آزمون هندسه دهم

واضح است که مساحت مربعی که روی ضلع \(AB\) بنا می‌شود برابر \(a^2\) است.

مساحت مثلث \(ABD\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\). (چرا؟)

در شکل زیر، هریک از مثلث‌های زرد، آبی، و سبز، مثلث‌هایی قائم‌الزاویه هستند.

طول وتر مثلث‌های زرد، آبی، و سبز به‌ترتیب برابر \(\sqrt{2}\)، \(3\sqrt{2}\)،‌ و \(\sqrt{10}\) است. (چرا؟)

در نتیجه، محیط شکل صورتی برابر است با:
\[\begin{aligned}&4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{10}\\&=7\sqrt{2}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(\bullet\) نقاط رنگ‌شده یک پاره‌خط به‌وجود نمی‌آورند؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، عددی گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که رنگ‌کرده‌ایم بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گنگ وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) هستند و رنگ نشده‌اند، بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تمام نقاطی که اعدادی با بی‌شمار رقم اعشاری را نمایش می‌دهند، رنگ نشده‌اند؛ چون می‌دانیم بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\)، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد که نمایش اعشاری آنها مختوم نیست.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}=\big|\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big|.\] می‌توان نشان داد که \(\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}\). چگونه؟

در نتیجه:
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}}^{<0}\big|\\&=-\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)\\&=-\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\\&=\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

اگر مربع عددی \((x^2)\) به آن \((x)\) اضافه شود، حاصل \(57\) خواهد بود. یعنی: \[\begin{aligned}&x^2+x=57\\&\Rightarrow x(x+1)=57.\end{aligned}\]
واضح است که \(x\) هیچ‌کدام از اعداد داده شده نیست:
\[\begin{aligned}&x=57:\;x(x+1)=57(58)\ne57\\&x=42:\;x(x+1)=42(43)\ne57\\&x=-8:\;x(x+1)=-8(-7)\ne57\\&x=8:\;x(x+1)=8(9)\ne57\\&x=-87:\;x(x+1)=-87(-86)\ne57.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{8-\sqrt{60}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-\sqrt{4\times15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{8-2\sqrt{15}}+\sqrt{10+2\sqrt{21}}\\&=\sqrt{5+3-2\sqrt{5\times 3}}+\sqrt{7+3+2\sqrt{7\times 3}}\\&=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}\\&=|\sqrt{5}-\sqrt{3}|+|\sqrt{7}+\sqrt{3}|\\&=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}\\&=\sqrt{5}+\sqrt{7}.\end{aligned}\]