آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین باشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $3$، $3$، و $4$. حاصل‌جمع این دو مثلث، یک مثلث متساوی‌الساقین به ضلع‌های $6$، $6$، و $9$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ نادرست است.

می‌توان مثالی زد که جمع دو مثلث متساوی‌الساقین، متساوی‌الساقین نباشد:
مثلث اول به ضلع‌های $3$، $3$، و $5$، و مثلث دوم به‌ ضلع‌های $7$، $7$، و $5$. حاصل‌جمع این دو مثلث، مثلثی  به ضلع‌های $8$، $10$، و $12$ است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ نادرست است.

برای هر مثلث، می‌دانیم که حاصل‌جمع هر دو ضلع، از ضلع سوم بزرگ‌تر است. بنابراین، برای دو مثلث به اضلاع $a\leq b\leq c$ و $a'\leq b'\leq c'$ داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}a+b&>c\\a'+b'&>c'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a')+(b+b')> (c+c')\\\left.\begin{aligned}a+c&>b\\a'+c'&>b'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(a+a')+(c+c')>(b+b')\\\left.\begin{aligned}b+c&>a\\b'+c'&>a'\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(b+b')+(c+c')>(a+a').\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۴ نادرست است.
 
بنابراین، گزینه ۱ درست است.

در کسر داده شده باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}&x\ne0,\\&x^2-4\ne0\Rightarrow(x-2)(x+2)\ne0\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x\ne2\\&x\ne-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۱ درست است. (چرا؟)

\[\begin{aligned}&-33\times\big|3^2-10.\overline{72}\big|\\&=-33\times\big|9-(10+0.\overline{72})\big|\\&=-33\times\Big|9-10-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-1-\frac{72}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{171}{99}\Big|\\&=-33\times\Big|-\frac{57}{33}\Big|\\&=-33\times\frac{57}{33}\\&=-57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

اگر $a>0$، $b<0$ و $c<0$، آنگاه $ab^2c$ همواره منفی است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)