آزمون هندسه دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

گزارهٔ اول درست است.
گزارهٔ دوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

از \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\) می‌توان نتیجه گرفت که \((y+6)(x-6)=-36\).
چگونه؟

می‌دانیم که \(x\) و \(y\) اعدادی طبیعی هستند. پس \(y+6>6\) و \(x-6\) عددی صحیح است. در نتیجه:
\[\begin{aligned}&(y+6)(x-6)=-36\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y+6=9,\;x-6=-4\\&y+6=12,\;x-6=-3\\&y+6=18,\;x-6=-2\\&y+6=36,\;x-6=-1\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=3,\;x=2\\&y=6,\;x=3\\&y=12,\;x=4\\&y=30,\;x=5.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، معادلهٔ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)، چهار جواب طبیعی دارد.

\[\begin{aligned}&\Big\{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\times n\,\big|\,n\in\mathbb{W},n\leq5\Big\}\\&=\Big\{(-1)^{\frac{0(0+1)}{2}}\times0,(-1)^{\frac{1(1+1)}{2}}\times1,(-1)^{\frac{2(2+1)}{2}}\times2,(-1)^{\frac{3(3+1)}{2}}\times3,(-1)^{\frac{4(4+1)}{2}}\times4,(-1)^{\frac{5(5+1)}{2}}\times5\Big\}\\&=\Big\{(-1)^0\times0,(-1)^1\times1,(-1)^3\times2,(-1)^6\times3,(-1)^{10}\times4,(-1)^{15}\times5\Big\}\\&=\Big\{0,-1,-2,3,4,-5\Big\}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{81\times8\times5}=3\times2\times\sqrt[3]{3\times5}=6\sqrt[3]{15}\\&\sqrt{50\times49}=\sqrt{2\times5^2\times7^2}=35\sqrt{2}\\&\sqrt[3]{9^2\times11^4}=\sqrt[3]{3^4\times11^4}=33\sqrt[3]{33}\\&\sqrt{64\times242}=\sqrt{8^2\times2\times121}=88\sqrt{2}.\end{aligned}\]
چون
\[\begin{aligned}&\sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\\&\Rightarrow \sqrt[3]{15} < 3\\&\Rightarrow6\sqrt[3]{15} < 18\end{aligned}\]
و واضح است سه عدد دیگر از \(18\) بزرگ‌ترند، پس \(6\sqrt[3]{15}\) از بقیهٔ اعداد داده شده کوچک‌تر است.
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پرسش. کدام عدد از بقیه بزرگ‌تر است؟

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

وقتی توپ در کوچک‌ترین جعبهٔ ممکن باشد، یعنی وجه‌های جعبه بر توپ مماس هستند. پس یال جعبه برابر با قطر توپ است. شعاع کره برابر \(4\) است.
$$S=4\pi(4)^2=64\pi.$$

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.