آزمون هندسه دهم

گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله، مشابه تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، و همچنین مشابه تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ و تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ (هشتم)

۸. ۶. ۳. ۲۰. در شکل زیر، $\widehat{B}=120^\circ$ و مثلث $ACD$ متساوی‌الاضلاع است.

ثابت کنید:
الف) پاره‌خط $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $B$ است.
ب) $BD=AB+BC$.

راهنمایی: $BC$ را از طرف $B$ به اندازهٔ $AB$ امتداد دهید و نقطه انتها را $E$ بنامید. سپس ثابت کنید دو مثلث $ABD$ و $AEC$ هم‌نهشت‌اند.

راهنمای حل

همان‌طور که در راهنماییِ مسئله گفته شده است عمل کنیم. در زیر، شکلِ راه‌حل را دوبار رسم کرده‌ایم تا مثلث‌هایی که می‌خواهیم هم‌نهشتیِ آنها را ثابت کنیم، واضح‌تر دیده شوند.

مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۹. ۳. ۵. ۱۵ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

راهنمای حل

سه کمان $AB$، $AC$، و $BC$ برابرند. پس:
\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.\quad (1)\]

بنابراین:
\[A\widehat{M}B=C\widehat{M}B=60^\circ.\quad (2)\]
(چرا؟)

وتر $CM$ را (از طرف $M$) به‌اندازهٔ $MA$ امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. مثلث $AMD$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

بنابراین، دو مثلث $ABM$ و $ACD$ هم‌نهشت هستند. (چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&CD=BM\\&\Rightarrow CM+MD=BM\\&\Rightarrow CM+MA=BM.\end{aligned}\]

راهنمای حل (۲)

نقشهٔ راه. نقطهٔ \(N\) را طوری روی \(MB\) انتخاب می‌کنیم که \(MN=MC\). در نتیجه مثلث \(CMN\) متساوی‌الاضلاع است. حال می‌توان ثابت کرد که دو مثلث \(ACM\) و \(BCN\) در حالت ززض همنهشت‌اند. پس \(BN=AM\) و در نتیجه \(AM+CM=BM\).

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۱۵ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راهنمای حل

ضلع $AC$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ $AB$ امتداد می‌دهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ می‌نامیم.

چون بنابه فرض مسئله $B\widehat{A}C=120^\circ$، پس در مثلث $ABE$ داریم:

\[AB=AE, B\widehat{A}E=60^\circ.\]

در نتیجه مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است(؟).
دو مثلث $ABD$ و $EBC$ در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

چون \(b=c\)، پس بنابه عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، \(L_3\) و \(L_4\) موازی‌اند.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

چون \[\frac{2039}{1650}=1.2357575757...=1.23\overline{57}\] پس رقم‌های بعد از ممیز، از رقم سوم به بعد، یکی‌در‌میان \(5\) و \(7\) هستند. پس \(26\)اُمین رقم بعد از ممیز \(7\) است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

چون:
\[\begin{aligned}a&=4^{3^2}=4^9=\big(2^2\big)^9=2^{18}\\b&=27^7=\big(3^3\big)^7=3^{21}=3\times3^{20}\\c&=\big(-5^4\big)^5=(-1)^5\big(5^4\big)^5=-5^{20}\\d&=3^2\times64^3=3^2\times\big(2^6\big)^3=3^2\times2^{18}\end{aligned}\]
پس:
\[c < a < d < b.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

فرض کنید پس از \(n\) سال، سن پدر با مجموع سن فرزندانش، برابر شود. یعنی:
\[\begin{aligned}&45+n=(4+n)+(12+n)+(15+n)\\&\Rightarrow45+n=31+3n\\&\Rightarrow45-31=3n-n\\&\Rightarrow14=2n\\&\Rightarrow7=n.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.