کلاس آنلاین آموزش ریاضی و ریاضی تکمیلی هشتم (تابستان ۱۴۰۳) – پنج‌شنبه شنبه – هفتهٔ هفتم

نظر سنجی

آزمونک

اگر در آزمونک زیر، نمرهٔ کامل نگرفتید، آن‌قدر آن را تکرار کنید که نمرهٔ کامل بگیرید.

تخته کلاس-جلسهٔ سیزدهم

تخته کلاس-جلسهٔ چهاردهم

تمرین‌ها

1. حاصل عبارت‌های زیر را بدست آورید.
   \(3^0+3^1+3^2+…+3^{99}\)
   \(5^0+5^1+5^2+…+5^{n-1}\)
   
   پاسخ را نشان بده!

   ---

2. با شش‌بار برش، یک پیتزای دایره‌ای شکل، حداکثر به چند تکه تقسیم می‌شود؟ (نباید پیتزا را ببرید و برش‌ها را روی هم قرار دهید!)



پاسخ را نشان بده!

ابتدا هریک از برش‌ها (خط‌های آبی شکل زیر) را طوری می‌زنیم که همهٔ برش‌های قبلی را قطع کند و از روی محل تقاطع برش‌های قبلی نگذرد. سپس، باید روشی برای شمارش تعداد ناحیه‌ها داشته باشیم که هیچ ناحیه‌ای جا نماند و هیچ‌ ناحیه‌ای را دوبار نشماریم.



ما به این‌ترتیب ناحیه‌ها را شمرده‌ایم:
مرحلهٔ اول. ناحیه‌هایی که با دایرهٔ صورتی مرز مشترک دارند.
مرحلهٔ دوم. ناحیه‌هایی که با دایره مرز مشترک ندارند ولی با ناحیه‌های مرحلهٔ اول مرز مشترک دارند.
مرحلهٔ سوم. ناحیه‌هایی که با دایره و ناحیه‌های مرحلهٔ اول مرز مشترک ندارند ولی با ناحیه‌های مرحلهٔ دوم مرز مشترک دارند.

---

پرسش. با \(n\) برش، یک پیتزای دایره‌ای شکل، حداکثر به چند تکه تقسیم می‌شود؟

این پرسش در مسئلهٔ هفتهٔ بیستم سایت تکمیلی مطرح شده است.


---

3. امشب قرار است که نگین‌بانو \(7\) یا \(11\) مهمان داشته باشد ولی تا لحظهٔ صرف شام تعداد دقیق مهمان‌ها مشخص نخواهد بود. برای شام یک پیتزای بزرگ به شکل دایره سفارش داده شده است و برش پیتزا باید در رستوران انجام شود. هر برش پیتزا فقط به شکل شعاع (از مرکز به یک نقطه روی محیط) خواهد بود. به تمام مهمان‌ها باید به مقدار مساوی پیتزا داد و در پایان نباید هیچ پیتزایی باقی بماند. کمترین تعداد برش پیتزا چندتاست؟



پاسخ را نشان بده!

اول باید پیتزا را به \(11\) قسمت مساوی تقسیم کرد. سپس، بدون در نظر گرفتن برش‌های موجود، باید پیتزا را به \(7\) تکهٔ مساوی تقسیم کرد. فقط برای تقسیم پیتزا به \(7\) قسمت، می‌توان از یکی از برش‌های قبلی استفاده کرد و \(6\) برش به‌کار برد. بنابراین، کمترین تعداد برش برابر است با: \[11+7-1=17.\]

---

4. محسن می‌خواهد یک تکه چوب را برش دهد تا به تکه‌های برابر تقسیم شود. در هر برش، یک تکه چوب به دو تکه تقسیم می‌شود؛ البته، محسن می‌تواند دو یا چند تکه چوب را کنار هم قرار دهد و ببُرد. برای مثال، برای تقسیم یک تکه چوب به \(5\) قسمت مساوی، کمترین تعداد برش، \(3\)تا است:



محسن می‌خواهد یک تکه چوب را به \(7\) قسمت مساوی تقسیم کند. او حداقل با چند برش می‌تواند این کار را انجام دهد؟

پاسخ را نشان بده!

محسن برای اینکه یک تکه چوب را به \(7\) قسمت مساوی تقسیم کند، حداقل به \(3\) برش نیاز دارد. بعد برش اول، تکه چوب به دو قسمت \(3\) و \(4\) واحدی تقسیم می‌شود:

بعد از برش دوم، سه قسمت \(2\) واحدی و یک قسمت \(1\) واحدی خواهیم داشت:

و با برش سوم، تکه چوب به \(7\) قسمت برابر تقسیم می‌شود:


پرسش. برای چه اعدادی، مانند \(n\)، محسن برای اینکه یک تکه چوب را به \(n\) قسمت مساوی تقسیم کند، حداقل به \(4\) برش نیاز دارد؟

---

5. یک ماشین عددساز مقدار ورودی \(a\) را به‌صورت \(\frac{2a+2}{2a-2}\) محاسبه می‌کند و عدد خروجی را دوباره به‌عنوان مقدار ورودی، وارد ماشین می‌کند. اگر با عدد \(\frac{9}{2}\) شروع کنیم، \(1398\)اُمین خروجی این ماشین چه عددی است؟
   پاسخ را نشان بده!
   
