با توجه به شکل زیر، برای \(30^\circ<x<150^\circ\)، داریم \(\frac{1}{2}<\sin x\leq1\).
پس محدوده تغییرات \(m\) به‌صورت \(\frac{1}{4}<m\leq\frac{1}{2}\) است.
از اتحاد 1 و توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده می کنیم:
\[\begin{aligned}&\sin^3 x\times\cos^4x \\&=\sin x\times{\color{red}\sin^2 x}\times\cos^4 x\\& =\sin x\times{\color{red}(1-\cos^2 x)}\times\cos^4 x \\& =\sin x\times(\cos^4 x-\cos^6 x).\end{aligned}\]
ثابت کنید:
\[\frac{\sin^2 x}{1+\tan^2 x}-\frac{\cos^2 x}{1+\cot^2 x}=0.\]
از دو اتحاد شماره 4 و 5 کمک میگیریم:
\[\begin{aligned}&\frac{\sin^2 x}{{\color{red}1+\tan^2 x}}-\frac{\cos^2 x}{{\color{blue}1+\cot^2 x}}\\[11pt]&=\frac{\sin^2 x}{{\color{red}\frac{1}{\cos^2 x}}}-\frac{\cos^2 x}{{\color{blue}\frac{1}{\sin^2 x}}}\\[11pt]&={\sin^2 x}{\color{red}\times\cos^2 x}-\cos^2 x\times{\color{blue}\sin^2 x}\\& =0.\end{aligned}\]
با فرض با معنی بودن کسر، ثابت کنید:
\[\frac{1+\sin x}{1-\sin x}-\frac{1-\sin x}{1+\sin x}=\frac{4\tan x}{\cos x}.\]
حال به کمک اتحاد شماره 4 و توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع، به طرف دیگر اتحاد می‌رسیم:
\[\begin{aligned}&(1-{\color{blue}\tan^2x})\times\frac{1}{\cos^2x}\\[11pt]&=(1-{\color{blue}(\frac{1}{\cos^2x}-1)})\times\frac{1}{\cos^2x}\\[11pt]&=(2-\frac{1}{\cos^2x})\times\frac{1}{\cos^2x}\\[11pt]&=\frac{2}{\cos^2x}-\frac{1}{\cos^4 x}\end{aligned}\]
با فرض با معنی بودن کسر، درستی اتحاد زیر را بررسی کنید.
\[\frac{\sin^3x}{1+\cos x}+\sin x\times\cos x=\sin x.\]
اگر انتهای کمان \(x\) در ناحیه سوم دایرهٔ مثلثاتی باشد (با فرض با معنی بودن عبارت)، ثابت کنید:
\[\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}=-\frac{1+\sin x}{\cos x}.\]
\[\begin{aligned}&\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\\[11pt]&=\sqrt{\frac{(1+\sin x){\color{red}(1+\sin x)}}{(1-\sin x){\color{red}(1+\sin x)}}}\\[11pt]&=\sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}\\[11pt]&=\sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}}\\[11pt]&=\frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}.\end{aligned}\]
چون برای هر مقدار \(x\)، داریم \(-1\leq \sin x\leq 1\)، پس حاصل عبارت \(1+\sin x\) همواره عددی مثبت است. از طرفی، با توجه به اینکه انتهای کمان \(x\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد، پس \(\cos x\) منفی است. در نتیجه، \(|\cos x|=-\cos x\). بنابراین:
\[\begin{aligned}\frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}=\frac{1+\sin x}{-\cos x}.\end{aligned}\]
اگر \(\sin^6x+\cos^6x=\frac{1}{16}\)، حاصل \(|\sin x\times\cos x|\) را بیابید.
