آزمون هندسه دهم

تعداد اعداد دو رقمی $90$ تا است. اگر حداقل یکی از رقم‌های یک عدد دو رقمی زوج باشد، آن‌وقت حاصل‌ضرب ارقام آن عدد، زوج است. $65$تا عدد دو رقمی وجود دارد که حداقل یکی از ارقام‌ آن زوج است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

هریک از زاویه‌های داخلی پنج‌ضلعی منتظم برابر \(108^\circ\) است. (چرا؟)

چون در لوزی زاویه‌های مجاور مکمل‌اند(؟)، پس:
\[\beta=180^\circ-144^\circ=36^\circ.\]
از طرفی، چون در لوزی، زاویه‌های روبه‌رو برابرند(؟)، پس با توجه به شکل زیر، داریم:
\[\alpha=360^\circ-60^\circ-144^\circ-60^\circ=96^\circ.\]

در نتیجه، نسبت \(\alpha\) به \(\beta\) برابر است با:
\[\frac{96}{36}=\frac{8}{3}.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

از تعریف همنهشتی و تعریف تشابه نتیجه می‌شود که دو شکل همنهشت، دو شکل متشابه با نسبت تشابه \(1\) هستند. پس گزارهٔ اول درست است.

شکل‌های زیر، دو مثلث قائم‌الزاویهٔ متشابه با نسبت تشابه \(2\) هستند.

این دو مثلث یک ضلع برابر دارند ولی واضح است که همنهشت نیستند. پس گزارهٔ دوم نادرست است.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

واضح است که در گزینه‌های ۱، ۲، و ۳، قسمت خاکستری برابر \((C\cap B)-A\) هست.
در گزینهٔ ۴، \(C\cap B\) رنگ نشده است.

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی، \(5\)عضوی، و \(6\)عضوی \(A\) حداقل در دو عضو مشترک هستند. تعداد این زیرمجموعه‌ها \(22\)تا است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

\[\begin{aligned}\big|7\sqrt{3}-12\big|&=\big|\sqrt{49\times 3}-\sqrt{12\times 12}\big|\\&=\big|\underbrace{\sqrt{147}-\sqrt{144}}_{>0}\big|\\&=\sqrt{147}-\sqrt{144}\\&=7\sqrt{3}-12.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

برای اینکه صورت مسئله واضح‌تر شود، فرض کنید به‌جای عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$ داده شده باشد.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، نُه‌تا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز نیست. زیرا:
\[\begin{aligned}&\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}+\sqrt{10}\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{10}\\&=6+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش حاصل عددی عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، شش‌تا است.

در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$،  هفتادوچهارتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامت جمع مورد نیاز نیست. زیرا می‌توان دسته‌های زیر را در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$، در نظر گرفت. (در همهٔ موارد زیر، $n$ عددی طبیعی است)

دستهٔ اول. هشت‌ عدد به‌صورت $n\sqrt{1}$ داریم، یا به‌عبارتِ‌دیگر، هشت عدد صحیح داریم. (چرا؟)

بنابه دسته‌بندی بالا و پاسخِ پرسش‌های ۱ و ۲، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش عددیِ عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، چهل‌و شش علامت جمع است؛ به‌عبارتِ‌دیگر، اگر $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کنیم، چهل‌وشش علامت جمع داریم.

بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.

\(0.25=2^{-2}\) (چرا؟)

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

در روز پنج‌شنبه، لیلا و شادی به‌ترتیب \(19\) و \(11\) کیسهٔ زباله جمع‌آوری کرده‌اند. (چرا؟)