آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

این مسئله، به‌همراه چهار راه‌حل متفاوت، در صفحه‌های ۵۷ و ۵۸ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم آمده است.

گزینهٔ ۴ درست است.

می‌دانیم \(AB\parallel DG\) و ضلع ‌\(BC\) این دو خط موازی را قطع کرده است. پس بنابه قضیهٔ خطوط موازی و مورب، داریم: \[\widehat{B}=D\widehat{G}C=60^\circ.\quad(1)\]

پس می‌توان ثابت کرد:
\[DG=CE.\quad(2)\] (چگونه؟)

پاره‌خط \(DG\) را از طرف \(D\) امتداد می‌دهیم تا ضلع \(AC\) را در نقطهٔ \(M\) قطع کند. در این‌صورت:
\[DF=AM.\quad(3)\]
(چرا؟)

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

روی نمودار ون، مجموعهٔ \((A\cap B)-C\) را مشخص می‌کنیم.

پس عدد \(5\) در ناحیهٔ سبزرنگ بالا قرار دارد.

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cup C)\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cup C\) نیست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \(A-(B\cap C)\) هست. (چرا؟)

عدد \(5\) عضو مجموعهٔ \((A-B)\cap C\) نیست. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

پاسخ تشریحی

اعضای مجموعهٔ \(A\) عبارتند از:
\[{\color{blue}\varnothing}, {\color{red}\{\varnothing\}}, {\color{green}\big\{\varnothing,\{\varnothing\}\big\}}.\]بنابراین:

\(\bullet\) گزینهٔ ۱ نادرست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۲ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۳ درست است.
چرا؟

\(\bullet\) گزینهٔ ۴ درست است.
چرا؟

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۱ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی نهم

اگر با چنین مسائلی مشکل دارید، حتماً درسنامهٔ مجموعه‌ها را بخوانید:

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

گزینه‌های ۱ و ۲ نادرست هستند. زیرا: \[\sqrt{(-a)^2}=|-a|.\]
از طرفی، چون
\[\sqrt[3]{(-a)^3}=-a\]
پس گزینهٔ ۴ نیز نادرست است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\((-3)^{-4}\) مثبت است. (چرا؟)

\((-4)^{-3}\) منفی است. (چرا؟)

\(-3^{-4}\) منفی است. (چرا؟)

\(4^{-3}\) مثبت است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

همهٔ مقادیر ممکن برای \(y\)، اعداد \(0\)، \(1\)، \(2\)، ...، و \(16\) هستند. پس معادلهٔ داده شده \(17\)تا جواب صحیح نامنفی دارد.

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ کتاب ۷۱ ریاضیات تکمیلی هشتم

\[\begin{aligned}&(x-3)(x^2-3x+9)\\&=x(x^2-3x+9)-3(x^2-3x+9)\\&=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\\&=x^3-6x^2+18x-27.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.