آزمون هندسه دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

ابتدا رئوس شکل را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

چهارضلعی $DEFB$ را در نظر بگیرید. بنابه قضیهٔ دندان کوسه، داریم:
\[D\widehat{B}F=\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\quad (1)\]
از طرفی، دو زاویهٔ $DBF$ و $ABC$ متقابل‌به‌رأس هستند؛ پس
\[A\widehat{B}C=D\widehat{B}F\quad (2)\]
از رابطه‌های (۱) و (۲) و اینکه مجموع زاویه‌های مثلث $ABC$ برابر ۱۸۰ درجه است، داریم:
\[\begin{aligned}&A\widehat{B}C+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow D\widehat{B}F+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\\&\Rightarrow \big(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}\big)+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

می‌دانیم هریک از زاویه‌های یک \(n\)ضلعی منتظم از رابطهٔ \(\frac{(n-2)\times180^\circ}{n}\) به‌دست می‌آید. (نوشتهٔ «دربارهٔ زاویه‌های یک \(n\)ضلعی محدب» را بخوانید.) بنابراین اندازهٔ هریک از زاویه‌های شش‌ضلعی منتظم برابر است با:
\[\frac{(6-2)\times180^\circ}{6}=4\times30^\circ=120^\circ.\]
در نتیجه، \(2y=120^\circ\). از طرفی، \(x=30^\circ\). (چرا؟)

واضح است که
\[(B-C)\subseteq A.\]
(چرا؟)

این مسئله با توجه به تعریف زنجیر که در صفحهٔ ۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم ارائه شده، طرح شده است.

با توجه به تعریف اعداد گویا: \[\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\}\]
هر چهار عدد داده شده گویا هستند. (چرا؟)

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

با توجه به تمرین ۹ صفحهٔ ۱۰۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، اگر \(a\) و \(b\) را محورهای مختصات در نظر بگیریم، آن‌وقت همهٔ نقطه‌های روی پاره‌خط‌های صورتی شکل زیر می‌توانند نشان‌دهندهٔ \((a,b)\) باشند. پس گزینهٔ ۴ درست است.

برای مثال، چند جفت عدد که می‌توان به‌جای \(a\) و \(b\) قرار داد، به‌صورت زیر هستند.
\[\begin{aligned}a=\sqrt{3},\;&b=\sqrt{5}\\a=0,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}\\a=0,\;&b=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\a=1,\;&b=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\sqrt{x^2}+\sqrt{(x+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1+1)^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{\sqrt{3}^2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\&=-1.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر $a^b$ را به‌صورت $a^\wedge b$ نشان دهیم، این مسئله راحت‌تر حل می‌شود.
\[\begin{aligned}&((2^\wedge3)^\wedge4)^\wedge5=\Big(\big(2^3\big)^4\Big)^5=2^{3\times4\times5}\\&(2^\wedge(3^\wedge4))^\wedge5=\Big(2^{\big(3^4\big)}\Big)^5=2^{{3^4}\times5}\\&2^\wedge(3^\wedge(4^\wedge5))=2^{\bigg(3^{(4^5)}\bigg)}=2^{3^{4^5}}\\&2^\wedge((3^\wedge4)^\wedge5)=2^{\bigg(\big(3^4\big)^5\bigg)}=2^{3^{20}}\\&(2^\wedge3)^\wedge(4^\wedge5)=\big(2^3\big)^{\big(4^5\big)}=2^{3\times4^5}\end{aligned}\]

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

مسئله‌های مشابه

تمرین ۹ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۰ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]