آزمون هندسه دهم - ریاضیات تکمیلی

7263

ری‌آزمون ریاضی شبیه‌ساز تیزهوشان و نمونه دولتی، تعیین مرکز، و جانمایی نهم به دهم

تعداد سؤالات: ۱۵تا
زمان آزمون: ۲۰ دقیقه

با کلیک روی «مشاهدهٔ نتیجه» نمرهٔ شما و پاسخ‌نامهٔ تشریحی نمایش داده می‌شود.

بارها و بارها این آزمون را تکرار کنید؛ پرسش‌ها عوض می‌شوند!

اگر سه‌بار پشت‌سرهم بتوانید نمرهٔ بالای ۹۰ درصد به‌دست آورید، آن‌وقت تسلط شما به مطالب ریاضی نهم در حد مطوب است.

اگر پاسخ تشریحی برایتان واضح نبود یا سؤالی برایتان پیش آمد، در پایین همین صفحه کامنت بگذارید.

در Takmili.com، نویسنده با ❤️ همراه شماست.

1 / 15

یک تاس چهاروجهی (شامل اعداد $1$، $2$، $3$، و $4$) و یک تاس شش‌وجهی (شامل اعداد $1$، $2$، $3$، $4$، $5$، و $6$) را باهم پرتاب می‌کنیم. احتمال اینکه حداقل یکی از تاس‌ها عدد اول نشان دهد، چقدر است؟

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

2 / 15

شعاع هر هفت دایرهٔ کوچک در شکل زیر، برابر $1$ است. دایرهٔ بزرگ، از نقطه‌های مماس شدن دایره‌های کوچک می‌گذرد. شعاع دایرهٔ بزرگ چقدر است؟
سوال آزمون تیزهوشان

$2$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{3}$

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است.

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

پاسخ را نشان بده!

بنابراین در شکل زیر، نقطه‌های $D$، $E$، و $F$ به‌ترتیب روی پاره‌خط‌های $AB$، $BC$، و $CA$ قرار دارند.

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر $1$ است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع $2$ است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

3 / 15

شکل زیر شامل یک هشت‌ضلعی منتظم و یک پنج‌ضلعی منتظم و یک مربع است. در این‌صورت مقدار $\alpha-\beta-\gamma$ چقدر است؟

$-108$

$108$

$135$

$-125$

4 / 15

می‌دانیم $m$ و $n$ دو عدد هستند. چند مقدار برای $m$ وجود دارد به‌طوری که چندجمله‌ای $mx^4+nx+2$ بر $(x-1)^2(x+1)$ بخش‌پذیر باشد؟

یکی

دوتا

سه‌تا

هیچی

5 / 15

در شکل زیر، هر عدد نشان‌دهندهٔ یک ناحیه است. کدام ناحیه متناسب با عبارت زیر رنگی می‌شود؟
\[\Big((A-B)\cup(B-C)\Big)-(A\cup C)\]

ناحیهٔ 3

ناحیه‌های 1، 2، و 4

ناحیه‌های 2 و 3

ناحیهٔ 4

6 / 15

اگر روی محور اعداد، تمام نقاطی که عدد گنگی بین $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ را نمایش می‌دهند به‌اضافهٔ نقاطی که خود $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ را نمایش می‌دهند، رنگ کنیم، چندتا از جمله‌های زیر درست‌اند؟
$\bullet$ نقاط رنگ‌شده یک پاره‌خط به‌وجود می‌آورند.
$\bullet$ تعداد نقاطی که رنگ‌کرده‌ایم بی‌شمار است.
$\bullet$ تعداد نقاطی که بین $\sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ هستند و رنگ نشده‌اند، بی‌شمار است.
$\bullet$ تمام نقاطی که اعدادی با بی‌شمار رقم اعشاری را نمایش می‌دهند، رنگ شده‌اند.

7 / 15

مجموعهٔ $A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ را یک «مجموعهٔ جذاب» می‌نامیم در صورتی‌که سه شرط زیر را دارا باشد:
شرط اول: $A\subseteq\mathbb{N}$
شرط دوم: اعضای مجموعهٔ $A$، از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
شرط سوم: به‌ازای هر دو عضو متوالی آن مانند $a_i$ و $a_{i+1}$ داشته باشیم: $\big(a_i,a_{i+1}\big)=1$.
چندتا از مجموعه‌های زیر جذاب هستند؟
\[\begin{aligned}&\bullet\;\big\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\end{aligned}\]

صفر

8 / 15

برای پنج عدد متفاوت $a$، $b$، $c$، $d$، و $e$ می‌دانیم رابطهٔ زیر برقرار است:
\[\begin{aligned}&6|a-b|\\&=6|b-c|\\&=3|c-d|\\&=2|d-e|.\end{aligned}\]
کدام نتیجه‌گیری نادرست است؟

