آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

این مسئله، به‌همراه چهار راه‌حل متفاوت، در صفحه‌های ۵۷ و ۵۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

گزینهٔ ۴ درست است.

\(AC=5\). (چرا؟)

به‌سادگی می‌توانیم طول \(BH\) را بیابیم. (چگونه؟)

\[\begin{aligned}\frac{A^2-B^2}{C^2}&=\frac{(A+B)(A-B)}{C^2}\\[7pt]&=\frac{\big(a^2-b^2+a^2+b^2\big)\big(a^2-b^2-(a^2+b^2)\big)}{(ab)^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(a^2-b^2-a^2-b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(-2b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{-4a^2b^2}{a^2b^2}\\[7pt]&=-4.\end{aligned}\]

عبارتِ
\[(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\]
نشان‌دهندهٔ ناحیهٔ هاشورخورده است. در ادامه، اعضای هریک از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\cap B\)، و \(B\cap C\) را مشخص می‌کنیم.

\(\bullet\) مجموعهٔ \(A\cap B\)، یعنی اعدادی که هم مضرب \(2\) هستند و هم مضرب \(3\). پس:
\[A\cap B=\{6x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\] به‌عبارت دیگر، اعضای \(A\cap B\) مضارب صحیح \(6\) هستند.
\(\bullet\) مجموعهٔ \(A\cap C\)، یعنی اعدادی که هم مضرب \(2\) هستند و هم مضرب \(5\). پس:
\[A\cap C=\{10x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\] به‌عبارت دیگر، اعضای \(A\cap C\) مضارب صحیح \(10\) هستند.
\(\bullet\) مجموعهٔ \(B\cap C\)، یعنی اعدادی که هم مضرب \(3\) هستند و هم مضرب \(5\). پس:
\[B\cap C=\{15x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\] به‌عبارت دیگر، اعضای \(B\cap C\) مضارب صحیح \(15\) هستند.

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

چون \[\frac{2039}{1650}=1.2357575757...=1.23\overline{57}\] پس رقم‌های بعد از ممیز، از رقم سوم به بعد، یکی‌در‌میان \(5\) و \(7\) هستند. پس \(26\)اُمین رقم بعد از ممیز \(7\) است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مخرج هر کسر، یک واحد از صورت آن بزرگ‌تر است؛ چنین شرطی فقط در گزینهٔ ۴ وجود دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}=\big|\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big|.\] می‌توان نشان داد که \(\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}\). چگونه؟

در نتیجه:
\[\begin{aligned}\sqrt{\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)^2}&=\big|\overbrace{\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}}^{<0}\big|\\&=-\big(\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}\big)\\&=-\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\\&=\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{2}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $a$ نزدیکتر از $c$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{4}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{6}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $c$ نزدیکتر از $a$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{36}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{5}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت فاصلهٔ $b$ از $a$ و $c$ برابر است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{25}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0 < a < b < c < 1$ و $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است.

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

گستردهٔ این مخروط، قسمتی از یک دایره به شعاع \(\sqrt{5}\) است. زیرا:
\[\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{r}{r^2+h^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
پس:
\[S=\pi\big(\sqrt{5}\big)^2\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\pi.\]

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