آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است. 

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر \(1\) است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \(2\) است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

زاویهٔ مکمل زاویهٔ \(115\) درجه برابر \(65\) درجه است. چون می‌دانیم شکل داده شده یک کاشی‌کاری است، پس کاشی‌های زرد همنهشت‌اند. در نتیجه، مثلثی که از چسبیدن مثلث سبز به ذوزنقهٔ سفید حاصل می‌شود، یک مثلث متساوی‌الساقین است. بنابراین، اندازهٔ زاویهٔ مثلث سبز که با علامت سؤال مشخص شده، برابر است با: \[180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.\]
از طرفی، واضح است که اندازهٔ زاویهٔ دیگری که با علامت سؤال مشخص شده، برابر \(65\) درجه است.

پس مجموع دو زاویه‌‌ای که با علامت سؤال مشخص شده‌اند، برابر است با: \[65^\circ+50^\circ=115^\circ.\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

از \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\) می‌توان نتیجه گرفت که \((y+6)(x-6)=-36\).
چگونه؟

می‌دانیم که \(x\) و \(y\) اعدادی طبیعی هستند. پس \(y+6>6\) و \(x-6\) عددی صحیح است. در نتیجه:
\[\begin{aligned}&(y+6)(x-6)=-36\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y+6=9,\;x-6=-4\\&y+6=12,\;x-6=-3\\&y+6=18,\;x-6=-2\\&y+6=36,\;x-6=-1\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&y=3,\;x=2\\&y=6,\;x=3\\&y=12,\;x=4\\&y=30,\;x=5.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، معادلهٔ \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)، چهار جواب طبیعی دارد.

گزارهٔ اول نادرست است. برای مثال، عددِ \[0.333333\dots=0.\overline{3}=\frac{1}{3}\]
یک عدد اعشاری غیرمختوم است، ولی گنگ نیست.

گزارهٔ‌ دوم درست است. برای مثال، حاصل‌جمع دو عدد گنگ مثبت \(2-\sqrt{2}\) و \(2+\sqrt{2}\) گنگ نیست: \[(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})=4.\]

گزارهٔ سوم نادرست است. برای مثال، اگر \(a=2\) و \(b=8\)، آن‌وقت مساحت مستطیلی به ابعاد \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{b}\)، عددی اصم نیست: \[\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4.\]

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

مثال برای حالت اول:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{2}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $a$ نزدیکتر از $c$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{4}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت دوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{6}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت $b$ به $c$ نزدیکتر از $a$ است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{36}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0

مثال برای حالت سوم:
\[a=\frac{1}{10},\;b=\frac{5}{10},\;c=\frac{9}{10}\]
در این حالت فاصلهٔ $b$ از $a$ و $c$ برابر است و چون
\[a^2=\frac{1}{100},\;b^2=\frac{25}{100},\;c^2=\frac{81}{100}\]
پس فرض‌های مسئله برقرار است؛ یعنی $0 < a < b < c < 1$ و $b^2$ به $a^2$ نزدیکتر از $c^2$ است.

پس برای هر سه حالت مثال وجود دارد. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

\(\dfrac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\). (چرا؟)

\(\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\). (چرا؟)

\(\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\not\in\mathbb{Q'}\). (چرا؟)

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

معادلهٔ اول جواب ندارد؛ زیرا:

$\bullet$ اگر هر دو عدد طبیعی $a$ و $b$ بزرگتر یا مساوی \(3\) باشند، آنگاه معادلهٔ اول جواب ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(2\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

$\bullet$ اگر یکی از مقادیر $a$ یا $b$ برابر \(1\) باشد، آنگاه معادلهٔ اول جواب طبیعی ندارد. (چرا؟)

در معادلهٔ دوم باتوجه‌به روش کسر مصری و تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، داریم:
\[\frac{41}{42}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\]

بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.