آزمون پایان‌ترم هندسه دهم

تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا عدد دو رقمی وجود دارد که حداقل یکی از ارقام‌ آن زوج است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

یکی از ضلع‌های زاویهٔ با اندازهٔ $b$ را مانند شکل زیر امتداد می‌دهیم؛ در نتیجه زاویهٔ با اندازهٔ $c$ به دو قسمت تقسیم می‌شود؛ اندازهٔ یکی از این دو قسمت ۱۸۰ درجه و اندازهٔ قسمت دیگر $c-180^\circ$ می‌شود.

بنابه فرض مسئله دو خط $d$ و $d'$ موازی‌اند. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب زاویه‌های صورتی‌رنگ شکل زیر باهم برابرند(؟).

اکنون در شکل زیر، ناحیهٔ زرد‌رنگ یک مثلث است.

در مثلث زردرنگ، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&a+b+(c-180^\circ)=180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=180^\circ+180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=360^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

باید مقادیری را پیدا کنیم که به‌ازای آنها مخرج کسر داده شده، برابر صفر می‌شود.
\[\begin{aligned} &(x^2+16-10x)(x^4-5x^2+4)=0\\&\Rightarrow(x-8)(x-2)(x^2-4)(x^2-1)=0\\&=(x-8)(x-2)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x-8=0\Rightarrow x=8\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2\\&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] بنابراین، کسر داده شده، به‌ازای مقادیر \(8\)، \(2\)، \(-2\)، \(1\)، و \(-1\) تعریف نشده است.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

گزینهٔ ۱ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۲ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

گزینهٔ ۳ مجموعهٔ تهی را معرفی نمی‌کند.

چرا؟

گزینهٔ ۴ مجموعهٔ تهی را معرفی می‌کند.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئله‌ٔ مشابه

تمرین ۲ صفحهٔ ۳۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(x\) منفی باشد، آن‌وقت:
\(\bullet\) \(\sqrt[3]{x}\) منفی است؛ زیرا ریشهٔ سوم هر عدد منفی، عددی منفی است.
\(\bullet\) \(-x^{-1}\) مثبت است؛ زیرا: \[-x^{-1}=-\,\frac{1}{\underbrace{x}_{<0}}>0.\]
\(\bullet\) \(-x^2\) منفی است؛ زیرا: \[-\,\underbrace{x^2}_{>0}<0.\] \(\bullet\) \(\frac{x}{|x|}\) منفی است؛ زیرا:\[\frac{\overbrace{x}^{<0}}{\underbrace{|x|}_{>0}}<0.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(\dfrac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\). (چرا؟)

\(\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\). (چرا؟)

\(\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\not\in\mathbb{Q'}\). (چرا؟)

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

معادله را مرحله به مرحله می‌سازیم:

اگر سه برابر عددی
\[3y\]
 را از نصف آن عدد کم کنیم،
\[\dfrac{1}{2}y-3y\]
حاصل از \(100\) به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.
\[\dfrac{1}{2}y-3y=100-x\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{8-\sqrt{60}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-\sqrt{4\times15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{5+3-2\sqrt{5\times 3}}+\sqrt{7+3+2\sqrt{7\times 3}}\\&=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}\\&=|\sqrt{5}-\sqrt{3}|+|\sqrt{7}+\sqrt{3}|\\&=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{5}+\sqrt{7}.\end{aligned}\]