نمونه سوال الگو و دنباله

فصل اول ریاضی دهم به مبحث الگو و دنباله می‌پردازد. در زیر، تعدادی نمونه سوال الگو و دنباله آمده است که راه‌حل تشریحی همهٔ آنها در درسنامهٔ الگو و دنباله نوشته شده است.

درسنامهٔ الگو و دنباله

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مبحث الگو و دنباله بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

در یک دنبالۀ حسابی جملۀ بیستم برابر $100$ است، و جملۀ اول و قدرنسبت باهم برابرند. مجموع حداکثر چند جملۀ نخست این دنباله از $240$ کوچکتر است؟
در یک دنبالۀ هندسی جمله‌های $20$اُم و $24$اُم به‌ترتیب $\frac{1}{9}$ و $9$ هستند. جملۀ دهم این دنباله را به‌دست آورید.
در یک دنبالۀ هندسی حاصل‌جمع جمله‌های اول و چهارم برابر $56$، و حاصل‌جمع جمله‌های دوم و سوم برابر $24$ است. قدرنسبت این دنباله را بیابید.
اگر جمله‌های یک دنبالۀ حسابی افزایشی، زیرمجموعهٔ عددهای طبیعی باشند و مجموع $20$ جملۀ نخست این دنباله $410$ باشد، آنگاه مجموع $10$ جملۀ نخست این دنباله را بیابید. (در دنبالهٔ حسابی افزایشی، هر جمله از جملهٔ قبلش بزرگ‌تر است.)
حاصل‌جمع سه عدد که دنبالۀ هندسی می‌سازند $35$ و حاصل‌ضرب آنها $1000$ است. این سه عدد را بیابید.
فرض کنید $a$، $b$، $c$، و $d$ جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. ثابت کنید:
\[(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(d-a)^2.\]
اولین، سومین، و پنجمین جملۀ یک دنبالۀ هندسی به‌ترتیب جمله‌های اول، چهارم، و ششم یک دنبالۀ حسابی هستند. اگر جملۀ اول دنبالهٔ حسابی $5$ باشد، آنگاه قدرنسبت دنبالهٔ حسابی و هندسی را بیابید.
با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.

الف) در یک دنبالهٔ حسابی اگر $m-n=k-\ell$، آنگاه $a_m-a_n=a_k-a_\ell$.
ب) در یک دنبالهٔ هندسی اگر $m-n=k-\ell$، آنگاه $a_m-a_n=a_k-a_\ell$.

می‌خواهیم خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنیم که هر سطر آن (از چپ به راست) و هر ستون آن (از بالا به پایین)، یک دنبالهٔ حسابی باشد. همهٔ مقدارهای ممکن برای $x$، $y$، و $z$ را بیابید.

خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنید که اعداد هر سطر و هر ستون جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. (راهنمایی: اعداد داخل جدول را تجزیه کنید.)

ثابت کنید که اگر $25$، $43$، و $70$ سه جمله از یک دنبالهٔ‌ حسابی باشند، آن‌وقت $2005$ نیز یکی از جمله‌های آن دنبالهٔ حسابی است.
نشان دهید که یک مثلث قائم‌الزاویه که ضلع‌های آن جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی هستند، همواره با مثلثی به اضلاع $3$، $4$، و $5$، متشابه است.
فرض کنید $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ متوالی از یک دنبالهٔ حسابی باشند. ثابت کنید:

\[a^2+8bc=(2b+c)^2.\]

کیمیا جمله‌های مشترک دو دنبالهٔ $?_?=15n+4$ و $?_?=12k+1$ را به‌صورت یک دنباله نوشته است. پنجمین جملهٔ دنبالهٔ کیمیا چه عددی است؟
در دنباله‌های حسابیِ \[2,9,16,23,\dots\] و \[12,17,22,27,\dots\] چند عدد سه رقمی مشترک کوچک‌تر از $300$، موجود است؟
حسن جمله‌های مشترک دنباله‌های حسابی\[3, 7, 11,. . .\]و\[2, 9, 16,. . .\]را به‌صورت یک دنباله نوشته است. جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسن را بیابید.
دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم:
\[a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224.\]
آیا می‌توانیم جملهٔ دهم این دنباله را بیابیم؟ جملهٔ عمومی را چطور؟
در یک دنبالهٔ حسابی، مجموع پنج جملهٔ اول با مجموع چهار جملهٔ بعد از آنها برابر است. اگر جملهٔ اول این دنباله 48 باشد، آن‌وقت جملهٔ دهم چه عددی است؟
ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه، یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت 7 می‌سازند. مساحت این مثلث چقدر است؟
ثابت کنید که در هر مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع وارد بر وتر واسطهٔ هندسی دو پاره‌خطی است که ارتفاع روی وتر ایجاد می‌کند.
اولین، $20$اُمین، $58$اُمین جملهٔ یک دنبالهٔ حسابی افزایشی، جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی‌اند. قدرنسبت این دنبالهٔ هندسی را بیابید.
در یک دنباله $a_1=1$ و برای $n\geq1$، داریم $(a_{n+1})^3=99(a_n)^3$. جملهٔ صدم این دنباله را بیابید.
مقدار $a$ را طوری تعیین کنید که ریشه‌های چندجمله‌ای $x^3-7x^2+14x+a$ جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی افزایشی باشند.