ابتدا عبارت \(\sin^6x+\cos^6x\) را به کمک اتحاد چاق و لاغر تجزیه می‌کنیم:
\[(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\times\cos^2x+\cos^4x)=\frac{1}{16}.\quad\quad (*)\]
از طرفی،
\[\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\times\cos^2x.\quad(**)\]
می‌دانیم:
\[\begin{aligned}&\sin x=a+2b\\&\Rightarrow{\color{blue}\sin^2 x}={\color{blue}(a+2b)^2}.\end{aligned}\]همچنین:
\[\begin{aligned}&\cos x=a-2b\\&\Rightarrow{\color{green}\cos^2 x}={\color{green}(a-2b)^2}.\end{aligned}\]با کمک رابطه‌های بالا و اتحاد مثلثاتی 1، از \(\sin^4 x-\cos^4 x=a\) می‌توان نتیجه گرفت که \(b^{-1}=8\).
با استفاده از رابطهٔ \((\star)\) داریم:
\[\begin{aligned}A&=\frac{\frac{2}{3}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha}{3\sin\alpha-3\cos\alpha}\\[9pt]&=\frac{\frac{2}{3}\cos\alpha-\frac{1}{2}(-3\cos\alpha)}{3(-3\cos\alpha)-3\cos\alpha}\\[9pt]&=\frac{\frac{2}{3}\cos\alpha+\frac{3}{2}\cos\alpha}{-9\cos\alpha-3\cos\alpha}\\[9pt]&=\frac{(\frac{2}{3}+\frac{3}{2})\cos\alpha)}{-12\cos\alpha}\\[9pt]&=\frac{\frac{13}{6}}{-12}\\[9pt]&=-\frac{13}{72}.\end{aligned}\]
فرض کنید \(\tan x=\frac{m+1}{m}\) و \(\cos x=\frac{m}{m+2}\). مقدار \(m\) و سایر نسبت‌های مثلثاتی زاویه \(x\) را بیابید.
بهازای \(m=3\)، داریم: \(\sin x=\frac{4}{5}\) و \(\cot x=\frac{3}{4}\).
چون:
\[\tan x=\frac{m}{m+1}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}\] و
\[\begin{aligned}& \tan x\times\cot x=1\\[7pt]&\Rightarrow \frac{4}{3}\times\cot x=1\\[7pt]& \Rightarrow \cot x=\frac{3}{4}.\end{aligned}\]
چون:
\[\cos x=\frac{m}{m+2}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}\] پس با استفاده از اتحاد مثلثاتی 1 داریم:
\[\begin{aligned}& \sin^2 x=1-\cos^2 x\\[7pt]&\Rightarrow \sin^2 x=1-\big(\frac{3}{5}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x=1-\frac{9}{25} \\[7pt]&\Rightarrow \sin^2 x=\frac{16}{25}\\[7pt]&\Rightarrow \sin^2 x=\pm\frac{4}{5}. \end{aligned}\]
برای \(m=3\)، مقادیر \(\tan x\) و \(\cos x\) بهترتیب برابر با \(\frac{4}{3}\) و \(\frac{3}{5}\) هستند. بنابراین، چون \(\tan x>0\) و \(\cos x>0\)، پس \(x\) در ناحیه اول دایره مثلثاتی قرار دارد. در نتیجه، \(\sin x\) مقداری مثبت است. بنابراین، \(\sin x=\frac{4}{5}\).
برای \(m=-1\)، \(\sin x=0\) و \(\cot x\) تعریف نشده است.
اگر \(m=-1\)، آنگاه \(\tan x=0\) و \(\cos x=-1\). در نتیجه، \(x=180^\circ\). زیرا:
\[\begin{aligned}\tan x&=\frac{m+1}{m}\\[7pt]&=\frac{-1+1}{-1}\\[7pt]&=\frac{0}{-1}\\[7pt]&=0\end{aligned}\] و
\[\begin{aligned}&\begin{aligned}\cos x&=\frac{m}{m+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{-1+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{1}\\[7pt]&=-1\end{aligned}\\&\Rightarrow x=180^\circ.\end{aligned}\]
حال چون \(x=180^\circ\)، پس \(\sin x=0\) و \(\cot x\) تعریف نشده است.
