کلاس آنلاین آموزش ریاضی و ریاضی تکمیلی هشتم (تابستان ۱۴۰۳) – پنج‌شنبه شنبه – هفتهٔ پنجم

نظر سنجی

آزمونک

اگر در آزمونک زیر، نمرهٔ کامل نگرفتید، آن‌قدر آن را تکرار کنید که نمرهٔ کامل بگیرید.

تخته کلاس- جلسهٔ نهم

تخته کلاس- جلسهٔ دهم

تمرین‌ها

1. اگر مربع عددی به آن اضافه شود، عددِ حاصل \(57\) خواهد بود. چندتا از اعداد زیر می‌تواند مقدار آن عدد باشد؟
   \[57,\;42,\;-8,\;8,\;-87\]
پاسخ را نشان بده!

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، هیچ‌کدام از اعداد شرایط گفته شده را ندارد.


---

2. پدری \(45\) سال دارد. سه فرزند او \(4\)، \(12\)، و \(15\) ساله‌اند. پس از چند سال سن پدر با مجموع سن فرزندانش برابر می‌شود؟
پاسخ را نشان بده!

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]


---

3. مطابق شکل، نقاط \(A\)، \(B\)، \(C\)، \(D\)، \(E\)، و \(F\) با فاصله‌های مساوی روی محور اعداد مشخص شده‌اند. اگر نقطهٔ \(A\) نشان‌دهندهٔ عدد \(-\frac{1}{3}\) و نقطهٔ \(F\) نشان‌دهندهٔ عدد \(\frac{1}{2}\) باشد، نقطهٔ \(B\) کدام عدد را نشان می‌دهد؟
پاسخ را نشان بده!

اندازهٔ هریک از پاره‌خط‌های کوچک شکل برابر \(\frac{1}{6}\) است. (چرا؟)

---

چون فاصلهٔ بین \(-\frac{1}{3}\) و \(\frac{1}{2}\) به \(5\) قسمت مساوی تقسیم شده است، پس اندازهٔ هر یک از پاره‌خط‌های کوچک برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{5}\times\Big(\frac{1}{2}-\big(\frac{1}{3}\big)\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{5}\times\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Big)\\[7pt]&=\frac{1}{5}\times\frac{5}{6}\\[7pt]&=\frac{1}{6}.\end{aligned}\]

---

در نتیجه، نقطهٔ \(B\) متناظر است با:
\[-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6}.\]

---

4. حاصل عبارت زیر کدام است؟

$$\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+\dots +\frac{1}{(4n+1)(4n-3)}.$$

۱) $\frac{n}{n+1}$
۲) $\frac{4n}{4n+1}$
۳) $\frac{n}{4n+1}$
۴) $\frac{4n}{4n-3}$

پاسخ را نشان بده!

---

5. حاصل عبارت $1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+\dots +(n-1)\times n$ را محاسبه کنید.
   
   پاسخ را نشان بده!

   ---