کلاس آنلاین آموزش ریاضی و ریاضی تکمیلی هشتم (تابستان ۱۴۰۳) – پنج‌شنبه شنبه – هفتهٔ اول

نظر سنجی

آزمونک

اگر در آزمونک زیر، نمرهٔ کامل نگرفتید، آن‌قدر آن را تکرار کنید که نمرهٔ کامل بگیرید.

تخته کلاس – جلسهٔ اول

تخته کلاس – جلسهٔ دوم

تمرین‌ها

1. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

\[\begin{aligned}&(-5\times 4)^2\div2^4\times (-3)^2\\&\big((1\times 2\div(3\times 4)-5)\times 6-7\big)\div (8\times 9)\end{aligned}\]

پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&(-5\times 4)^2\div2^4\times (-3)^2\\&=(-20)^2\div2^4\times(-3)^2\\&=400\div16\times9\\&=25\times9\\&=225.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\big((1\times 2\div(3\times 4)-5)\times 6-7\big)\div (8\times 9)\\&=\big((1\times 2\div12-5)\times 6-7\big)\div72\\&=\big((2\div12-5)\times 6-7\big)\div72\\&=\big((\frac{1}{6}-5)\times 6-7\big)\div72\\&=(1-30-7)\div72\\&=(-29-7)\div72\\&=-36\div72\\&=-\frac{1}{2}.\end{aligned}\]


---

2. روی محور اعداد صحیح چند عدد بین $-1394.1$ و $2015.4$ قرار دارد؟




پاسخ را نشان بده!

واضح است که بین اعداد $-1394.1$ و $2015.4$، \(1394\)تا عدد صحیح منفی، \(2015\)تا عدد صحیح مثبت، و عدد صحیح \(0\) وجود دارد. پس تعداد این اعداد صحیح برابر است با: \[1394+1+2015=3410.\]


---

3. می‌خواهیم داخل جاهای خالی عبارت\[5\;\square\;4\;\square\;3\;\square\;2\;\square\;1\]دو علامت ضرب و دو علامت جمع قرار دهیم. حاصل این عبارت چه عددهایی می‌تواند باشد؟
پاسخ را نشان بده!

همهٔ حالت‌هایی را که می‌توان دو علامت ضرب و دو علامت جمع را در جاهای خالی قرار داد، می‌نویسیم:

حالت اول.
\[5\times 4\times 3+2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $63$ است.

چرا؟

\[\begin{aligned}&5\times 4\times 3+2+1\\&=20\times 3+2+1\\&=60+2+1\\&=62+1\\&=63.\end{aligned}\]

حالت دوم.
\[5\times 4+3\times 2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $27$ است.

چرا؟

\[\begin{aligned}&5\times 4+3\times 2+1\\&=20+6+1\\&=26+1\\&=27.\end{aligned}\]

حالت سوم. 
\[5\times 4+3+2\times 1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $25$ است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&5\times 4+3+2\times 1\\&=20+3+2\\&=23+2\\&=25.\end{aligned}\]

حالت چهارم.
\[5+4\times 3\times 2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $30$ است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&5+4\times 3\times 2+1\\&=5+12\times 2+1\\&=5+24+1\\&=29+1\\&=30.\end{aligned}\]

حالت پنجم. 
\[5+4\times 3+2\times 1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $19$ است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&5+4\times 3+2\times 1\\&=5+12+2\\&=17+2\\&=19.\end{aligned}\]

حالت ششم.
\[5+4+3\times 2\times 1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $15$ است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&5+4+3\times 2\times 1\\&=5+4+6\times 1\\&=5+4+6\\&=9+6\\&=15.\end{aligned}\]

---

4. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

\[1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+11^2-12^2\]

پاسخ را نشان بده!

تفاضل مربع هر دو عدد صحیح متوالی، عددی فرد است. (تمرین ۶ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)
\[\begin{aligned}&(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+(5^2-6^2)+\dots+ (11^2-12^2)\\&=(1-4)+(9-16)+(25-36)+\dots+(121-144)\\&=(-3)+(-7)+(-11)+\dots+(-23)\\&=\frac{-26\times6}{2}\\&=-13\times6\\&=-78.\end{aligned}\]

---

مسئله‌های مشابه

تمرین ۶ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
تمرین ۶ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
تمرین ۷ صفحهٔ ۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

---

5. در یک مربع جادویی \(4\times4\) که با اعداد \(1\) تا \(16\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهارگوشه را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

در یک مربع جادویی \(4\times4\) که با اعداد \(1\) تا \(16\) پر شده است، حاصل‌جمع هر سطر، هر ستون، و هر قطر برابر \(34\) است.
چرا؟

حاصل‌جمع همهٔ اعداد این مربع جادویی برابر است با:
\[\begin{aligned}1+2+3+\dots+16&=\frac{16\times17}{2}\\[7pt]&=8\times17.\end{aligned}\]
می‌خواهیم این اعداد را به چهار دسته، با مجموع مساوی تقسیم کنیم. پس مجموع هر دسته برابر است با:
\[\begin{aligned}\frac{8\times17}{4}&=2\times17\\&=34.\end{aligned}\]

در خانه‌های این مربع جادویی، به‌جای \(1\) تا \(16\)، نمادهای \(a_1\) تا \(a_{16}\) را قرار می‌دهیم.



می‌خواهیم حاصل عبارت \(a_1+a_4+a_{13}+a_{16}\) را بیابیم.

داریم:
\[{\color{red}a_2+a_6+a_{10}+a_{14}+a_3+a_7+a_{11}+a_{15}=2\times34}.\quad(1)\]
چرا؟

می‌دانیم حاصل‌جمع هر ستون این مربع‌جادویی برابر \(34\) است. پس:
\[(a_2+a_6+a_{10}+a_{14})+(a_3+a_7+a_{11}+a_{15})=34+34.\]

چون حاصل‌جمع هر سطر و هر قطر این مربع جادویی برابر \(34\) است، پس:
\[\begin{aligned}&a_1+a_2+a_3+a_4\\&\qquad+a_{13}+a_{14}+a_{15}+a_{16}\\&\qquad+a_1+a_6+a_{11}+a_{16}\\&\qquad+a_4+a_7+a_{10}+a_{13}\\&=34+34+34+34\\&=4\times34.\quad(2)\end{aligned}\]
از طرفی،
\[\begin{aligned}&a_1+a_2+a_3+a_4\\&\qquad+a_{13}+a_{14}+a_{15}+a_{16}\\&\qquad+a_1+a_6+a_{11}+a_{16}\\&\qquad+a_4+a_7+a_{10}+a_{13}\\&=2a_1+2a_4+2a_{13}+2a_{16}\\&\qquad+{\color{red}a_2+a_6+a_{10}+a_{14}+a_3+a_7+a_{11}+a_{15}}.\quad(3)\end{aligned}\]
حال، با استفاده از رابطهٔ \((1)\)، \((2)\)، و \((3)\) داریم:
\[\begin{aligned}&2a_1+2a_4+2a_{13}+2a_{16}+{\color{red}2\times34}=4\times34\\&\Rightarrow2(a_1+a_4+a_{13}+a_{16})=4\times34-2\times34\\&\Rightarrow2(a_1+a_4+a_{13}+a_{16})=2\times34\\&\Rightarrow a_1+a_4+a_{13}+a_{16}=34.\end{aligned}\]


---