آزمون هندسه دهم

ابتدا باید همهٔ اعدادی مانند \(a\) را پیدا کنیم به‌طوری‌که \[a\in\{x\in\mathbb{N}\mid250\leq x\leq650\}\] و \(a\) مضرب \(11\) باشد. این اعداد عبارتند از:
\[253,264,275,\dots,649\] که تعداد آن‌ها برابر است با:\[\begin{aligned}\frac{649-253}{11}+1&=\frac{396}{11}+1\\&=36+1\\&=37.\end{aligned}\] حال، مقدار \(P\) را به‌دست می‌آوریم:
\[P=\frac{37}{650-250+1}={\color{red}\frac{37}{401}}.\]
اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگ‌تر است که مخرج کمتری دارد. بنابراین، \({\color{red}\frac{37}{401}} < \frac{37}{400}\). از طرفی، بنابه خاصیت آب‌نمکی در تمرین ۴ صفحهٔ ۳۵ (روش ملیحه) کتاب ریاضیات تکمیلی نهم دیدید، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{36}{400}<\frac{36+1}{400+1}<\frac{1}{1}\\[7pt]&\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{1}{1}.\end{aligned}\] پس داریم:
\[\begin{aligned}\frac{36}{400}<{\color{red}\frac{37}{401}}<\frac{37}{400}<\frac{38}{400}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(B\widehat{M}S=59^\circ\). (چرا؟)

\(C\widehat{N}S=59^\circ\). (چرا؟)

بنابه فرض مسئله، \(\widehat{C}=\widehat{S}\). برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\widehat{C}=\widehat{S}=x.\]
چون مجموع زاویه‌های داخلی هر پنج‌ضلعی برابر \(540\) درجه است. پس \(\alpha=62^\circ\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. آیا چهارضلعی \(AMSN\) لوزی است؟ چرا؟

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های صورتی باهم برابرند. از طرفی، چون یکی از زاویه‌های صورتی مکمل زاویهٔ \(100\) درجه است،‌ پس زاویه‌های صورتی \(80\) درجه‌اند.

$B\widehat{A}C=20^\circ$. (چرا؟)

بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، در شکل زیر، زاویه‌های سبز باهم برابرند و اندازهٔ هریک از آنها \(20\) درجه است(؟).

بنابراین، چون در هریک از مثلث‌های تیرهٔ شکل زیر، زاویه‌ٔ صورتی برابر \(80\) درجه و زاویهٔ سبز برابر \(20\) درجه است، پس زاویه‌های سیاهِ این مثلث‌ها \(80\) درجه هستند.

بنابراین مجموع زاویه‌های سیاهِ مشخص شده در شکلِ صورت مسئله، برابر است با:
\[\begin{aligned}&5\times 80^\circ+100^\circ\\&=400^\circ+100^\circ\\&=500^\circ.\end{aligned}\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ابتدا گستردهٔ مقسوم‌علیه را محاسبه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&(x-1)^2(x+1)\\&=(x^2-2x+1)(x+1)\\&=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1\\&=x^3-x^2-x+1.\end{aligned}\] حال، \(mx^4+nx+2\) را بر \(x^3-x^2-x+1\) تقسیم می‌کنیم:

برای اینکه باقی‌ماندهٔ تقسیم برابر صفر شود، باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}\left\{\begin{aligned}&2m=0\\&n=0\\&2-m=0\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون دستگاه معادلات بالا جواب ندارد، پس هیچ مقداری برای \(m\) و \(n\) وجود ندارد به‌طوری که چندجمله‌ای \(mx^4+nx+2\) بر \((x-1)^2(x+1)\) بخش‌پذیر باشد.

روی نمودار ون، مجموعهٔ \((A\cap B)-C\) را مشخص می‌کنیم.

پس عدد \(5\) در ناحیهٔ سبزرنگ بالا قرار دارد.

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cup C)\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cup C\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cap C)\) هست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cap C\) نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\(\bullet\) نقاط رنگ‌شده یک پاره‌خط به‌وجود نمی‌آورند؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، عددی گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که رنگ‌کرده‌ایم بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گنگ وجود دارد.
\(\bullet\) تعداد نقاطی که بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\) هستند و رنگ نشده‌اند، بی‌شمار است؛ چون می‌دانیم بین هر دو عدد گنگ، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد.
\(\bullet\) تمام نقاطی که اعدادی با بی‌شمار رقم اعشاری را نمایش می‌دهند، رنگ نشده‌اند؛ چون می‌دانیم بین \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{5}\)، بی‌شمار عدد گویا وجود دارد که نمایش اعشاری آنها مختوم نیست.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

اگر جریمهٔ خطای اول \(x\) تومان باشد، آن‌وقت جریمهٔ خطاهای دوم، سوم، و چهارم به‌ترتیب \(3x\)، \(9x\)، و \(27x\) خواهد بود. بنابراین، جریمهٔ کسی که چهار خطا انجام داده برابر است با:
\[x+3x+9x+27x=40x.\]
در نتیجه، داریم:
\[40x=40\,000\Rightarrow x=1000.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.