اگر \((2m+1)y-(m+2)x+3=0\) معادلهٔ خطی باشد که با جهت مثبت محور \(x\) زاویهٔ \(45^{\circ}\) می‌سازد، آنگاه مقدار \(m\) را بیابید.
شیب خط \((2m+1)y-(m+2)x+3=0\) برحسب \(m\) برابر \(a=\frac{m+2}{2m+1}\) است.
ابتدا معادلهٔ خط را به صورت استاندارد (\(y=ax+b\) که \(a\) شیب خط و \(b\) عرض از مبدأ آن است) مرتب می‌کنیم.
\[\begin{aligned}& (2m+1)y=(m+2)x-3\\[7pt]&\Rightarrow y=\frac{m+2}{2m+1}x-\frac{3}{2m+1}.\end{aligned}\]
در نتیجه، \(m=1\).
می‌دانیم شیب یک خط برابر تانژانت زوایهای است که آن خط با جهت مثبت محور می‌سازد. پس \(a=\tan 45^{\circ}\).
\[\begin{aligned}&a=\tan 45^{\circ} \\&\Rightarrow \frac{m+2}{2m+1}=1\\&\Rightarrow m+2=2m+1 \\& \Rightarrow 1=m.\end{aligned}\]
در شکل زیر، خط \(\ell\) با محور \(x\)ها موازی است. معادلهٔ خط \(d\) را بنویسید.
اگر محل برخورد خط \(d\) با محور \(x\)ها را به‌صورت زیر نمایش دهیم، آنگاه \(\beta=60^\circ\).
چون خط \(\ell\) با محور \(x\)ها موازی است، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب داریم: \(\alpha=120^\circ\). در نتیجه، چون
\[\begin{aligned}& \alpha+\beta=180^\circ\\&\Rightarrow120^\circ+\beta=180^\circ\\&\Rightarrow\beta=60^\circ.\end{aligned}\]
شیب خط \(d\) برابر \(\sqrt{3}\) است.
می‌دانیم شیب یک خط برابر تانژانت زوایهای است که آن خط با جهت مثبت محور می‌سازد. پس شیب خط \(d\) برابر است با:
\[\begin{aligned}\tan\alpha=\tan60^\circ=\sqrt{3}.\end{aligned}\]
بنابراین، معادله خط موردنظر با معلوم بودن شیب و عرض از مبدأ آن به‌صورت \(y=\sqrt{3}x-2\) است.
برای نوشتن معادلهٔ خط \(d\) به شیب و عرض از مبدأ آن نیاز داریم. با توجه به شکل داده شده، عرض از مبدأ خط \(d\) برابر \(2\) است. از طرفی، می‌دانیم شیب یک خط برابر تانژانت زوایهای است که آن خط با جهت مثبت محور می‌سازد. پس برای محاسبهٔ شیب خط \(d\) کافی است، در شکل زیر، مقدار \(\alpha\) را بیابیم.
بهسادگی می‌توان نشان داد که \(\alpha=120^\circ\).
با استفاده از زاویهٔ مکمل زاویهٔ \(150\) درجه، عمود بودن محورهای مختصات برهم، و قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}\alpha=30^\circ+90^\circ=120^\circ.\end{aligned}\]
پس شیب خط \(d\) برابر است با: \[\tan 120^\circ=-\sqrt{3}.\] بنابراین، معادلهٔ خط \(d\) به‌صورت \(y=-\sqrt{3}x+2\) است.
اگر مبدأ مختصات را نقطهٔ \(O\) بنامیم، آنگاه \(OB=1\).
برای محاسبهٔ اندازهٔ \(OB\) باید طول از مبدأ خط \(y=2-2x\) را به‌دست آوریم. یعنی باید در معادلهٔ این خط، \(y\) را برابر \(0\) قرار دهیم و \(x\) را بیابیم:
\[\begin{aligned}&y=2-2x\\&\Rightarrow0=2-2x\\&\Rightarrow1=x\\&\Rightarrow OB=1.\end{aligned}\]
از نقطهٔ \(A\) عمود \(AH\) را بر محور \(x\) رسم می‌کنیم. چون \(A=\big(2,\sqrt{3}\big)\)، پس \(OH=2\) و \(AH=\sqrt{3}\).
