آزمون هندسه دهم

تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با: \[9\times8\times7\times6.\]

اگر یکان و هزارگان هریک از \(5\) جفت‌ زیر باشند، اختلاف آنها برابر \(4\) است:
\[\begin{aligned}&1,5\\&2,6\\&3,7\\&4,8\\&5,9.\end{aligned}\]
بنابراین، تعداد حالت‌هایی که اختلاف یکان و هزارگان عدد چهاررقمی، \(4\) باشد، برابر است با:
\[7\times6\times2\times5.\]
(چرا؟)

ابتدا شکل داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.
چهارضلعی $EFGH$ مربع است. (چرا؟)

برای سادگی قرار می‌دهیم:
\[\begin{aligned}A\widehat{E}F&=w\quad (2)\\D\widehat{E}H&=z.\quad (3)\end{aligned}\]
دراین‌صورت داریم:
\[w+z=90^\circ\quad (4)\]
(چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}E\widehat{F}A&=z\quad(5)\\E\widehat{H}D&=w.\quad (6)\end{aligned}\]
(چرا؟)

پس دو مثلث $AEF$ و $DHE$ در حالت زض‌ز هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)

بنابراین:
\[y=\sqrt{41}\quad (*)\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۱ درست است.

\[\begin{aligned}&\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{a^2-b^2}{ab-a^2}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(b-a)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}-\dfrac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)(-1)}\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)}{a},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{(a+b)b}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\dfrac{a^2-b^2}{ab}+\dfrac{ab+b^2}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a^2+ab}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a(a+b)}{ab},\quad(a\ne b)\\[7pt]&=\frac{a+b}{b}.\quad(a\ne b,\,a\ne0)\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

می‌دانیم که \(A\) مجموعه‌ای ناتهی است. پس \(n(A\cup B)\ne0\). همچنین، می‌دانیم:
\[n(A\cup B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A\cap B).\] پس هر سه مقدار \(n(A-B)\)، \(n(B-A)\)، و \(n(A\cap B)\) نمی‌توانند برابر \(0\) باشند.

حال، با توجه به رابطهٔ \[\begin{aligned}&3 \times n(A-B)\\& = 2 \times n(B-A)\\& = 5 \times n(A \cap B)\end{aligned}\] و اینکه می‌خواهیم حداقل مقدار \(n(B)\) را بیابیم، باید کوچک‌ترین عدد طبیعی را پیدا کنیم که هم بر \(2\)، هم بر \(3\)، و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. واضح است که این عدد ک‌م‌م سه عدد \(2\)، \(3\)، و \(5\) است؛ یعنی \(30\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&n(A-B)=10\\&n(B-A)=15\\&n(A\cap B)=6.\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}n(B)&=n(B-A)+n(A\cap B)\\&=15+6\\&=21.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۱ درست است.
چرا؟

گزینهٔ ۲ ناردست است.
چرا؟

گزینهٔ ۳ نادرست است.
چرا؟

گزینهٔ ۴ نادرست است.
چرا؟

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

در همهٔ عبارت‌های بالا حاصل‌جمع مقدارهای زیر رادیکال، برابر \(41\) است:
\[\begin{aligned}24+17&=41\\18+23&=41\\19+22&=41\\20+21&=41.\end{aligned}\]
گزاره. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی باشند و \(a+b=c+d\). اگر \(ab>cd\)، آن‌وقت \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}\). (چرا؟)

پرسش. عدد طبیعی \(n\) را در نظر بگیرید. فرض کنید برای اعداد طبیعی \(a\) و \(b\) داشته باشیم \(a+b=n\). بیشترین مقدار ممکن برای \(ab\) (برحسب \(n\)) چیست؟ چرا؟ (راهنمایی: تمرین ۷ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۱۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

برای به‌دست آوردن بیشترین مقدار $x^y$ همهٔ حالت‌های ممکن برای $x^y$ را می‌نویسیم:
\[\begin{aligned}3^4=81,\;&3^5=243\\4^3=64,\;&4^5=1024\\5^3=125,\;&5^4=625.\end{aligned}\]

بیشترین مقدار $-x^y-\frac{1}{z}$ برابر است با:
\[\begin{aligned}-4^3-\frac{1}{5}&=-64-0.2\\&=-64.2\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

معادله را مرحله به مرحله می‌سازیم:

اگر سه برابر عددی
\[3y\]
 را از نصف آن عدد کم کنیم،
\[\dfrac{1}{2}y-3y\]
حاصل از \(100\) به اندازهٔ $x$ واحد کمتر است.
\[\dfrac{1}{2}y-3y=100-x\]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

تساوی اول، تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان نمی‌دهد. زیرا \(x(x+1)+1\) به‌صورت حاصل‌ضرب دو عبارت جبری نیست.
تساوی دوم،‌ تجزیهٔ یک عبارت جبری را نشان می‌دهد. زیرا \(2y^2+5y\) به‌صورت حاصل‌ضرب \(2y\) در \(y+\frac{5}{2}\) نوشته شده است.
بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۲ صحیح است.
طبق تعریف کسری که صورت و مخرج آن یک چندجمله‌ای باشد، گویا است. بین عبارت‌های داده شده فقط صورت و مخرج، $\dfrac{5\sqrt{7}}{a}$ و $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2a-3b}$ چندجمله‌ای هستند.