ارتفاع \(BH\) را رسم میکنیم.
در نتیجه، اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساویالساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(AB+CD)\times BH-\frac{1}{2}CD\times BH\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times\big((AB+CD)-CD\big)\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times AB\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times4\\[7pt]&=2BH.\end{aligned}\]
حال باید طول \(BH\) را بیابیم.
\(BH=\sqrt{5}\). (چرا؟)
عمود \(AK\) را رسم میکنیم. چون چهارضلعی \(AKHB\) مستطیل است، پس \(AB=HK=4\). از طرفی، مثلثهای \(ADK\) و \(BCH\) در حالت وتر و یک ضلع همنهشتاند. زیرا:
\(\bullet\) زاویههای \(AKD\) و \(BHC\) قائمه هستند.
\(\bullet\) چون ذوزنقهٔ \(ABCD\) متساویالساقین است، پس \(AD=BC\).
\(\bullet\) چون \(AB\) و \(CD\) موازیاند، پس \(AK=BH\).
حال، از همنهشتی دو مثلث \(ADK\) و \(BCH\) نتیجه میشود که \(DK=CH=2\).

حال، با بهکارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث \(BCH\) داریم:
\[\begin{aligned}&BH^2=BC^2-CH^2\\&\Rightarrow BH^2=3^2-2^2\\&\Rightarrow BH^2=9-4\\&\Rightarrow BH^2=5\\&\Rightarrow BH=\sqrt{5}.\end{aligned}\]
پس اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساویالساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ میدهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال میکنیم. ❤️