در نتیجه، در مثلث \(ABH\) داریم: \(\beta=60^\circ\).
چون \(OH=2\) و \(OB=1\)، پس
\[\begin{aligned}BH&=OH-OB\\&=2-1\\&=1.\end{aligned}\]
حال، با استفاده از تانژانت زاویهٔ \(\beta\) در مثلث \(ABH\) داریم:
\[\begin{aligned}&\tan\beta=\frac{AH}{BH}\\[7pt]&\Rightarrow\tan\beta=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\\[7pt]&\Rightarrow \beta=60^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین، \(\alpha=30^\circ\).
در مثلث \(OBC\) داریم:
\[\begin{aligned}&90^\circ+\alpha+\beta=180^\circ\\&\Rightarrow90^\circ+\alpha+60^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow \alpha=30^\circ.\end{aligned}\]
اگر خطی از نقطهٔ \(A(\sqrt{3},7)\) بگذرد و با جهت مثبت محور \(x\) ها زاویه \(30\) درجه بسازد، مساحت شکل محصور این خط با محورهای مختصات را بیابید.
معادله خط گذرنده از \(A\) به‌صورت \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\) است.
می‌دانیم شیب یک خط برابر تانژانت زاویه‌ای که آن خط با محور \(x\)ها می‌سازد. پس
\[\begin{aligned}&m=\tan 30^\circ\\[7pt]&\Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{aligned}\] .
حال با جایگذاری طول و عرض نقطهٔ \(A\) در معادلهٔ خط، عرض از مبدأ آن را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b\\&\Rightarrow 7=\frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} +b \\& \Rightarrow 7-1=b.\end{aligned}\] بنابراین:
\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\] معادلهٔ خط مورد نظر است.
مساحت شکل مورد نظر \(18\sqrt{3}\) است.
برای یافتن نقطهٔ تلاقی خط مورد نظر با محورهای مختصات طول از مبدأ و عرض از مبدأ آن را پیدا می‌کنیم.
\[\begin{aligned}&y=0 \Rightarrow 0=\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\\&\Rightarrow -6=\frac{\sqrt{3}}{3}x \\& \Rightarrow -6\times\frac{3}{\sqrt{3}}=x\\&\Rightarrow x=-6\sqrt{3}.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&x=0 \Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 0+6\\&\Rightarrow y=6.\end{aligned}\]
می‌دانیم شیب خط گذرنده از دو نقطه به مختصات \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) برابر است با \(m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) و از طرفی \(m=\tan 30^\circ\). پس
\[\begin{aligned}&m=\frac{9-a}{a{\color{red}\sqrt{3}}-2{\color{red}\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt3}\\&\Rightarrow \frac{9-a}{(a-2)\color{red}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt3}\\& \Rightarrow (9-a)\sqrt{3}=(a-2)\sqrt{3}\\&\Rightarrow 9-a=a-2\\&\Rightarrow11=2a\\&\Rightarrow \frac{11}{2}=a.\end{aligned}\]
محدوده کمان \(\alpha\) را چنان بیابید که تساوی زیر درست باشد. \((0<\alpha<180^\circ)\)
\[\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{2}{\sin\alpha}.\]
با توجه به اینکه \(-1<\cos\alpha<1\)، پس \(1-\cos\alpha\) و \(1+\cos\alpha\) مقادیر مثبت هستند. بنابراین
\[\begin{aligned}&\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\\[8pt]&=\frac{|1+\cos\alpha|}{|\sin\alpha|}+\frac{|1-\cos\alpha|}{|\sin\alpha|}\\[8pt]&=\frac{1+\cos\alpha}{|\sin\alpha|}+\frac{1-\cos\alpha}{|\sin\alpha|}\\[8pt]&=\frac{2}{|\sin\alpha|}.\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}&\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}+\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{2}{\sin\alpha}\\[8pt]&\Rightarrow \frac{2}{|\sin\alpha|}=\frac{2}{\sin\alpha}\\[8pt]&\Rightarrow |\sin\alpha|=\sin\alpha\\&\Rightarrow\sin\alpha>0.\end{aligned}\]در نتیجه، \(\alpha\) در ناحیه اول یا دوم دایره مثلثاتی قرار دارد.
