گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)
مثلث $ABC$ را در نظر میگیریم بهطوریکه $AD$ نیمساز و میانهٔ مثلث باشد.
میانهٔ $AD$ را (از طرف $D$) بهاندازهٔ خودش امتداد میدهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ مینامیم.
اکنون دو مثلث $ABD$ و $ECD$ در حالت ضزض همنهشتاند.
اگر تمرین ۹. ۳. ۴. ۱ را حل کرده باشید، باید بتوانید بهسادگی به این «چرا» پاسخ دهید.
زاویههای $ADB$ و $EDC$ متقابلبهرأس هستند. پس $A\widehat{D}B=E\widehat{D}C$.
چون $AD$ میانهٔ مثلث $ABC$ است، پس $BD=CD$.
چون $AD$ را (از طرف $D$) بهاندازهٔ خودش امتداد دادهایم، پس $AD=DE$.
بنابراین دو مثلث $ABD$ و $ECD$ در حالت ضزض همنهشتاند.
بنابراین دو زاویهٔ $EAC$ و $AEC$ برابرند. زیرا:
در اجزای متناظر دو مثلث همنهشت $ABD$ و $ECD$ داریم:
\[B\widehat{A}D=C\widehat{E}D.\quad (1)\]
از طرفی، بنابه فرض مسئله، $AD$ نیمساز زاویهٔ $BAC$ است. یعنی:
\[B\widehat{A}D=C\widehat{A}D.\quad (2)\]
بنابراین داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}B\widehat{A}D&=C\widehat{E}D\quad (1)\\B\widehat{A}D&=C\widehat{A}D\quad (2)\end{aligned}\right\}\Rightarrow C\widehat{E}D=C\widehat{A}D.\end{aligned}\]
یعنی دو زاویهٔ $EAC$ و $AEC$ برابرند.
در نتیجه مثلث $ACE$ متساویالساقین است. پس $AB=AC$.
چون $E\widehat{A}C=A\widehat{E}C$، پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساویالساقین (در مثلث $ACE$) داریم:
\[AC=CE.\quad (3)\]
از طرفی، در اجزای متناظر دو مثلث همنهشت $ABD$ و $ECD$ داریم:
\[AB=CE.\quad (4)\]
از رابطههای $(3)$ و $(4)$ نتیجه میشود:
\[AB=AC.\]
یعنی مثلث $ABC$ متساویالساقین است.
گزارهٔ دوم درست است. (چرا؟)
این گزاره در تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم ثابت شده است.
راهحل تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم
در مسئلهٔ زیر، راهحل مژگان اثباتی برای قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر، و راهحل فاطمه اثباتی برای عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر است.
قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائمالزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.
عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه باشد، آنوقت آن زاویه قائمه است.
۸. ۶. ۴. ۲۰. فاطمه و مژگان دو مسئلهٔ تمرین قبل را بهصورت زیر حل کردهاند. دو راهحل زیر را با جزئیات کامل، شرح دهید.
راهنمای حل
راهحل فاطمه و شرح جزئیات آن (اثبات عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر)
فرض کنید در مثلث $ABC$ طول میانهٔ $AM$ نصف ضلع $BC$ باشد.
یعنی $AM=BM$ و $AM=CM$.
بنابراین دو مثلث $ABM$ و $ACM$ متساویالساقین هستند؛ پس در دو مثلث $ABM$ و $ACM$ اندازهٔ زاویههای پای ساق برابرند.
یعنی $\widehat{B}=B\widehat{A}M$ و $\widehat{C}=C\widehat{A}M$. برای سادگی قرار میدهیم:
\[\begin{aligned}&\widehat{B}=B\widehat{A}M=x\\&\widehat{C}=C\widehat{A}M=y.\end{aligned}\]
از طرفی مجموع زاویههای مثلث $ABC$ برابر $180^\circ$ است. پس میتوان نتیجه گرفت که زاویهٔ $BAC$ قائمه است.
زیرا در مثلث $ABC$ داریم:
\[\begin{aligned}&B\widehat{A}C+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow (x+y)+x+y=180^\circ\\&\Rightarrow 2x+2y=180^\circ\\&\Rightarrow2(x+y)=180^\circ\\&\Rightarrow x+y=90^\circ.\end{aligned}\]
راهحل مژگان و شرح جزئیات آن (اثبات قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر)
فرض کنید در مثلث قائمالزاویه دلخواه $ABC$ عمودمنصف ضلع $AB$ و وتر $BC$ یکدیگر را در نقطهٔ $M$ قطع کردهاند. نقطهٔ $M$ روی عمودمنصف $AB$ است، پس بنابه قضیهٔ عمودمنصف داریم:
\[AM=BM\quad(1)\]
پس مثلث $AMB$ متساویالساقین است. بنابراین، بنابه قضیهٔ مثلث متساویالساقین:
\[\widehat{B}=B\widehat{A}M.\]
چون مجموع دو زاویهٔ $B$ و $C$ برابر $90^\circ$ و مجموع دو زاویهٔ $CAM$ و $BAM$ نیز برابر $90^\circ$ است، و $\widehat{B}=B\widehat{A}M$، پس داریم:
\[\left.\begin{aligned}\widehat{B}+\widehat{C}=90^\circ\\B\widehat{A}M+C\widehat{A}M=90^\circ\\\widehat{B}=B\widehat{A}M\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{C}=C\widehat{A}M.\]
پس دو زاویهٔ $CAM$ و $C$ برابرند. پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساویالساقین (در مثلث $ACM$) داریم:
\[AM=CM\quad(2)\]
باتوجه به رابطههای $(1)$ و $(2)$ داریم $AM=BM=CM$ و در نتیجه میانهٔ $AM$ نصف وتر $BC$ است.
گزارهٔ سوم نادرست است. (چرا؟)
واضح است که در پنجضلعی زیر، قطرهای \(AC\) و \(BD\) برابر نیستند.
توجه کنید که قطرهای هر پنجضلعی منتظم باهم برابرند. (تمرین ۶ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ میدهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال میکنیم. ❤️