آزمون هندسه دهم

راهنمای حل

هر سه عبارت نادرست است. تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵

۹. ۳. ۷. ۴. الف) آیا در دو چندضلعی زیر، می‌توان اضلاع را طوری دوبه‌دو نظیر یکدیگر قرار داد که نسبت همهٔ اضلاع متناظر برابر باشند؟ یا به‌عبارتِ‌دیگر اضلاع متناظر متناسب باشند؟

ب) فرض کنید $n>3$. روشی برای رسم دو $n$-ضلعی که اضلاع متناظرشان متناسب باشند ولی دو چندضلعی متشابه نباشند، ارائه دهید.

راهنمای حل

الف) ابتدا اندازهٔ هریک از ضلع‌های دو چندضلعی داده شده را به‌دست می‌آوریم.
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی صورتی را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[1,\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2},2,\sqrt{5}.\]
اندازهٔ اضلاع شش‌ضلعی سبز را نیز از کوچک به‌بزرگ مرتب می‌کنیم:
\[2, 2\sqrt{2},2\sqrt{2},2\sqrt{2},4,2\sqrt{5}.\]
می‌توان اضلاع این دو شش‌ضلعی را طوری دوبه‌دو نظیر کرد که نسبت اضلاع نظیر شده، برابر باشند:
\[\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.\]

ب) یک $n$ضلعیِ محدب در نظر بگیرید و یکی از رأس آن را $A$ بنامید. رأس $A$ به دو رأس دیگر متصل است؛ این دو رأس را $B$ و $C$ بنامید. فرض کنید این $n$ضلعی محدب طوری رسم شده باشد که اگر $A$ را نسبت به قطر $BC$ قرینه کنیم نقطهٔ حاصل درون $n$ضلعی باشد. قرینهٔ $A$ نسبت به $BC$ را $A'$ می‌نامیم. اگر از $n$ضلعی محدب رأس $A$ را حذف کنیم و به‌جای آن رأس $A'$ را اضافه کنیم، یک $n$ضلعی مقعر به‌دست می‌آید. این $n$ضلعی مقعر و $n$ضلعیِ محدبی که در ابتدا رسم کردیم، شرایط مسئله را دارند ولی متشابه نیستند. برای مثال، شکل‌ زیر را ببینید.

ارتفاع \(BH\) را رسم ‌می‌کنیم.

در نتیجه، اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(AB+CD)\times BH-\frac{1}{2}CD\times BH\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times\big((AB+CD)-CD\big)\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times AB\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times4\\[7pt]&=2BH.\end{aligned}\]

حال باید طول \(BH\) را بیابیم.

\(BH=\sqrt{5}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}\frac{A^2-B^2}{C^2}&=\frac{(A+B)(A-B)}{C^2}\\[7pt]&=\frac{\big(a^2-b^2+a^2+b^2\big)\big(a^2-b^2-(a^2+b^2)\big)}{(ab)^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(a^2-b^2-a^2-b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{(2a^2)(-2b^2)}{a^2b^2}\\[7pt]&=\frac{-4a^2b^2}{a^2b^2}\\[7pt]&=-4.\end{aligned}\]

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&7.34\times10^{22}+5.9736\times10^{24}\\&=0.0734\times10^{24}+5.9736\times10^{24}\\&=\big(0.0734+5.9736\big)\times10^{24}\\&=6.0470\times10^{24}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ است.

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

چون
\[\begin{aligned}\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{5}&\Rightarrow5a+5b=7a-7b\\&\Rightarrow12b=2a\\&\Rightarrow6b=a\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}\frac{3a+2b}{3b}&=\frac{3(6b)+2b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20b}{3b}\\[7pt]&=\frac{20}{3}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.