اگر \(\tan x+\cot x=\frac{32}{9}\)، حاصل \(|\sin x+\cos x|\) را بیابید.
سلام خیلی ممنون ازسایت خوبتون اگرممکنه برای سالیازدهم ودوازدهم هم مطلب بزارین چون مطالبتون خیلی مفیده برامون??
رادوین سالاری
Member
4 سال قبل
در پرسش ابی رنگ 7 باید گفت بله CDA=135 و DAB=75
امیرعلی عراقی
مهمان
4 سال قبل
سلام اگه امکانش هست کمی زودتر درسنامه ها و سوالات دهم و اگه شد یازدهم رو اماده کنین چون اگه با همین سرعت پیش برین ما کنکورمون تموم میشه بعدش شاید برسین به یازدهم و کمی هم دوازدهم این طوری درسته که کیفیت مطالبتون بالاس ولی دیگه بدردمون نمیخوره میگن نوش دارو بعد مرگ سهراب همینه دیگه 🙂
ولی انصافا مطالبتون خیلی مفید و عالین خیلی ممنون از همتون
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ می‌دهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال می‌کنیم. ❤️عالی
سلام و عرض ادب
در انتهای سوال 28 اشتباهی در علامت بزرگتر کوچیکتر گذاری رخ داده و برعکس شده
با سلام و احترام
متأسفانه متوجه اشتباه نشدم. لطفاً سطری که در آن اشتباه رخ داده را دقیق‌تر مشخص کنید.
سپاس از همراهی و توجه شما
در سطر آخر و نتیجه گیری
نوشتید که A کوچکتر از -2 و بزرگتر از 0 است
علامت ها را برعکس گذاشتید
با سپاس فراوان از شما
اصلاح شد.
سلام و احترام
ببخشید در سوال ۵۱ نمی تونستیم از اینکه آلفا بین صفر و ۱۸۰ درجه هست نتیجه بگیریم سینوسش بزرگ تر از صفره؟
سلام
نتیجه‌گیری شما درست است.
سلام
خسته نباشید
من قسمت آخر سوال ۴۱ رو متوجه نشدم
یعنی قدرمطلق حاصل‌ضرب سینوس در کسینوس زاویه x با قدرمطلق حاصل جمعشون برابره؟
سلام
با عرض پوزش فراوان، متأسفانه در صورت مسئله یک اشتباه تایپی رخ داده بود که اصلاح شد.
سلام و احترام
خسته نباشید
ببخشید در انتهای سوال ۲۸ اشتباهی رخ نداده است؟
سلام و عرض ادب
لطفاً اشتباه مذکور را دقیق‌تر مشخص کنید.
سپاسگزارم.
با سلام و عرض ادب
در پاسخ به سوال۲۳ یک اشتباهی در جواب نهایی کردید
با سلام و احترام
ممنون که تذکر دادید
اصلاح شد.
سلام خیلی ممنون ازسایت خوبتون اگرممکنه برای سالیازدهم ودوازدهم هم مطلب بزارین چون مطالبتون خیلی مفیده برامون??
در پرسش ابی رنگ 7 باید گفت بله CDA=135 و DAB=75
سلام اگه امکانش هست کمی زودتر درسنامه ها و سوالات دهم و اگه شد یازدهم رو اماده کنین چون اگه با همین سرعت پیش برین ما کنکورمون تموم میشه بعدش شاید برسین به یازدهم و کمی هم دوازدهم این طوری درسته که کیفیت مطالبتون بالاس ولی دیگه بدردمون نمیخوره میگن نوش دارو بعد مرگ سهراب همینه دیگه 🙂
ولی انصافا مطالبتون خیلی مفید و عالین خیلی ممنون از همتون