آزمون هندسه دهم

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در شکل زیر، زاویه‌های \(PBC\) و \(PCB\)، زاویه‌های خارجی هفت‌ضلعی منتظم \(ABCDEFG\) هستند. می‌خواهیم اندازهٔ زاویهٔ \(P\) را به‌دست آوریم.

می‌دانیم اندازهٔ هریک از زاویه‌های خارجی یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{360^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (چرا؟)

باتوجه‌به قضیهٔ دندان کوسه، مجموع چهار زاویهٔ مشخص شده ۳۶۰ درجه است.

گزینهٔ ۱ درست است. یعنی اگر سه‌تا از زاویه‌های مشخص شده برحسب درجه مضرب ۴ باشند، آنگاه زاویهٔ چهارم برحسب درجه مضرب ۴ است. (چرا؟)

چون اعداد دورقمی را با \(M\) و اعداد زوج را با \(A\) نشان داده‌ایم، پس مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی برابر است با: \(M-A\).
چون مضارب طبیعی \(3\) را با \(B\) و مضارب طبیعی \(5\) را با \(C\) نشان‌ داده‌ایم، پس مجموعهٔ مضارب طبیعی \(15\) برابر است با: \(B\cap C\).
در نتیجه، مجموعهٔ اعداد فرد دورقمی که مضرب \(15\) نیستند برابر است با: \((M-A)-(B\cap C)\) و نمودار گزینهٔ ۲ نشان‌دهندهٔ این مجموعه است.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

اگر به چنین مسائلی مسلط نیستید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌های سایت تکمیلی را بخوانید.

مسئله‌ٔ مشابه

سؤال ۴۱ آزمون پیشرفت تحصیلی نهم سمپاد (فروردین ۹۷)

با توجه به تعریف اعداد گویا: \[\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\}\]
هر چهار عدد داده شده گویا هستند. (چرا؟)

می‌دانیم یک مجموعهٔ \(n\)عضوی، \(2^n\)تا زیرمجموعه دارد. (چرا؟)

همهٔ زیرمجموعه‌هایی را که مجموع بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو برابر \(27\) است، به‌صورت زیر حالت‌بندی می‌کنیم.

حالت اول. کوچک‌ترین عضو \(13\) و بزرگ‌ترین عضو \(14\) باشد. واضح است که در این حالت فقط \(1\) زیرمجموعه وجود دارد: \(\{13,14\}\).

حالت دوم. کوچک‌ترین عضو \(12\) و بزرگ‌ترین عضو \(15\) باشد. در این حالت \(4\) زیرمجموعه وجود دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{81\times8\times5}=3\times2\times\sqrt[3]{3\times5}=6\sqrt[3]{15}\\&\sqrt{50\times49}=\sqrt{2\times5^2\times7^2}=35\sqrt{2}\\&\sqrt[3]{9^2\times11^4}=\sqrt[3]{3^4\times11^4}=33\sqrt[3]{33}\\&\sqrt{64\times242}=\sqrt{8^2\times2\times121}=88\sqrt{2}.\end{aligned}\]
چون
\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\\&\Rightarrow \sqrt[3]{15} < 3\\&\Rightarrow6\sqrt[3]{15} < 18\end{aligned}\]
و واضح است سه عدد دیگر از \(18\) بزرگ‌ترند، پس \(6\sqrt[3]{15}\) از بقیهٔ اعداد داده شده کوچک‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پرسش. کدام عدد از بقیه بزرگ‌تر است؟

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&(x-3)(x^2-3x+9)\\&=x(x^2-3x+9)-3(x^2-3x+9)\\&=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\\&=x^3-6x^2+18x-27.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.