آزمون هندسه دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن برای عدد سه‌رقمی حاصل، \(27\)تا است. (چرا؟)

قطرهای هر مستطیل آن را به چهار مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند. (چرا؟)

در نتیجه، مساحت قسمت تیره \(\frac{1}{4}\) مساحت کل است؛ یعنی مساحت قسمت تیره برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{4}\times16\times5=20.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. در مستطیل \(ABCD\) قطرهای \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. آیا چهار مثلث \(ABO\)، \(BCO\)، \(CDO\)، و \(ADO\) همنهشت‌اند؟

معادلهٔ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x+y}\) جواب ندارد.
چرا؟

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\frac{3\sqrt[3]{16}-\big|-2\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{-250}\big|}{\sqrt[3]{108}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{8\times2}-\big|-2\sqrt[3]{64\times2}-\sqrt[3]{-125\times2}\big|}{\sqrt[3]{27\times4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-8\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-3\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

برای به‌دست آوردن بیشترین مقدار $x^y$ همهٔ حالت‌های ممکن برای $x^y$ را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}3^4=81,\;&3^5=243\\4^3=64,\;&4^5=1024\\5^3=125,\;&5^4=625.\end{aligned}\]

بیشترین مقدار $-x^y-\frac{1}{z}$ برابر است با:
\[\begin{aligned}-4^3-\frac{1}{5}&=-64-0.2\\&=-64.2\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

\[\frac{x}{1+\dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}}=\frac{2}{5}x.\]
(چرا؟)

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