آزمون هندسه دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله، مشابه تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، و همچنین مشابه تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ و تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است.

تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ (هشتم)

۸. ۶. ۳. ۲۰. در شکل زیر، $\widehat{B}=120^\circ$ و مثلث $ACD$ متساوی‌الاضلاع است.

ثابت کنید:
الف) پاره‌خط $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $B$ است.
ب) $BD=AB+BC$.

راهنمایی: $BC$ را از طرف $B$ به اندازهٔ $AB$ امتداد دهید و نقطه انتها را $E$ بنامید. سپس ثابت کنید دو مثلث $ABD$ و $AEC$ هم‌نهشت‌اند.

راهنمای حل

همان‌طور که در راهنماییِ مسئله گفته شده است عمل کنیم. در زیر، شکلِ راه‌حل را دوبار رسم کرده‌ایم تا مثلث‌هایی که می‌خواهیم هم‌نهشتیِ آنها را ثابت کنیم، واضح‌تر دیده شوند.

مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۹. ۳. ۵. ۱۵ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین‌ ۷ صفحهٔ ۵۶ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

راهنمای حل

سه کمان $AB$، $AC$، و $BC$ برابرند. پس:
\[\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.\quad (1)\]

بنابراین:
\[A\widehat{M}B=C\widehat{M}B=60^\circ.\quad (2)\]
(چرا؟)

وتر $CM$ را (از طرف $M$) به‌اندازهٔ $MA$ امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. مثلث $AMD$ متساوی‌الاضلاع است. (چرا؟)

بنابراین، دو مثلث $ABM$ و $ACD$ هم‌نهشت هستند. (چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&CD=BM\\&\Rightarrow CM+MD=BM\\&\Rightarrow CM+MA=BM.\end{aligned}\]

راهنمای حل (۲)

نقشهٔ راه. نقطهٔ \(N\) را طوری روی \(MB\) انتخاب می‌کنیم که \(MN=MC\). در نتیجه مثلث \(CMN\) متساوی‌الاضلاع است. حال می‌توان ثابت کرد که دو مثلث \(ACM\) و \(BCN\) در حالت ززض همنهشت‌اند. پس \(BN=AM\) و در نتیجه \(AM+CM=BM\).

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۱۵ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ (نهم)

۹. ۳. ۵. ۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راهنمای حل

ضلع $AC$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ $AB$ امتداد می‌دهیم و نقطهٔ حاصل را $E$ می‌نامیم.

چون بنابه فرض مسئله $B\widehat{A}C=120^\circ$، پس در مثلث $ABE$ داریم:

\[AB=AE, B\widehat{A}E=60^\circ.\]

در نتیجه مثلث $ABE$ متساوی‌الاضلاع است(؟).
دو مثلث $ABD$ و $EBC$ در حالت دو ضلع و زاویهٔ بین هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

برای معلمان. این تمرین مشابه تمرین‌های ۸. ۶. ۳. ۲۰ و ۹. ۳. ۵. ۷ است. اینکه دانش‌آموز ارتباط بین تمرین‌های مشابه را بفهمد بسیار مهم است.

\[\widehat{B}=B\widehat{D}L\quad(*)\] (چرا؟)

بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، روی یک خط بودن سه نقطهٔ \(B\)، \(D\)، و \(E\)، و رابطهٔ \((*)\)، داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{B}+\widehat{A}+A\widehat{D}B=180^\circ\\&B\widehat{D}L+L\widehat{D}E=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}+A\widehat{D}B=L\widehat{D}E.\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

راهنمای حل (۲)

\(\widehat{A}=A\widehat{D}C\). (چرا؟)

پس \(L\widehat{D}E=\widehat{A}+A\widehat{D}B\). (چرا؟)

در بین اعدادِ
\[0.\overline{1}, 0.\overline{2}, 0.\overline{3}, \dots , 0.\overline{1396}\]اعداد برابر را پیدا می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&0.\overline{1}=0.\overline{11}=0.\overline{111}=0.\overline{1111}\\&0.\overline{2}=0.\overline{22}=0.\overline{222}\\&0.\overline{3}=0.\overline{33}=0.\overline{333}\\&0.\overline{4}=0.\overline{44}=0.\overline{444}\\&0.\overline{5}=0.\overline{55}=0.\overline{555}\\&0.\overline{6}=0.\overline{66}=0.\overline{666}\\&0.\overline{7}=0.\overline{77}=0.\overline{777}\\&0.\overline{8}=0.\overline{88}=0.\overline{888}\\&0.\overline{9}=0.\overline{99}=0.\overline{999}\\&0.\overline{10}=0.\overline{1010}\\&0.\overline{12}=0.\overline{1212}\\&0.\overline{13}=0.\overline{1313}\\\end{aligned}\]
در نتیجه، تعداد اعضای این مجموعه برابر است با:
\[1396-22=1374.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.

چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در همهٔ عبارت‌های بالا حاصل‌جمع مقدارهای زیر رادیکال، برابر \(41\) است:
\[\begin{aligned}24+17&=41\\18+23&=41\\19+22&=41\\20+21&=41.\end{aligned}\]
گزاره. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی باشند و \(a+b=c+d\). اگر \(ab>cd\)، آن‌وقت \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}\). (چرا؟)

پرسش. عدد طبیعی \(n\) را در نظر بگیرید. فرض کنید برای اعداد طبیعی \(a\) و \(b\) داشته باشیم \(a+b=n\). بیشترین مقدار ممکن برای \(ab\) (برحسب \(n\)) چیست؟ چرا؟ (راهنمایی: تمرین ۷ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۱۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

\[\begin{aligned}&7.34\times10^{22}+5.9736\times10^{24}\\&=0.0734\times10^{24}+5.9736\times10^{24}\\&=\big(0.0734+5.9736\big)\times10^{24}\\&=6.0470\times10^{24}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم:
\[100=7\times14+2.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در زیر، مثالی از رنگ‌آمیزی اعداد یک تا صد با شرایط این مسئله، آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1},\dots,{\color{blue}6},{\color{red}7},\\&{\color{blue}8},\dots,{\color{blue}13},{\color{red}14},\\&{\color{blue}15},\dots,{\color{blue}20},{\color{red}21},\\&\quad\vdots\\&{\color{blue}92},\dots,{\color{blue}97},{\color{red}98},\\&{\color{blue}99},{\color{blue}100}.\end{aligned}\]

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.