کلاس آنلاین آموزش ریاضی و ریاضی تکمیلی هشتم (تابستان ۱۴۰۳) – پنج‌شنبه شنبه – هفتهٔ ششم

نظر سنجی

آزمونک

اگر در آزمونک زیر، نمرهٔ کامل نگرفتید، آن‌قدر آن را تکرار کنید که نمرهٔ کامل بگیرید.

تخته کلاس- جلسهٔ یازدهم

تخته کلاس- جلسهٔ دوازدهم

تمرین‌ها

1. ابتدا با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از اعداد زیر را به‌صورت کسر مصری بنویسید. سپس تعداد جمله‌های هر کسر مصری را مشخص کنید.
   الف) \(\dfrac{2}{35}\)
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   با استفاده از شکستن کسر واحد، داریم:
   \[\begin{aligned}\frac{2}{35}&=\frac{1}{35}+\frac{1}{35}\\[7pt]&=\frac{1}{35}+\frac{1}{36}+\frac{1}{35\times36}\\[7pt]&=\frac{1}{35}+\frac{1}{36}+\frac{1}{1260}\cdot\end{aligned}\] کسر مصری بالا، \(3\) جمله دارد.

   ب) \(\dfrac{3}{7}\)
   

   پاسخ را نشان بده!

   با استفاده از شکستن کسر واحد، داریم:
   \[\begin{aligned}\frac{3}{7}&=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\\[7pt]&=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{7\times8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{7\times8}\\[7pt]&=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{56}+\frac{1}{8}+\frac{1}{56}\\[7pt]&=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{56}+\frac{1}{9}+\frac{1}{8\times9}+\frac{1}{57}+\frac{1}{56\times57}\\[7pt]&=\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{56}+\frac{1}{9}+\frac{1}{72}+\frac{1}{57}+\frac{1}{3192}\cdot\end{aligned}\] کسر مصری بالا، \(7\) جمله دارد.

   ---

2. . فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از \(2\) باشد. آیا می‌توانید رابطه‌ای بسازید که با استفاده از آن همواره بتوان \(\frac{2}{n}\) را به‌صورت یک کسر مصری با سه جمله نوشت؟
   
   پاسخ را نشان بده!

   با استفاده از شکستن کسر واحد همواره می‌توان کسر \(\frac{2}{n}\) را به‌صورت یک کسر مصری با سه جمله نوشت:
   \[\begin{aligned}\frac{2}{n}&=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\\[7pt]&=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\cdot\end{aligned}\]

   ---

3. ابتدا با الگوریتم حریصانه، هریک از کسرهای زیر را به‌صورت کسر مصری بنویسید. سپس تعداد جمله‌های هر کسر مصری را بشمارید.

   الف) \(\dfrac{5}{21}\)

   ب) \(\dfrac{9}{20}\)

   (برای چک کردن پاسخ‌های خود می‌توانید از ماشین‌حساب حریصانه استفاده کنید.)

   ---

4. فرض کنید \(m\) و \(n\) اعدادی طبیعی و نسبت‌به‌هم اول باشند و \(m<n\).
   الف) ثابت کنید که بزرگ‌ترین کسر واحد کوچک‌تر از \(\frac{m}{n}\) برابر است با:\[\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}\cdot\]
   پاسخ را نشان بده!

