کلاس آنلاین آموزش ریاضی و ریاضی تکمیلی هشتم (تابستان ۱۴۰۳) – پنج‌شنبه شنبه – هفتهٔ سوم

نظر سنجی

آزمونک

اگر در آزمونک زیر، نمرهٔ کامل نگرفتید، آن‌قدر آن را تکرار کنید که نمرهٔ کامل بگیرید.

تخته کلاس- هفتهٔ سوم- جلسهٔ پنجم

تخته کلاس- هفتهٔ سوم- جلسهٔ ششم

تمرین‌ها

1. در محور زیر، طول قطعه‌های مشخص شده یکسان است. مقدار \(a + b\) را بیابید.



پاسخ را نشان بده!

فاصلهٔ \(\frac{1}{5}\) تا \(\frac{1}{4}\) برابر \(\frac{1}{20}\) است. زیرا: \[\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}.\]

می‌دانیم که طول قطعه‌های مشخص شده یکسان است. پس فاصلهٔ \(a\) تا \(\frac{1}{5}\) و \(b\) تا \(\frac{1}{4}\) برابر \(\frac{1}{20}\) است.

در این‌صورت، \(a=\frac{1}{5}-\frac{1}{20}\) و \(b=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}a+b&=\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{20}\Big)+\Big(\frac{1}{4}-\frac{1}{20}\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\\[7pt]&=\frac{4+5}{20}\\[7pt]&=\frac{9}{20}.\end{aligned}\]

---

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم


---

2. چند عدد صحیح در بین اعداد زیر وجود دارد؟

\[\frac{250}{11}, \frac{251}{11}, \frac{252}{11}, \frac{253}{11}, \dots, \frac{650}{11}\]

پاسخ را نشان بده!

برای حل این مسئله، باید تعداد مضارب \(11\) را که بین \(250\) و \(650\) هستند، بشماریم. (\(250\) و \(650\) مضرب \(11\) نیستند.)
چون \(253=23\times11\) و \(649=59\times11\)، پس مضارب \(11\) که بین \(250\) و \(650\) هستند، عبارتند از
\[23\times11,\,24\times11,\,25\times11,\,\dots,\,59\times11\] که تعداد آن‌ها برابر است با:
\[59-23+1=37.\]


---

3. می‌خواهیم جدول زیر را طوری پر کنیم که جمع اعداد هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت باشد. در مورد $x$ چه می‌توان گفت؟



پاسخ را نشان بده!

عدد خانهٔ وسط جدول را $y$ در نظر می‌گیریم.
چون مجموع اعداد هر قطر با مجموع اعداد هر سطر برابر است، پس داریم:
\[\begin{aligned}&x+y+7=2+y+5\\&\Rightarrow x+y+7=y+7\\&\Rightarrow x=0.\end{aligned}\]


---

4. در یک مربع جادویی \(3\times3\) که با اعداد \(1\) تا \(9\) پر شده است، آیا می‌توان حاصل‌جمع چهار گوشهٔ این مربع جادویی را به‌دست آورد؟ (در مربع جادویی، مجموع اعداد در هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت است.)
پاسخ را نشان بده!

در مربع جادویی $3\times 3$ که با اعداد ۱ تا ۹ پر شده است، مجموع اعداد هر سطر، هر ستون و هر قطر برابر ۱۵ است. (قسمت «الف» تمرین ۱۴ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضی تکمیلی هشتم را ببینید.)  از طرفی، می‌دانیم در این مربع جادویی عدد خانهٔ وسط همیشه ۵ است. (تمرین ۲ صفحهٔ ۷۰ کتاب ریاضی تکمیلی هشتم را ببینید.)


بنابراین
\[w+5+z=15\Rightarrow w+z=10\quad (1)\]
و
\[x+5+y=15\Rightarrow x+y=10.\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) نتیجه می‌شود که
\[(w+z)+(x+y)=10+10=20.\]

---

5. در تساوی داده شده مقدار $x$ با کدام گزینه برابر است؟


\[\Big(\frac{5}{2}x-\frac{2}{5}\Big)=\Big(\frac{3}{7}x+\frac{7}{3}\Big)\]
۱) $\dfrac{41\times 14}{29\times 15}$

۲) $\dfrac{29\times 14}{41\times 15}$

۳) $\dfrac{41\times 15}{29\times 14}$

۴) $\dfrac{29\times15}{41\times14}$


پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&\Big(\frac{5}{2}x-\frac{2}{5}\Big)=\Big(\frac{3}{7}x+\frac{7}{3}\Big)\\[7pt]&\Rightarrow \frac{5}{2}x-\frac{3}{7}x=\frac{7}{3}+\frac{2}{5}\\[7pt]&\Rightarrow \Big(\frac{5}{2}-\frac{3}{7}\Big)x=\frac{7}{3}+\frac{2}{5}\\[7pt]&\Rightarrow \Big(\frac{35}{14}-\frac{6}{14}\Big)x=\frac{35}{15}+\frac{6}{15}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{29}{14}x=\frac{41}{15}\\[7pt]&\Rightarrow x=\frac{41}{15}\times \frac{14}{29}\\[7pt]&\Rightarrow x=\frac{41\times 14}{15\times 29}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.


---

6. شکل زیر، قسمتی از محور اعداد است و نقطهٔ \(A\) روی عدد \(-3\) قرار دارد. نقطه‌های \(M\) و \(N\) را به‌ترتیب وسط \(AD\) و \(AB\) قرار می‌دهیم. در این‌صورت مقدار \(\frac{M}{N}\) را بیابید.

   

پاسخ را نشان بده!

\(M=-1\) و \(N=\dfrac{1}{8}\).
چرا؟

چون \(A=-3\)، پس با توجه به شکل داده شده، داریم:
\[\begin{aligned}&D=-3+1\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}=1.\\[7pt]&B=D+2\frac{1}{4}=1+2\frac{1}{4}=3\frac{1}{4}.\end{aligned}\]
می‌دانیم که نقطهٔ \(M\) وسط \(AD\) است. پس:
\[\begin{aligned}M&=\frac{A+D}{2}\\[7pt]&=\frac{-3+1}{2}\\[7pt]&=\frac{-2}{2}\\&=-1.\end{aligned}\] همچنین، می‌دانیم که نقطهٔ \(N\) وسط \(AB\) است. پس:
\[\begin{aligned}N&=\frac{A+B}{2}\\[7pt]&=\frac{-3+3\frac{1}{4}}{2}\\[7pt]&=\frac{\frac{1}{4}}{2}\\[7pt]&=\frac{1}{8}.\end{aligned}\]

در نتیجه،
\[\frac{M}{N}=\frac{-1}{\frac{1}{8}}=-8.\]

---