آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

مجموع زاویه‌های داخلی هر $n$ضلعی محدب برابر است با:
\[(n-2)\times 180^\circ.\]
(چرا؟)

در نتیجه، مجموع زاویه‌های خارجی هر $n$ضلعی محدب برابر $360$ درجه است. (چرا؟)

در نتیجه، یک $n$ ضلعی محدب حداکثر سه زاویهٔ تند دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

یک چندضلعی محدب، حداقل چند زاویهٔ تند دارد؟

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{81\times8\times5}=3\times2\times\sqrt[3]{3\times5}=6\sqrt[3]{15}\\&\sqrt{50\times49}=\sqrt{2\times5^2\times7^2}=35\sqrt{2}\\&\sqrt[3]{9^2\times11^4}=\sqrt[3]{3^4\times11^4}=33\sqrt[3]{33}\\&\sqrt{64\times242}=\sqrt{8^2\times2\times121}=88\sqrt{2}.\end{aligned}\]
چون
\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\\&\Rightarrow \sqrt[3]{15} < 3\\&\Rightarrow6\sqrt[3]{15} < 18\end{aligned}\]
و واضح است سه عدد دیگر از \(18\) بزرگ‌ترند، پس \(6\sqrt[3]{15}\) از بقیهٔ اعداد داده شده کوچک‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پرسش. کدام عدد از بقیه بزرگ‌تر است؟

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

اگر جریمهٔ خطای اول \(x\) تومان باشد، آن‌وقت جریمهٔ خطاهای دوم، سوم، و چهارم به‌ترتیب \(3x\)، \(9x\)، و \(27x\) خواهد بود. بنابراین، جریمهٔ کسی که چهار خطا انجام داده برابر است با:
\[x+3x+9x+27x=40x.\]
در نتیجه، داریم:
\[40x=40\,000\Rightarrow x=1000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.