آزمون هندسه دهم

تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا عدد دو رقمی وجود دارد که حداقل یکی از ارقام‌ آن زوج است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله، مشابه تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، و همچنین مشابه تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ و تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ (هشتم)

۸. ۶. ۳. ۲۰. در شکل زیر، $\widehat{B}=120^\circ$ و مثلث $ACD$ متساوی‌الاضلاع است.

ثابت کنید:
الف) پاره‌خط $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $B$ است.
ب) $BD=AB+BC$.

راهنمایی: $BC$ را از طرف $B$ به اندازهٔ $AB$ امتداد دهید و نقطه انتها را $E$ بنامید. سپس ثابت کنید دو مثلث $ABD$ و $AEC$ هم‌نهشت‌اند.

راهنمای حل

همان‌طور که در راهنماییِ مسئله گفته شده است عمل کنیم. در زیر، شکلِ راه‌حل را دوبار رسم کرده‌ایم تا مثلث‌هایی که می‌خواهیم هم‌نهشتیِ آنها را ثابت کنیم، واضح‌تر دیده شوند.

مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۹. ۳. ۵. ۱۵ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

راهنمای حل

سه کمان $AB$، $AC$، و $BC$ برابرند. پس:
\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.\quad (1)\]

بنابراین:
\[A\widehat{M}B=C\widehat{M}B=60^\circ.\quad (2)\]
(چرا؟)

وتر $CM$ را (از طرف $M$) به‌اندازهٔ $MA$ امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. مثلث $AMD$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

بنابراین، دو مثلث $ABM$ و $ACD$ هم‌نهشت هستند. (چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&CD=BM\\&\Rightarrow CM+MD=BM\\&\Rightarrow CM+MA=BM.\end{aligned}\]

راهنمای حل (۲)

نقشهٔ راه. نقطهٔ \(N\) را طوری روی \(MB\) انتخاب می‌کنیم که \(MN=MC\). در نتیجه مثلث \(CMN\) متساوی‌الاضلاع است. حال می‌توان ثابت کرد که دو مثلث \(ACM\) و \(BCN\) در حالت ززض همنهشت‌اند. پس \(BN=AM\) و در نتیجه \(AM+CM=BM\).

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۱۵ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راهنمای حل

ضلع $AC$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ $AB$ امتداد می‌دهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ می‌نامیم.

چون بنابه فرض مسئله $B\widehat{A}C=120^\circ$، پس در مثلث $ABE$ داریم:

\[AB=AE, B\widehat{A}E=60^\circ.\]

در نتیجه مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است(؟).
دو مثلث $ABD$ و $EBC$ در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

از تعریف همنهشتی و تعریف تشابه نتیجه می‌شود که دو شکل همنهشت، دو شکل متشابه با نسبت تشابه \(1\) هستند. پس گزارهٔ اول درست است.

شکل‌های زیر، دو مثلث قائم‌الزاویهٔ متشابه با نسبت تشابه \(2\) هستند.

این دو مثلث یک ضلع برابر دارند ولی واضح است که همنهشت نیستند. پس گزارهٔ دوم نادرست است.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

با توجه به تعریف اعداد گویا: \[\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\}\]
هر چهار عدد داده شده گویا هستند. (چرا؟)

برای اینکه صورت مسئله واضح‌تر شود، فرض کنید به‌جای عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$ داده شده باشد.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، نُه‌تا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز نیست. زیرا:
\[\begin{aligned}&\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}+\sqrt{10}\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{10}\\&=6+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش حاصل عددی عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، شش‌تا است.

در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$،  هفتادوچهارتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامت جمع مورد نیاز نیست. زیرا می‌توان دسته‌های زیر را در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$، در نظر گرفت. (در همهٔ موارد زیر، $n$ عددی طبیعی است)

دستهٔ اول. هشت‌ عدد به‌صورت $n\sqrt{1}$ داریم، یا به‌عبارتِ‌دیگر، هشت عدد صحیح داریم. (چرا؟)

بنابه دسته‌بندی بالا و پاسخِ پرسش‌های ۱ و ۲، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش عددیِ عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، چهل‌و شش علامت جمع است؛ به‌عبارتِ‌دیگر، اگر $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کنیم، چهل‌وشش علامت جمع داریم.

بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

اگر $a^b$ را به‌صورت $a^\wedge b$ نشان دهیم، این مسئله راحت‌تر حل می‌شود.
\[\begin{aligned}&((2^\wedge3)^\wedge4)^\wedge5=\Big(\big(2^3\big)^4\Big)^5=2^{3\times4\times5}\\&(2^\wedge(3^\wedge4))^\wedge5=\Big(2^{\big(3^4\big)}\Big)^5=2^{{3^4}\times5}\\&2^\wedge(3^\wedge(4^\wedge5))=2^{\bigg(3^{(4^5)}\bigg)}=2^{3^{4^5}}\\&2^\wedge((3^\wedge4)^\wedge5)=2^{\bigg(\big(3^4\big)^5\bigg)}=2^{3^{20}}\\&(2^\wedge3)^\wedge(4^\wedge5)=\big(2^3\big)^{\big(4^5\big)}=2^{3\times4^5}\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

اگر $a>0$، $b<0$ و $c<0$، آنگاه $ab^2c$ همواره منفی است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
الف) اتحاد است.
ب) تساوی وجود ندارد که اتحاد باشد!
ج) چون عبارت سمت راست تساوی به‌ازای $x=0$ تعریف نشده است، اتحاد نیست.
د) اتحاد است.
ه) اتحاد نیست. زیرا به ازای $x=6$ سمت راست تساوی صفر است ولی سمت چپ تساوی برابر $-72$ است.
بنابراین فقط دو تا از عبارت‌های داده شده اتحاد است.

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.