آزمون هندسه دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن در پرتاب این دو تاس برابر است با:\[4\times6=24.\]
تعداد حالت‌هایی که حداقل یکی از تاس‌ها عدد اول بیاید \(18\)تا است. (چرا؟)

توجه کنید که در این مسئله، مشخص نیست که قطر \(AC\) چهارضلعی را به دو مثلث همنهشت تقسیم کرده است یا قطر \(BD\).

\(\bullet\) $‌B\widehat{A}D=B\widehat{C}D$ همواره درست نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)

گزارهٔ دوم درست است. (چرا؟)

گزارهٔ سوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\\&=\Big(\big(\{1,2\}-\{2,3,4\}\big)\cup\big(\{2,3,4\}-\{4,5\}\big)\Big)-\big(\{1,2\}\cup\{4,5\}\big)\\&=\Big(\{1\}\cup\{2,3\}\Big)-\{1,2,4,5\}\\&=\{1,2,3\}-\{1,2,4,5\}\\&=\{3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزارهٔ اول نادرست است. برای مثال، عددِ \[0.333333\dots=0.\overline{3}=\frac{1}{3}\]
یک عدد اعشاری غیرمختوم است، ولی گنگ نیست.

گزارهٔ‌ دوم درست است. برای مثال، حاصل‌جمع دو عدد گنگ مثبت \(2-\sqrt{2}\) و \(2+\sqrt{2}\) گنگ نیست: \[(2-\sqrt{2})+(2+\sqrt{2})=4.\]

گزارهٔ سوم نادرست است. برای مثال، اگر \(a=2\) و \(b=8\)، آن‌وقت مساحت مستطیلی به ابعاد \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{b}\)، عددی اصم نیست: \[\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4.\]

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}2a^3 < 0&\Rightarrow a^3 < 0\\&\Rightarrow a < 0\\&\Rightarrow|a|=-a.\quad (*)\end{aligned}\]
بنابه رابطهٔ \((*)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}+\dots+\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}\big)+\big(\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[5]{a^5}\big)+\dots+\big(\sqrt[98]{a}+\sqrt[99]{a}\big)+\sqrt[100]{a^{100}}\\&=\big(|a|+a\big)+\big(|a|+a\big)+\dots+\big(|a|+a\big)+|a|\\&=\big((-a)+a\big)+\big((-a)+a\big)+\dots+\big((-a)+a\big)+(-a)\\&=-a.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

فرض کنیم شعاع این کره برابر $r$ باشد. چون حجم و مساحت کره برابر هستند، پس:
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\\&\Rightarrow \frac{1}{3}r=1\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]

کافی است خارج‌قسمت تقسیم $100$ بر $7$ را به‌دست آوریم:
\[100=7\times14+2.\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در زیر، مثالی از رنگ‌آمیزی اعداد یک تا صد با شرایط این مسئله، آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{blue}1},\dots,{\color{blue}6},{\color{red}7},\\&{\color{blue}8},\dots,{\color{blue}13},{\color{red}14},\\&{\color{blue}15},\dots,{\color{blue}20},{\color{red}21},\\&\quad\vdots\\&{\color{blue}92},\dots,{\color{blue}97},{\color{red}98},\\&{\color{blue}99},{\color{blue}100}.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&4x(y-2x)-2y(2x-4y)\\&=4xy-8x^2-4xy+8y^2\\&=-8x^2+8y^2\\&=8y^2-8x^2\\&=8(y^2-x^2).\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.