin x|=-\sin x\). در نتیجه، داریم:
\[\begin{aligned}A&=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}\\[7pt]&=\sin\alpha-\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha}\\[7pt]&=\sin\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]& =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]&=\frac{1}{\sin\alpha}.\end{aligned}\]
اگر \(135^{\circ}<\theta<180^\circ\) باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.
\[A=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}\]
با استفاده از اتحاد \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) می‌توان ثابت کرد:
\[(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta\]
\[\begin{aligned}&(\sin\theta+\cos\theta)^2\\&=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\\&=1+2\sin\theta\cos\theta.\end{aligned}\]
و به طریق مشابه ثابت می‌شود:
\[(\sin\theta{\color{red}-}\cos\theta)^2=1{\color{red}-}2\sin\theta\cos\theta.\]
بنابراین
\[\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{\big((\sin\theta+\cos\theta)^2\big)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{(\sin\theta+\cos\theta)^6}\\&=|\sin\theta-\cos\theta|-|\sin\theta+\cos\theta|\end{aligned}\]
چون \(135^{\circ}<\theta<180^\circ\)، پس \((\sin\theta-\cos\theta)>0\) و \((\sin\theta+\cos\theta)<0\).
با توجه به فرض مسئله، \(\theta\) در ناحیهٔ دوم قرار دارد. در ناحیهٔ دوم دایرهٔ مثلثاتی \(\sin\theta>0\) و \(\cos\theta<0\)، پس: \[\sin\theta-\cos\theta>0.\]
می‌دانیم \(|\sin135^\circ|=|\cos135^\circ|\). از طرفی، همان‌طور که در ویدئوی بالا می‌بینید اگر \(135^\circ<\theta<180^\circ\)، آنگاه \(|\sin\theta|<|\cos\theta|\) و در نتیجه:
\[\sin\theta+\cos\theta<0.\]
اگر \(270^\circ<x<360^\circ\)، آنگاه \(\sin x+\tan x<0\).
می‌دانیم که اگر انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی \(270^\circ<x<360^\circ\))، آنگاه داریم:
\[\left.\begin{aligned}\sin x<0\\\tan x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\sin x+\tan x<0.\]
اگر \(270^\circ<x<360^\circ\)، آنگاه \(\cos x-\cot x>0\).
می‌دانیم که اگر انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی \(270^\circ<x<360^\circ\))، آنگاه داریم:
\[\left.\begin{aligned}\cos x>0\\\cot x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos x-\cot x>0.\]
از \(\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0\) می‌توان نتیجه گرفت که \(\sin\alpha > \cos\alpha\).
می‌دانیم برای هر مقدار \(\alpha\)، \(\sqrt{1-\cot\alpha}\geq 0\). از طرفی، چون \(\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0\)، پس \({\color{red}\sin\alpha > 0}\) و \(\sqrt{1-\cot\alpha}>0\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned} &\sqrt{1-\cot\alpha} > 0\\&\Rightarrow 1-\cot\alpha > 0\\&\Rightarrow 1 > \cot\alpha\\&\Rightarrow 1 > \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ {\color{red}(\sin\alpha > 0)}\;&\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\end{aligned}\]
در نتیجه: \(45^\circ <\alpha <180^\circ \).
می‌دانیم که اگر \(\sin\alpha>0\)، آنگاه \(\alpha\) در ناحیهٔ اول یا دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.
واضح است که
\[90^\circ\leq\alpha\leq180^\circ\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\quad (1)\]
حال باید در ناحیهٔ اول دایرهٔ مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند \(\alpha\) را پیدا کنیم که برای آن‌ها \(\sin\alpha > \cos\alpha\).
می‌دانیم که \(\sin45^\circ=\cos45^\circ\). از طرفی، با توجه به نمودار بالا، واضح است که اگر
\[\begin{aligned}&0\leq\alpha < 45^\circ\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha\\&45^\circ<\alpha\leq90^\circ\Rightarrow\sin\alpha>\cos\alpha.\quad(2)\end{aligned}\]
اکنون، باتوجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم:
\[45^\circ < \alpha\leq180^\circ.\]
اگر \(\sin x\times\cos x < 0\) و \(\sin x+\cos x <0\)، آنگاه انتهای کمان \(x\) در چه بازه‌ای قرار دارد؟
چون \(\sin x\times\cos x < 0\)، پس \(\sin x\) و \(\cos x\) مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
از طرفی، می‌دانیم که \(\sin x+\cos x <0\). در ناحیهٔ دوم \(\sin135^\circ=-\cos135^\circ\) و در ناحیهٔ چهارم \(\sin(315)^\circ=-\cos(315)^\circ\).
حال، با توجه به شکل‌های زیر، \(x\) متعلق به بازهٔ \((135^\circ, 180^\circ)\) یا \((270^\circ , 315^\circ)\) است.
باتوجه به اینکه برای هر زاویهٔ دلخواه، مانند \(x\)، داریم \(-1\leq\sin x\leq 1\)، بنابراین \(-1\leq A\leq 2\).
