آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

قبل از خواندن راه‌حل این مسئله، راهنمای حل تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را دقیق بخوانید.

از محل ایستادن حسین، خطی موازی با خط دروازه رسم می‌کنیم (خط زرد در شکل زیر). فاصلهٔ همهٔ نقاط روی خط زرد از خط دروازه برابر ۵ متر است.(؟) از تیر دروازه خطی بر خط دروازه عمود کرده‌ایم؛ این عمود، خط زرد را در نقطهٔ $P$ قطع کرده است.

واضح است نقاطی از خط زرد که در سمت چپ نقطهٔ $P$ قرار دارند، جواب مسئله نیستند.(؟)

مسئله از ما چه می‌خواهد؟!

اگر ثابت کنیم که \(HK=HT\)، آن‌وقت چون \(SH+HK\) کوتاهترین فاصلهٔ بین \(S\) و \(K\) است، پس، \(SH+HT\) نیز کوتاهترین مسیر برای توپ در این مسئله است. (تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مثلث $STK$ قائم‌الزاویه است ($K\widehat{T}S=90^\circ$)، $KT=10$، و $ST=24$. (چرا؟)

در ادامه، برای پیدا کردن فاصلهٔ‌ حسین از سعید (طول $HS$)، ابتدا طول $KS$ را به‌دست می‌آوریم و سپس، ثابت می‌کنیم که طول $KS$ دوبرابر طول $HS$ است.

به‌سادگی می‌توان ثابت کرد: \[HK=HT.\quad(1)\] (چگونه؟)

اکنون با توجه به رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) داریم: \[HS=HK\] یعنی طول \(KS\) دوبرابر طول \(HS\) است.

حال، با به‌کارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $STK$ داریم:
\[KS=26\quad (1)\]
(چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}HT=HS&=\frac{KS}{2}\\[7pt]&=\frac{26}{2}\\[7pt]&=13.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ایرادهای فوتبالی مسئله!

عرض زمین فوتبال حداقل ۴۵ متر است.
فاصلهٔ حسین از خط دروازه ۵ متر است. پس باتوجه‌به ابعاد محوطهٔ دروازه‌بان (محوطهٔ ۶ قدم)،  جایگاه حسین در شکل، درست نیست.
طول دروازهٔ فوتبال ۷ متر و ۳۲ سانتی‌متر است.

برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ زمین فوتبال، اینجا را کلیک کنید.

قطرهای هر مستطیل آن را به چهار مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند. (چرا؟)

در نتیجه، مساحت قسمت تیره \(\frac{1}{4}\) مساحت کل است؛ یعنی مساحت قسمت تیره برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{4}\times16\times5=20.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. در مستطیل \(ABCD\) قطرهای \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. آیا چهار مثلث \(ABO\)، \(BCO\)، \(CDO\)، و \(ADO\) همنهشت‌اند؟

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\}\) جذاب است. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\) جذاب نیست. (چرا؟)

مجموعهٔ \(\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\) جذاب است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&|2x-3|=|7-3x|\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&2x-3=7-3x\Rightarrow5x=10\Rightarrow x=2\\&2x-3=-(7-3x)\Rightarrow2x-3=-7+3x\Rightarrow4=x.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

ابتدا \(B\) و \(C\) را نیز به‌صورت نماد علمی می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}B&=0.9\times10^{-9}=9\times10^{-10}\\C&=0.8\times10^5=8\times10^4.\end{aligned}\]
حال، به‌سادگی می‌توان چهار عدد داده شده را مقایسه کرد.
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

\[\frac{x}{1+\dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}}=\frac{2}{5}x.\]
(چرا؟)

با جایگذاری مقدار به‌جای $a$ و $b$ می‌توان گزینهٔ درست را یافت. چون $a+b=10$، قرار می‌دهیم $a=10$ و $b=0$؛ دراین‌صورت داریم:‌
\[\begin{aligned}&5a^2+a^2b+ab^2+5b^2\\&=5(10)^2+(10^2)(0)+(10)(0)^2+5(0)^2\\&=5\times 100\\&=500.\end{aligned}\]
پس گزینهٔ ۳ درست است.

پرسش. اگر هر عدد دیگری به‌جای $a$ و $b$ انتخاب کنیم به‌طوری‌که $a+b=10$، آیا بازهم حاصل $5a^2+a^2b+ab^2+5b^2$ برابر ۵۰۰ است؟
پاسخ. بله!
برای اینکه ثابت کنیم پاسخ پرسش بالا همواره «بله» است، لازم است که درستی تساوی زیر را (برای هر مقدار $a$ و $b$) پذیرفته باشیم.
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
چرا تساوی بالا همواره درست است؟