آزمون هندسه دهم

تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا عدد دو رقمی وجود دارد که حداقل یکی از ارقام‌ آن زوج است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر زاویه‌ها را به‌صورت زیر نشان دهیم، آنگاه باید مقدار $x+y+z+a+b+c$ را بیابیم.

در چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، بنابه قضیهٔ دندان کوسه و قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس، اندازهٔ زاویه‌های آبی‌رنگ برابر است با \(a+b+c\).

چون مجموع زاویه‌های چهارضلعی سایه‌خوردهٔ زیر، برابر \(360\) درجه است، پس:\[a+b+c+y+x+z=360^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

مجموع زاویه‌های مشخص شده در شکل زیر چند درجه است؟

۱) \(180\) درجه
۲) \(270\) درجه
۳) \(360\) درجه
۴) نمی‌توان دقیقاً تعیین کرد.

پاسخ تشریحی

در یک مستطیل لبه‌سفید، اگر \(n=4\)، آنگاه \(r=1-\frac{4}{m+2}\).
چرا؟

از طرفی، می‌دانیم \(r=\frac{a}{23}\). پس:
\[\begin{aligned}&1-\frac{4}{m+2}=\frac{a}{23}\\[7pt]&\Rightarrow1-\frac{a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{23-a}{23}=\frac{4}{m+2}\\[7pt]&\Rightarrow(23-a)(m+2)=4\times23.\end{aligned}\] چون \(m\geq3\)، پس \(m+2\geq5\) و از آنجا که \(m\) عددی طبیعی است، نتیجه می‌گیریم که \(23-a\) نیز عددی طبیعی است و بنابراین، \(a<23\). از طرفی، \[\begin{aligned}&4\times23\\&=1\times92\\&=2\times46.\end{aligned}\] در نتیجه، سه مقدار متفاوت برای \(a\) وجود دارد:
\[\begin{aligned}&23-a=4\Rightarrow 19=a\\&23-a=1\Rightarrow22=a\\&23-a=2\Rightarrow21=a.\end{aligned}\]

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

برای دو عدد $a$ و $b$، $|a-b|$ یعنی فاصلهٔ این دو عدد روی محور اعداد. فاصلهٔ این دو عدد را با یک پاره‌خط صورتی نشان می‌دهیم.

در شکل بالا فرض کرده‌ایم $b>a$.
بنابه فرض مسئله،
\[\begin{aligned}&6|a-b|=6|b-c|\\&\Rightarrow |a-b|=|b-c|\end{aligned}\]
یعنی فاصلهٔ دو عدد $b$ و $c$ با فاصلهٔ دو عدد $a$ و $b$ برابر است. بنابراین $c>b$. (چرا؟)

پرسش. چرا در حالت $b < a$ نیز همین نتایج به‌دست می‌آید؟

گزینهٔ ۱ درست است. (چرا؟)

\[\begin{aligned}27^{12}&=\big(9\times3\big)^{12}\\&=9^{12}\times3^{12}\\&=9^{12}\times\big(3^2\big)^6\\&=9^{12}\times9^6\\&=9^{18}\\&=\big(9^9\big)^2.\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

شکل حاصل از دوران، یک مخروط با شعاع قاعدهٔ $2$ و ارتفاع $4$ است. پس حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $x=3$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times2^2\times4\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times4\times4\\[7pt]&=\frac{16}{3}\pi.\end{aligned}\]

طول ضلع مربع وسط را \(a\)، و طول و عرض چهار مستطیل گوشهٔ شکل را به‌ترتیب \(2x\) و \(x\) در نظر می‌گیریم.

با توجه به شکل بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&2x+a+2x=20\\&\Rightarrow4x=20-a.\quad(1)\end{aligned}\]
همچنین:
\[\begin{aligned}&x+a+x=14\\&\Rightarrow2x=14-a\\&\Rightarrow4x=28-2a.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&20-a=28-2a\\&\Rightarrow2a-a=28-20\\&\Rightarrow a=8.\end{aligned}\]
پس مساحت مربع وسط برابر است با:
\[8\times8=64.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&4x(y-2x)-2y(2x-4y)\\&=4xy-8x^2-4xy+8y^2\\&=-8x^2+8y^2\\&=8y^2-8x^2\\&=8(y^2-x^2).\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]