آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون \(AD\) و \(BC\) ضلع‌های مقابل مستطیل هستند، پس \(AD=BC\). بنابراین، نسبت مساحت مثلث \(ADM\) به \(BCM\) برابر است با:
\[\frac{\frac{1}{2}AD\times DM}{\frac{1}{2}BC\times CM}=\frac{DM}{CM}.\]

برای سادگی،‌ قرار می‌دهیم \(AB=2x\). در ادامه، طول \(DM\) و \(BM\) را برحسب \(x\) به‌دست می‌آوریم.

به‌سادگی می‌توانیم اندازهٔ زاویه‌های مثلث‌های \(ADM\) و \(BCM\) را به‌دست آوریم:

بنابراین، \(BM=x\) و \(AM=\sqrt{3}\,x\). (چرا؟)

در نتیجه، \(CM=\frac{1}{2}x\) و \(DM=\frac{3}{2}x\).

پس:\[\frac{DM}{CM}=\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{1}{2}x}=3.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\widehat{B}=B\widehat{D}L\quad(*)\] (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، روی یک خط بودن سه نقطهٔ \(B\)، \(D\)، و \(E\)، و رابطهٔ \((*)\)، داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{B}+\widehat{A}+A\widehat{D}B=180^\circ\\&B\widehat{D}L+L\widehat{D}E=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}+A\widehat{D}B=L\widehat{D}E.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

راهنمای حل (۲)

\(\widehat{A}=A\widehat{D}C\). (چرا؟)

پس \(L\widehat{D}E=\widehat{A}+A\widehat{D}B\). (چرا؟)

روی نمودار ون، مجموعهٔ \((A\cap B)-C\) را مشخص می‌کنیم.

پس عدد \(5\) در ناحیهٔ سبزرنگ بالا قرار دارد.

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cup C)\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cup C\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cap C)\) هست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cap C\) نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

\(A=\{5,8,11,14,\dots,302\}\). (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{2}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $a$ نزدیکتر از $c$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{4}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{6}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $c$ نزدیکتر از $a$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{36}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{5}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت فاصلهٔ $b$ از $a$ و $c$ برابر است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{25}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0 < a < b < c < 1$ و $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است.

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

برای به‌دست آوردن بیشترین مقدار $x^y$ همهٔ حالت‌های ممکن برای $x^y$ را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}3^4=81,\;&3^5=243\\4^3=64,\;&4^5=1024\\5^3=125,\;&5^4=625.\end{aligned}\]

بیشترین مقدار $-x^y-\frac{1}{z}$ برابر است با:
\[\begin{aligned}-4^3-\frac{1}{5}&=-64-0.2\\&=-64.2\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\pi(12)^2(25)-\frac{4}{3}\pi(10)^3\\&=\pi(144)(25)-\frac{4}{3}\pi(1000)\\&=3600\pi-\frac{4000}{3}\pi\\&=\frac{6800}{3}\pi.\end{aligned}\]

کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم:
\[100=7\times14+2.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در زیر، مثالی از رنگ‌آمیزی اعداد یک تا صد با شرایط این مسئله، آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1},\dots,{\color{blue}6},{\color{red}7},\\&{\color{blue}8},\dots,{\color{blue}13},{\color{red}14},\\&{\color{blue}15},\dots,{\color{blue}20},{\color{red}21},\\&\quad\vdots\\&{\color{blue}92},\dots,{\color{blue}97},{\color{red}98},\\&{\color{blue}99},{\color{blue}100}.\end{aligned}\]

گزینهٔ ۲ صحیح است.
الف) اتحاد است.
ب) تساوی وجود ندارد که اتحاد باشد!
ج) چون عبارت سمت راست تساوی به‌ازای $x=0$ تعریف نشده است، اتحاد نیست.
د) اتحاد است.
ه) اتحاد نیست. زیرا به ازای $x=6$ سمت راست تساوی صفر است ولی سمت چپ تساوی برابر $-72$ است.
بنابراین فقط دو تا از عبارت‌های داده شده اتحاد است.