آزمون هندسه دهم

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

واضح است که مساحت مربعی که روی ضلع \(AB\) بنا می‌شود برابر \(a^2\) است.

مساحت مثلث \(ABD\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). (چرا؟)

باتوجه به فرض مسئله، و برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}AD&=x\\CD&=2x\\AB&=4x.\end{aligned}\]

از نقطهٔ \(C\) خطی موازی با \(AD\) رسم می‌کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(E\) می‌نامیم. چهارضلعی \(AECD\) متوازی‌الاضلاع است(؟).
چون در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های روبه‌رو برابرند، پس داریم: \(AE=CD=2x\). از طرفی، چون \(AB=4x\)، پس
\[\begin{aligned}BE&=AB-AE\\&=4x-2x\\&=2x.\end{aligned}\]

حال اگر وسط پاره‌خط \(BE\) را \(F\) بنامیم، مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

چون \(AD\) و \(EC\) موازی‌اند و \(AB\) این دو خط موازی را قطع کرده است، پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب و فرض مسئله (\(\widehat{A}=60^\circ\)) داریم:
\[C\widehat{E}B=\widehat{A}=60^\circ.\]
چون \(F\) وسط پاره‌خط \(BE\) است و \(BE=2x\)، پس \(EF=BF=x\). از طرفی، می‌دانیم \(CE=x\). در نتیجه، مثلث \(CEF\) یک مثلث متساوی‌الساقین است که یکی از زاویه‌هایش \(60^\circ\) است.

بنابراین، از قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین و قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث نتیجه می‌شود که دو زاویهٔ دیگر این مثلث نیز \(60^\circ\) است و در نتیجه مثلث \(CEF\) متساوی‌الاضلاع است.

در نتیجه:
\[CE=EF=CF=BF=x.\]

پس، \(\widehat{B}=30^\circ\). (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین (در مثلث \(BCF\)) داریم: \[\widehat{B}=B\widehat{C}F.\quad(1)\] از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث \(BCF\)) داریم:
\[\widehat{B}+B\widehat{C}F=C\widehat{F}E=60^\circ.\quad(2)\]
حال از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\widehat{B}=B\widehat{C}F=30^\circ.\]

باید مقادیری را پیدا کنیم که به‌ازای آنها مخرج کسر داده شده، برابر صفر می‌شود.
\[\begin{aligned} &(x^2+16-10x)(x^4-5x^2+4)=0\\&\Rightarrow(x-8)(x-2)(x^2-4)(x^2-1)=0\\&=(x-8)(x-2)(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &x-8=0\Rightarrow x=8\\&x-2=0\Rightarrow x=2\\&x+2=0\Rightarrow x=-2\\&x-1=0\Rightarrow x=1\\&x+1=0\Rightarrow x=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] بنابراین، کسر داده شده، به‌ازای مقادیر \(8\)، \(2\)، \(-2\)، \(1\)، و \(-1\) تعریف نشده است.

در ناحیهٔ مشخص شده، اعدادی قرار دارند که مضرب مشترک \(7\) و \(12\) هستند ولی مضرب \(9\) نیستند. با تجزیهٔ چهار عدد داده شده، می‌توان فهمید که فقط \(168\) مضرب \(7\) و \(12\) است ولی مضرب \(9\) نیست:
\[\begin{aligned}49&=7^2\\60&=2^2\times3\times5\\168&=2^3\times3\times7\\252&=2^2\times3^2\times7.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مجموعهٔ \(\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\}\) جذاب است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\) جذاب نیست. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\) جذاب است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

همهٔ مقادیر ممکن برای \(y\)، اعداد \(0\)، \(1\)، \(2\)، ...، و \(16\) هستند. پس معادلهٔ داده شده \(17\)تا جواب صحیح نامنفی دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ کتاب ۷۱ ریاضیات تکمیلی هشتم

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]