آزمون هندسه دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

پاسخ تشریحی

این مسئله، به‌همراه چهار راه‌حل متفاوت، در صفحه‌های ۵۷ و ۵۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

گزینهٔ ۴ درست است.

از قضیهٔ خطوط موازی و مورب نتیجه می‌شود که زاویهٔ \(x\)، مکمل زاویهٔ \(110^\circ\) است. پس \[\begin{aligned}&x+110^\circ=180^\circ\\&\Rightarrow x=70^\circ.\end{aligned}\]

مطابق شکل زیر، یکی از ضلع‌های زاویهٔ \(y\) را امتداد می‌دهیم تا خط افقی پایین را در نقطهٔ‌ \(A\) قطع کند.

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، اندازهٔ زاویهٔ \(A\) برابر \(80\) درجه است. پس، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث (در مثلث \(ABC\)) داریم:
\[\begin{aligned}A\widehat{C}B&=180^\circ-70^\circ-80^\circ\\&=30^\circ.\end{aligned}\]
در نتیجه روی خط \(AC\) داریم:
\[\begin{aligned}&30^\circ+90^\circ+y=180^\circ\\&\Rightarrow y=180^\circ-120^\circ\\&\Rightarrow y=60^\circ.\end{aligned}\]

پس:
\[x+y=70^\circ+60^\circ=130^\circ.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

کافی است در هر مورد بررسی کنیم که \(-3\) (ریشهٔ \(x+3\))، ریشهٔ چندجمله‌ای داده شده هست یا نه. (تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^3+2x^2-3x\) بر \(x+3\) برابر \(0\) است. (چرا؟)

پاسخ تشریحی

ابتدا برای \((A-B)\cap C\) یک نمودار ون رسم می‌کنیم:

حال، در بین گزینه‌های داده شده، و با استفاده از نمودار ون، مجموعه‌ای را پیدا می‌کنیم که با \((A-B)\cap C\) برابر باشد.

گزینهٔ ۱.

گزینهٔ ۲.

گزینهٔ ۳.

گزینهٔ ۴.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&1.\overline{2}+3.\overline{4}+5.\overline{6}\\&=1+0.\overline{2}+3+0.\overline{4}+5+0.\overline{6}\\[5pt]&=1+\frac{2}{9}+3+\frac{4}{9}+5+\frac{6}{9}\\[5pt]&=9+\frac{12}{9}\\[7pt]&=9+1+\frac{3}{9}\\[5pt]&=10+\frac{3}{9}\\[7pt]&=10+0.\overline{3}\\&=10.\overline{3}\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(\bullet\) یک زیرمجموعهٔ \(3\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد: \(\{1,2,3\}\).
\(\bullet\) \(15\) زیرمجموعهٔ \(4\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشد. (چرا؟)

پس پاسخ مسئله برابر است با:\[1+15+105=121.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{147}+\sqrt{48}}{-3\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}\). (چرا؟)

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}&\sqrt{0.025\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-3}\times10^{-7}}\\&=\sqrt{25\times10^{-10}}\\&=5\times10^{-5}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

اگر سه عدد فرد متوالی را با \(x-2\)، \(x\)، و \(x+2\) نمایش دهیم، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}&(x-2)+x+(x+2)=69\\&\Rightarrow3x=69\\&\Rightarrow x=23\\&\Rightarrow x^2=529.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۴ درست است. (چرا؟)