آزمون هندسه دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن برای عدد سه‌رقمی حاصل، \(27\)تا است. (چرا؟)

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

کافی است در هر مورد بررسی کنیم که \(-3\) (ریشهٔ \(x+3\))، ریشهٔ چندجمله‌ای داده شده هست یا نه. (تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید.)

باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^3+2x^2-3x\) بر \(x+3\) برابر \(0\) است. (چرا؟)

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

چون \[\frac{2039}{1650}=1.2357575757...=1.23\overline{57}\] پس رقم‌های بعد از ممیز، از رقم سوم به بعد، یکی‌در‌میان \(5\) و \(7\) هستند. پس \(26\)اُمین رقم بعد از ممیز \(7\) است.
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&2\sqrt[3]{A}=\frac{2}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt[3]{A}=\frac{1}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\big(\sqrt[3]{A}\big)^3=\big(\frac{1}{3}\big)^3\\[7pt]&\Rightarrow A=\frac{1}{3^3}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\frac{1}{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}\\[7pt]&\Rightarrow\sqrt{A}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow3\sqrt{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
در بقیهٔ گزینه‌ها طول و عرض نقطه‌های داده شده عضو مجموعه اعداد گویا یا مجموعه اعداد گنگ هستند که نمی‌توانیم آن‌ها را در صفحه مختصات نمایش دهیم.

حجم حاصل از دوران مستطیل $ABCD$ حول خط $y=5$، برابر است با:
\[\begin{aligned}&\pi\times4^2\times2\\&=\pi\times16\times2\\&=32\pi.\end{aligned}\]
حجم حاصل از دوران مثلث $ACD$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{3}\pi\times4^2\times2\\[7pt]&=\frac{1}{3}\pi\times16\times2\\[7pt]&=\frac{32}{3}\pi.\end{aligned}\]
بنابراین، حجم حاصل از دوران مثلث $ABC$ حول خط $y=5$ برابر است با:
\[\begin{aligned}32\pi-\frac{32}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi.\end{aligned}\]

می‌دانیم که مجموع عدد سه‌رقمی \(\overline{abc}\) و \(9\) برابر مقلوب آن، زوج است؛ یعنی حاصل عبارت
\[\begin{aligned}&\overline{abc}+9\overline{cba}\\&=(100a+10b+c)+9(100c+10b+a)\\&=100a+10b+c+900c+90b+9a\end{aligned}\]
زوج است. پس \(c+9a\) باید زوج باشد. واضح است که \(c+9a\) وقتی زوج است که \(a\) و \(c\) یا هر دو زوج باشند، یا هر دو فرد.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=b^2-ab+bc-ac\\&=b(b-a)+c(b-a)\\&=(b-a)(b+c).\end{aligned}\]
گزینهٔ ۱ صحیح است.
از رابطهٔ $a-b=7$ نتیجه می‌گیریم $b-a=-7$ و
\[\begin{aligned}&(b-a)+(c+a)\\&=-7+(-2)\\b+c&=-9.\end{aligned}\]
پس عبارت داده شده برابر است با
\[\begin{aligned}&bc-ab+b^2-ac\\&=(b-a)(b+c)\\&=(-7)\times (-9)\\&=63.\end{aligned}\]