آزمون هندسه دهم

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108^\circ\) است. (چرا؟)

چون در لوزی زاویه‌های مجاور مکمل‌اند(؟)، پس:
\[\beta=180^\circ-144^\circ=36^\circ.\]
از طرفی، چون در لوزی، زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟)، پس با توجه به شکل زیر، داریم:
\[\alpha=360^\circ-60^\circ-144^\circ-60^\circ=96^\circ.\]

در نتیجه، نسبت \(\alpha\) به \(\beta\) برابر است با:
\[\frac{96}{36}=\frac{8}{3}.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

ضلع‌ \(a\) نمی‌تواند با ضلع \(b\) متناظر باشد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

معادلهٔ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x+y}\) جواب ندارد.
چرا؟

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

می‌دانیم یک مجموعهٔ \(n\)عضوی، \(2^n\)تا زیرمجموعه دارد. (چرا؟)

همهٔ زیرمجموعه‌هایی را که مجموع بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو برابر \(27\) است، به‌صورت زیر حالت‌بندی می‌کنیم.

حالت اول. کوچک‌ترین عضو \(13\) و بزرگ‌ترین عضو \(14\) باشد. واضح است که در این حالت فقط \(1\) زیرمجموعه وجود دارد: \(\{13,14\}\).

حالت دوم. کوچک‌ترین عضو \(12\) و بزرگ‌ترین عضو \(15\) باشد. در این حالت \(4\) زیرمجموعه وجود دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

طول ضلع مربع وسط را \(a\)، و طول و عرض چهار مستطیل گوشهٔ شکل را به‌ترتیب \(2x\) و \(x\) در نظر می‌گیریم.

با توجه به شکل بالا، داریم:
\[\begin{aligned}&2x+a+2x=20\\&\Rightarrow4x=20-a.\quad(1)\end{aligned}\]
همچنین:
\[\begin{aligned}&x+a+x=14\\&\Rightarrow2x=14-a\\&\Rightarrow4x=28-2a.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&20-a=28-2a\\&\Rightarrow2a-a=28-20\\&\Rightarrow a=8.\end{aligned}\]
پس مساحت مربع وسط برابر است با:
\[8\times8=64.\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]