آزمون هندسه دهم

در جدول زیر، همهٔ حالت‌هایی که چهار نامه در چهار پاکت اشتباه گذاشته شوند، نمایش داده شده است.

پرسش. آیا می‌توانید حدس بزنید که به چند حالت می‌توان $n$ نامه را در $n$ پاکت اشتباه قرار داد؟

در هر مثلث قائم‌الزاویه، میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است. (تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

بنابراین، در شکل بالا، مثلث‌های \(ABM\) و \(ACM\) متساوی‌الساقین هستند. اگر اندازهٔ زاویهٔ \(B\) را با \(b\)، و اندازهٔ زاویهٔ \(C\) را با \(c\) نمایش دهیم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین داریم:
\[C\widehat{A}M=c,\;B\widehat{A}M=b.\]
در نتیجه، \(c-b=40^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

ارتفاع \(BH\) را رسم ‌می‌کنیم.

در نتیجه، اختلاف مساحت ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین \(ABCD\) با مساحت مثلث \(BCD\) برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{2}(AB+CD)\times BH-\frac{1}{2}CD\times BH\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times\big((AB+CD)-CD\big)\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times AB\\[7pt]&=\frac{1}{2}BH\times4\\[7pt]&=2BH.\end{aligned}\]

حال باید طول \(BH\) را بیابیم.

\(BH=\sqrt{5}\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینهٔ ۱ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ ناردست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

پاسخ تشریحی

چون \(x+|x|=0\)، پس \(|x|=-x\). در نتیجه:
\[\sqrt[3]{\sqrt{4x^2}\times\left(\frac{x}{4}\right)^{-1}}=-2.\]
چرا؟

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پاسخ تشریحی

\[\begin{aligned}\big(1-\sqrt{2}\,\big)^{-2}&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}}\times\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^2\\[7pt]&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}\right)^2\\&=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{-1}\right)^2\\[7pt]&=\frac{\big(1+\sqrt{2}\,\big)^2}{(-1)^2}\\[7pt]&=\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1}\\[7pt]&=3+2\sqrt{2}.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۷۳ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)=-\frac{9}{4}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{a}{b}\big)^2-3\big(\frac{a}{b}\big)+\frac{9}{4}=0\\[7pt]&\Rightarrow\Big(\frac{a}{b}-\frac{3}{2}\Big)^2=0\\[7pt]&\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{3}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]

چون
\[\begin{aligned}x^2&=\Big(\frac{4+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\Big)^2\\[7pt]&=\frac{16+6+8\sqrt{6}}{5}\\[7pt]&=\frac{22+8\sqrt{6}}{5}\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}5x^2-\sqrt{24}&=5\times\frac{22+8\sqrt{6}}{5}-\sqrt{4\times6}\\[7pt]&=22+8\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\&=22+6\sqrt{6}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.