$|c-d|=2|a-b|$

$|b-d|=3|a-b|$

$|c-e|=4|a-b|$

$|b-e|=6|a-b|$

9 / 15

کدام تساوی نادرست است؟

$\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{50}$

$\sqrt{147}+\sqrt{363}=\sqrt{972}$

$\sqrt{200}+\sqrt{2}=\sqrt{242}$

$\sqrt{18}+\sqrt{12}=\sqrt{150}$

10 / 15

چندتا از عبارت‌های زیر درست است؟
\[\begin{aligned}&\bullet\;\frac{\big(-\frac{3}{5}\big)^{-2}\times\frac{18}{25}}{(0.1)^3\times\big(-2^{-3}\big)}\in\mathbb{Z}\\[12pt]&\bullet\;\frac{-4^{-2}\times\frac{7}{3}}{16^{-1}\div\big(\frac{-3}{8}\big)}\in\mathbb{Q}\\[12pt]&\bullet\;\frac{-\sqrt{4.5}\times\big(\frac{1}{5}\big)^{-2}}{-3^3\times\sqrt{2}}\in\mathbb{Q'}\end{aligned}\]

11 / 15

باتوجه به شکل، مساحت مثلث $MAB$ کدام است؟

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

12 / 15

یک گوی کروی به شعاع $3$، در مرکزش حفره‌ای کروی به شعاع $2$ دارد. حجم این جسم چقدر است؟

$\dfrac{67}{3}\pi$

$\dfrac{76}{3}\pi$

$\dfrac{77}{3}\pi$

$\dfrac{68}{3}\pi$

13 / 15

عبارت داده شده با کدام گزینه برابر است؟
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]

$\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}$

توجه کنید که در عبارتِ
\[\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots \frac{1}{99\times 100}\]
علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$ مشخص نشده است؛ ابتدا باید علامت این کسر را معلوم کنیم.
در عبارت داده شده علامت کسر $\dfrac{1}{99\times 100}$، منفی است. (چرا؟)

پاسخ را نشان بده!

حال با استفاده از ایدهٔ مهندسی معکوس (که در تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ توضیح داده شده است)، داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2},\\-&\frac{1}{3\times 4}=-\big(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\big)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4},\\&\frac{1}{5\times 6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\&\quad\vdots\\-&\frac{1}{99\times 100}=-\big(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\big)=-\frac{1}{99}+\frac{1}{100}.\end{aligned}\]
پس
\[\begin{aligned}&\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{7\times 8}+\cdots-\frac{1}{99\times 100}\\[7pt]&= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\cdots-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{100}.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

14 / 15

چندتا از چند جمله‌ای های زیر دارای درجه یکسان نسبت به تمام متغیرهایشان هستند؟
الف) $3y^2x-2xy$
ب) $\sqrt[3]{7}+\pi^3$
ج) $4a^2+2a+1$
د) $(a^2-5)(b-3)$

یکی

دو تا

سه‌تا

چهارتا

15 / 15

اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن چندتا نمی‌تواند باشد؟

دوتا

سه‌تا

چهارتا

پنج‌تا

توجه کنید که بنابه گفتهٔ مسئله $a$ و $b$ اعدادی صحیح هستند؛ یعنی فقط $x$ را باید متغیر در نظر گرفت.
\[\begin{aligned}&(x^2+ax+1)(x+b)\\&=x^2(x+b)+ax(x+b)+1(x+b)\\&=x^3+bx^2+ax^2+abx+x+b\\&=x^3+(b+a)x^2+(ab+1)x+b.\end{aligned}\]
پس، اگر به‌جای $a$ و $b$ هر عدد صحیحی قرار دهیم، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند بیشتر از چهارتا باشد.

بنابراین، تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب نمی‌تواند پنج‌تا باشد.

برای اینکه بدانیم سؤال درست است یا نه، باید نشان دهیم که تعداد جمله‌های حاصل‌ضرب می‌تواند دوتا، سه‌تا یا چهارتا باشد؛ برای اثبات این ادعا کافی است برای هریک از مواردی که گفتیم حداقل یک مثال بیاوریم.
مثال برای چهار جمله؟

پاسخ را نشان بده!

مثال برای سه جمله؟

پاسخ را نشان بده!

مثال برای دو جمله؟

پاسخ را نشان بده!

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

پرسش. چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، چهار جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، سه جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.
چند عدد صحیح مانند $a$ و $b$ وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت $(x^2+ax+1)(x+b)$، دو جمله داشته باشد؟ در صورت وجود، حداقل دو مثال برای $a$ و $b$ بیاورید.

امتیاز شما