می‌دانیم اگر هریک از اعداد بازهٔ \([-1 , 1]\) را به توانی زوج برسانیم، عدد حاصل مثبت خواهد شد و در بازهٔ \([0 , 1]\) قرار می‌گیرد. بنابراین داریم:
\[\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow 0\leq\sin^4 x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow 0\leq 3\sin^4 x\leq 3 \\[7pt]&\Rightarrow 0{\color{red}\,-\,1}\leq 3\sin^4 x{\color{red}\,-\,1}\leq 3{\color{red}\,-\,1}\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq 3\sin^4 x-1\leq 2\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq A\leq 2.\end{aligned}\]
ابتدا با استفاده از اتحاد مثلثاتی \(\sin^2x+\cos^2x=1\)، عبارت \(A\) را فقط برحسب \(\cos x\) می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}A&=2\cos^2 x-{\color{red}\sin^2x}\\[7pt]&=2\cos^2x-{\color{red}(1\,-\,\cos^2x)}\\[7pt]&=3\cos^2x-1.\end{aligned}\]
پس \(-1\leq A\leq 2\).
عبارت را طوری تغییر شکل می‌دهیم که فقط در مخرج نسبت مثلثاتی \(\sin x\) را داشته باشیم:
\[\begin{aligned} A&=\frac{\sin x-1{\color{red}\,+\,2\,-\,2}}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2-3}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2}{\sin x+2}-\frac{3}{\sin x+2}\\[9pt]&=1-\frac{3}{\sin x+2}.\end{aligned}\]
حال به کمک محدوده تغییرات \(\sin x\)، می‌توان تعیین کرد که برای هر \(x\)، \(\dfrac{3}{\sin x+2}\) در بازه \([1,3]\) قرار می‌گیرد.
خط \(y=\frac{1}{2}\) را رسم میکنیم تا دایره مثلثاتی را قطع کند.
نقاط تلاقی خط و دایره، مکان زاویه‌هایی است که \(\sin x=\frac{1}{2}\). با توجه به شکل بالا، فقط برای \(30^\circ<x<150^\circ\) داریم \(\sin x>\frac{1}{2}\). بنابراین \(30^\circ<x<150^\circ\).
اگر \(\cos x=1-m\) و \(-60^\circ\leq x<60^\circ\)، آنگاه محدوده \(m\) را بیابید.
سلام خیلی ممنون ازسایت خوبتون اگرممکنه برای سالیازدهم ودوازدهم هم مطلب بزارین چون مطالبتون خیلی مفیده برامون??
رادوین سالاری
Member
3 سال قبل
در پرسش ابی رنگ 7 باید گفت بله CDA=135 و DAB=75
امیرعلی عراقی
مهمان
3 سال قبل
سلام اگه امکانش هست کمی زودتر درسنامه ها و سوالات دهم و اگه شد یازدهم رو اماده کنین چون اگه با همین سرعت پیش برین ما کنکورمون تموم میشه بعدش شاید برسین به یازدهم و کمی هم دوازدهم این طوری درسته که کیفیت مطالبتون بالاس ولی دیگه بدردمون نمیخوره میگن نوش دارو بعد مرگ سهراب همینه دیگه 🙂
ولی انصافا مطالبتون خیلی مفید و عالین خیلی ممنون از همتون
عالی
سلام و عرض ادب
در انتهای سوال 28 اشتباهی در علامت بزرگتر کوچیکتر گذاری رخ داده و برعکس شده
با سلام و احترام
متأسفانه متوجه اشتباه نشدم. لطفاً سطری که در آن اشتباه رخ داده را دقیق‌تر مشخص کنید.
سپاس از همراهی و توجه شما
در سطر آخر و نتیجه گیری
نوشتید که A کوچکتر از -2 و بزرگتر از 0 است
علامت ها را برعکس گذاشتید
با سپاس فراوان از شما
اصلاح شد.
سلام و احترام
ببخشید در سوال ۵۱ نمی تونستیم از اینکه آلفا بین صفر و ۱۸۰ درجه هست نتیجه بگیریم سینوسش بزرگ تر از صفره؟
سلام
نتیجه‌گیری شما درست است.
سلام
خسته نباشید
من قسمت آخر سوال ۴۱ رو متوجه نشدم
یعنی قدرمطلق حاصل‌ضرب سینوس در کسینوس زاویه x با قدرمطلق حاصل جمعشون برابره؟
سلام
با عرض پوزش فراوان، متأسفانه در صورت مسئله یک اشتباه تایپی رخ داده بود که اصلاح شد.
سلام و احترام
خسته نباشید
ببخشید در انتهای سوال ۲۸ اشتباهی رخ نداده است؟
سلام و عرض ادب
لطفاً اشتباه مذکور را دقیق‌تر مشخص کنید.
سپاسگزارم.
با سلام و عرض ادب
در پاسخ به سوال۲۳ یک اشتباهی در جواب نهایی کردید
با سلام و احترام
ممنون که تذکر دادید
اصلاح شد.
سلام خیلی ممنون ازسایت خوبتون اگرممکنه برای سالیازدهم ودوازدهم هم مطلب بزارین چون مطالبتون خیلی مفیده برامون??
در پرسش ابی رنگ 7 باید گفت بله CDA=135 و DAB=75
سلام اگه امکانش هست کمی زودتر درسنامه ها و سوالات دهم و اگه شد یازدهم رو اماده کنین چون اگه با همین سرعت پیش برین ما کنکورمون تموم میشه بعدش شاید برسین به یازدهم و کمی هم دوازدهم این طوری درسته که کیفیت مطالبتون بالاس ولی دیگه بدردمون نمیخوره میگن نوش دارو بعد مرگ سهراب همینه دیگه 🙂
ولی انصافا مطالبتون خیلی مفید و عالین خیلی ممنون از همتون