   ابتدا، و با استفاده از فاکتورگیری، کسر \(\frac{2a+2}{2a-2}\) را ساده می‌کنیم:
   \[\begin{aligned}\frac{2a+2}{2a-2}&=\frac{2(a+1)}{2(a-1)}\\[7pt]&=\frac{a+1}{a-1}.\end{aligned}\]
   اولین خروجی این ماشین \(\frac{11}{7}\) است.
   چرا؟

   وقتی \(\frac{9}{2}\) وارد این ماشین می‌شود، اولین خروجی آن برابر است با:
   \[\begin{aligned}\frac{a+1}{a-1}&=\frac{\frac{9}{2}+1}{\frac{9}{2}-1}\\[8pt]&=\frac{\frac{11}{2}}{\frac{7}{2}}\\[8pt]&=\frac{11}{2}\times\frac{2}{7}\\[8pt]&=\frac{11}{7}.\end{aligned}\]

   دومین خروجی این ماشین \(\frac{9}{2}\) است.
   چرا؟

   وقتی اولین خروجی، یعنی \(\frac{11}{7}\)، وارد ماشین می‌شود، خروجی برابر است با:
   \[\begin{aligned}\frac{a+1}{a-1}&=\frac{\frac{11}{7}+1}{\frac{11}{7}-1}\\[8pt]&=\frac{\frac{18}{7}}{\frac{4}{7}}\\[8pt]&=\frac{18}{7}\times\frac{7}{4}\\[8pt]&=\frac{9}{2}.\end{aligned}\]

   در نتیجه، خروجی‌های فرد و زوج این ماشین به‌ترتیب \(\frac{11}{7}\) و \(\frac{9}{2}\) هستند. پس \(1398\)اُمین خروجی این ماشین \(\frac{9}{2}\) است.
   

   ---

   از روش غربال برای عددهای \(1\) تا \(300\) استفاده می‌کنیم؛ قبل از خط خوردن عدد \(289\) کدام عدد خط خورده است؟

   ۱)‌ \(169\)
   ۲) \(253\)
   ۳) \(288\)
   ۴) \(299\)
   

   پاسخ را نشان بده!
   
   چون \(289=17\times17\)، پس عددی که قبل از \(289\) خط می‌خورد، یکی از مضارب عدد اول قبل از \(17\)، یعنی \(13\) است.
   چون \(13\times23=299\)، بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

   ---

6. برای ساختن اعداد مرکب \(2\)رقمی با استفاده از ضرب به کدام اعداد نیاز است؟
   ۱) اعداد اول یک‌رقمی
   ۲) اعداد اول کمتر از \(50\)
   ۳) اعداد طبیعی یک‌رقمی
   ۴) اعداد اول دورقمی
   پاسخ را نشان بده!
   
   گزینهٔ ۱ نادرست است.
   چرا؟
   با اعداد اول یک‌رقمی و با استفاده از عمل ضرب، بسیاری از اعداد مرکب دورقمی را نمی‌توان ساخت؛ برای مثال، \(22\). چون: \[22=2\times11\] و \(11\) عدد اول یک‌رقمی نیست.

   گزینهٔ ۲ درست است.
   چرا؟

   واضح است که با استفاده از برخی اعداد اول کمتر از \(50\) و عمل ضرب، می‌توان همهٔ اعداد مرکب کوچکتر یا مساوی \(50\) را تولید کرد.
   برای ساختن اعداد مرکب بین \(50\) و \(100\) نیازی به اعداد اول بین \(50\) و \(100\) نداریم؛ بلکه اعداد اول کوچکتر از \(50\) نیاز ما را برطرف می‌کند. زیرا اگر \(n\) یک عدد مرکب بین \(50\) و \(100\) باشد، آنگاه اعدادی مانند \(a\) و \(b\) وجود دارند به‌طوری‌که \[n=a\times b,\quad a,b\geq2.\] چون \(a\) و \(b\) بزرگ‌تر یا مساوی \(2\) هستند و \(n\) بین \(50\) و \(100\) است، پس هر دو عدد \(a\) و \(b\) بین \(1\) و \(50\) هستند.
   برای مثال، اگر \(n=94\) آنگاه داریم: \[n=2\times47.\]یعنی برای ساختن \(94\) به اعداد اول \(2\) و \(47\) نیاز داریم.

   گزینهٔ ۳ نادرست است.
   چرا؟

   با اعداد طبیعی یک‌رقمی و با استفاده از عمل ضرب، بسیاری از اعداد مرکب دورقمی را نمی‌توان ساخت؛ برای مثال، \(22\). چون: \[22=2\times11\] و \(11\) یک عدد طبیعی یک‌رقمی نیست.

   گزینهٔ ۴ نادرست است.
   چرا؟

   با توجه به استدلالی که برای گزینهٔ ۲ آوردیم، برای ساختن اعداد مرکب \(2\)رقمی با استفاده از ضرب، به همهٔ اعداد اول دورقمی نیاز نداریم.