آزمون هندسه دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با: \[9\times8\times7\times6.\]

اگر یکان و هزارگان هریک از \(5\) جفت‌ زیر باشند، اختلاف آنها برابر \(4\) است:
\[\begin{aligned}&1,5\\&2,6\\&3,7\\&4,8\\&5,9.\end{aligned}\]
بنابراین، تعداد حالت‌هایی که اختلاف یکان و هزارگان عدد چهاررقمی، \(4\) باشد، برابر است با:
\[7\times6\times2\times5.\]
(چرا؟)

یکی از ضلع‌های زاویهٔ با اندازهٔ $b$ را مانند شکل زیر امتداد می‌دهیم؛ در نتیجه زاویهٔ با اندازهٔ $c$ به دو قسمت تقسیم می‌شود؛ اندازهٔ یکی از این دو قسمت ۱۸۰ درجه و اندازهٔ قسمت دیگر $c-180^\circ$ می‌شود.

بنابه فرض مسئله دو خط $d$ و $d'$ موازی‌اند. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب زاویه‌های صورتی‌رنگ شکل زیر باهم برابرند(؟).

اکنون در شکل زیر، ناحیهٔ زرد‌رنگ یک مثلث است.

در مثلث زردرنگ، بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، داریم:
\[\begin{aligned}&a+b+(c-180^\circ)=180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=180^\circ+180^\circ\\&\Rightarrow a+b+c=360^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&|2x-3|=|7-3x|\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&2x-3=7-3x\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2\\&2x-3=-(7-3x)\Rightarrow2x-3=-7+3x\Rightarrow4=x.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(A=-3+\sqrt{5}\). (چرا؟)

\[\begin{aligned}&0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\\&3\times10^{-5} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}.\end{aligned}\] در نتیجه: \[m\in\{-4,-3,-2,-1\}.\] بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

وقتی کره در استوانه محاط باشد، ارتفاع استوانه برابر قطر کره، و شعاع قاعده استوانه برابر شعاع کره است.
پس مساحت استوانه برابر است با:
\[\begin{aligned}2\pi x^2+2\pi x\times(2x)&=2\pi x^2+4\pi x^2\\&=6\pi x^2.\end{aligned}\]
بنابراین، نسبت مساحت استوانه به مساحت کره برابر است با:
\[\frac{6\pi x^2}{4\pi x^2}=\frac{3}{2}.\]
در نتیجه، حجم کره برابر است با:
\[\frac{4}{3}\pi\big(\frac{3}{2}\big)^3=\frac{9}{2}\pi.\]

\[\begin{aligned}&\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)=-\frac{9}{4}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)+\frac{9}{4}=0\\[7pt]&\Rightarrow\Big(\frac{a}{b}-\frac{3}{2}\Big)^2=0\\[7pt]&\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

مقدار \(A\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A&=x^2-3\\&=(-3)^2-3\\&=9-3\\&=6.\end{aligned}\]
مقدار \(B\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}B&=x^3+2x-7\\&=(-3)^3+2(-3)-7\\&=-27-6-7\\&=-40.\end{aligned}\]
در نتیجه، مقدار \(A^2-Bx\) به‌ازای \(x=-3\) برابر است با:
\[\begin{aligned}A^2-Bx&=6^2-(-40)(-3)\\&=36-120\\&=-84.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینه‌ٔ ۲ درست است.