   قبل از اثبات، بیایید \(\lceil\frac{n}{m}\rceil\) را بهتر بشناسیم.
   در این مسئله، می‌دانیم \(\lceil\frac{n}{m}\rceil\) به‌ زبان عامیانه یعنی مقدار اعشاری \(\frac{n}{m}\) را به بالا رُند کنیم تا عددی طبیعی به‌دست آید؛ و به زبان ریاضی یعنی عددی طبیعی مانند \(a\) وجود دارد که \(a<m\) و \[\lceil\frac{n}{m}\rceil=\frac{n}{m}+\frac{a}{m}.\quad(*)\] توجه کنید که حاصل \(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\) عددی طبیعی است.
   برای مثال، اگر \(n=21\) و \(m=5\)، آن‌وقت \({\color{blue}a=4}\). زیرا: \[\Big\lceil\frac{21}{5}\Big\rceil=\lceil4.2\rceil=5=\frac{21}{5}+\frac{{\color{blue}4}}{5}\cdot\]
   برای اینکه ثابت کنیم که بزرگ‌ترین کسر واحد کوچک‌تر از \(\dfrac{m}{n}\) برابر \(\dfrac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}\) است، باید نشان دهیم: \[{\color{red}\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil-1}>}\frac{m}{n}\] و \[{\color{green}\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}<}\frac{m}{n}\cdot\] ابتدا ثابت می‌کنیم که \({\color{red}\dfrac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil-1}>}\dfrac{m}{n}\). بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
   \[\begin{aligned}&\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil-1}>\frac{m}{n}\\[7pt]&\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{n}{m}+\frac{a}{m}-1} > \frac{m}{n}\\&\Leftrightarrow n>m\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}-1\big)\\[7pt]&\Leftrightarrow n>n+a-m\\[7pt]&\Leftrightarrow0>a-m\\[7pt]&\Leftrightarrow m>a.\end{aligned}\] در رابطهٔ \((*)\) فرض کرده بودیم که \(m>a\)، پس به یک عبارت درست رسیده‌ایم؛ چون همهٔ مراحل بالا برگشت‌پذیر هستند، پس ثابت کردیم که \({\color{red}\dfrac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil-1}>}\dfrac{m}{n}\).

   حال، ثابت می‌کنیم که \({\color{green}\dfrac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}<}\dfrac{m}{n}\). بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
   \[\begin{aligned}&\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}<\frac{m}{n}\\[7pt]&\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{n}{m}+\frac{a}{m}}<\frac{m}{n}\\[7pt]&\Leftrightarrow n<m\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\big)\\[7pt]&\Leftrightarrow n<n+a\\[7pt]&\Leftrightarrow0<a.\end{aligned}\] فرض کرده بودیم که \(a\) عددی طبیعی است، پس به یک عبارت درست رسیده‌ایم؛ چون همهٔ مراحل بالا برگشت‌پذیر هستند، پس ثابت کردیم که \({\color{green}\dfrac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}<}\dfrac{m}{n}\).

   ب) ثابت کنید صورت کسرِ حاصلِ عبارت زیر، از \(m\) کوچک‌تر است.
   \[\frac{m}{n}-\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}\]

   پاسخ را نشان بده!

   بنابه رابطهٔ \((*)\) قسمت «الف»، داریم:
   \[\begin{aligned}&\frac{m}{n}-\frac{1}{\lceil\frac{n}{m}\rceil}\\[8pt]&=\frac{m}{n}-\frac{1}{\frac{n}{m}+\frac{a}{m}}\\[8pt]&=\frac{m\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\big)-n}{n\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\big)}\\[8pt]&=\frac{n+a-n}{n\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\big)}\\[8pt]&=\frac{a}{n\big(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\big)}\cdot\end{aligned}\]توجه کنید که \(a\) عددی طبیعی و کوچک‌تر از \(m\) است. همچنین، حاصل \(\frac{n}{m}+\frac{a}{m}\) عددی طبیعی است.

   ---

5. با استفاده از تمرین ۲، ثابت کنید که با استفاده از الگوریتم حریصانه، همواره می‌توان کسر مصری تولید کرد.
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   در هر مرحله از الگوریتم حریصانه، دو کسر تولید می‌شود: بزرگ‌ترین کسر واحد کوچک‌تر از کسر اولیه، و کسر باقی‌مانده. در قسمت «الف» تمرین ۲، رابطه‌ای برای به‌دست آوردن کسر واحد ارائه و اثبات شد. در قسمت «ب»، ثابت شد که صورت کسر باقی‌مانده از صورت کسر اولیه کوچک‌تر است.

   چون در هر مرحله از الگوریتم حریصانه، صورت کسر باقی‌مانده از صورت کسر اولیه کمتر است، پس این الگوریتم برای کسر مصری \(\frac{m}{n}\)، حداکثر \(m\)تا جمله‌ تولید می‌کند.