آزمون هندسه دهم

پاسخ تشریحی

در پرتاب دوتاس، تعداد همهٔ حالت‌های ممکن که مجموع اعداد رو شده برابر \(7\) باشد، برابر است با \(6\).
چرا؟

و پیشامد اینکه یکی از دو تاس \(3\) آمده باشد، \(2\) عضو دارد.
چرا؟

پس، احتمال خواسته شده برابر است با:
\[\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\] بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

ابتدا نقاطی از شکل را به‌صورت زیر، نام‌گذاری می‌کنیم.

سپس، پاره‌خط \(AD\) را (از طرف \(A\)) به‌اندازهٔ خودش امتداد می‌دهیم تا نقطهٔ \(P\) به‌دست آید.

گزاره. برای هر نقطهٔ \(N\) روی پاره‌خط \(AB\) داریم:
\[DN=PN.\quad(1)\]
(چرا؟)

در این مسئله می‌خواهیم نقطه‌ای، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) بیابیم به‌طوری‌که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود. برای این‌ کار، از \(C\) به \(P\) پاره‌خطی رسم کنیم و محل برخورد آن با \(AB\) را \(N\) می‌نامیم. در این حالت، \(CN+DN\) کوتاهترین کابل است. (چرا؟)

در نتیجه، با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، طول کوتاهترین کابل ممکن برابر \(\sqrt{181}\) است. (چرا؟)

پرسش. در راه‌حل بالا، چند نقطه، مانند \(N\)، روی پاره‌خط \(AB\) وجود دارد که \(CN+DN\) کمترین مقدار ممکن شود؟

مسئله‌های مشابه

۱. تمرین ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

۲. مطابق شکل زیر، سعید می‌خواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصله‌ای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)

چون \(b=c\)، پس بنابه عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب، \(L_3\) و \(L_4\) موازی‌اند.

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(X-A=X-B\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(1.2\overline{3}=\dfrac{37}{30}\). (چرا؟)

\[\Big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\Big\}\neq \Big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\Big\}.\]
(چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

$0.\overline{1}=\frac{1}{9}$. (چرا؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}0.\overline{1}\div0.11111&=\frac{1}{9}\div\frac{11111}{100000}\\[6pt]&=\frac{1}{9}\times\frac{100000}{11111}\\[6pt]&=\frac{100000}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999+1}{99999}\\[6pt]&=\frac{99999}{99999}+\frac{1}{99999}\\[6pt]&=1+0.\overline{00001}\\&=1.\overline{00001}.\end{aligned}\]
در نتیجه، گزینهٔ ۴ درست است.

ارتفاع استوانه را با \(h\) نمایش می‌دهیم.
\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi a^3=\pi\big(\frac{3}{2}\big)^2\times h\\[8pt]&\frac{12}{3}=\frac{h}{4}\Rightarrow h=16.\end{aligned}\]

عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1023}$ را به \(10\) دسته تقسیم می‌کنیم:
\[\begin{aligned}A_0&=\frac{1}{1}\\[7pt]A_1&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\[7pt]A_2&=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\\[7pt]A_3&=\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{15}\\[7pt]A_4&=\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\cdots+\frac{1}{31}\\[7pt]A_5&=\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+\cdots+\frac{1}{63}\\[7pt]A_6&=\frac{1}{64}+\frac{1}{65}+\cdots+\frac{1}{127}\\[7pt]A_7&=\frac{1}{128}+\frac{1}{129}+\cdots+\frac{1}{255}\\[7pt]A_8&=\frac{1}{256}+\frac{1}{257}+\cdots+\frac{1}{511}\\[7pt]A_9&=\frac{1}{512}+\frac{1}{513}+\cdots+\frac{1}{1023}\\\end{aligned}\]
باتوجه‌به دسته‌بندی بالا، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}>5\]
(چگونه؟)

همچنین، می‌توان ثابت کرد:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{1023}+\frac{1}{1024}<10\]
(چگونه؟ )

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

بد نیست مقدار تقریبی عبارت $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}$ را ببینیم. این مقدار، با چند خط برنامه‌نویسی ساده به‌دست می‌آید:
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{1024}\simeq 7.509175672\]

برای معلمان. ایدهٔ طرح این سؤال از ایدهٔ اثبات واگرا بودن سری زیر گرفته شده است:
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\]

برای آشنایی بیشتر با سری بالا اینجا را کلیک کنید.

گزینهٔ ۳ صحیح است.
\[\begin{aligned}&\sqrt{a^2(a^2-b^2)+b^2(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(-a^2+b^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)(b^2-a^2)}\\&=\sqrt{(b^2-a^2)^2}\\&=|b^2-a^2|.\end{aligned}\]
چون$b< a<0$ پس $b^2> a^2>0$ و در نتیجه $b^2-a^2> 0$ و \[\begin{aligned}&|b^2-a^2|=b^2-a^2.\end{aligned}\]

گزینهٔ ۲ صحیح است.
الف) اتحاد است.
ب) تساوی وجود ندارد که اتحاد باشد!
ج) چون عبارت سمت راست تساوی به‌ازای $x=0$ تعریف نشده است، اتحاد نیست.
د) اتحاد است.
ه) اتحاد نیست. زیرا به ازای $x=6$ سمت راست تساوی صفر است ولی سمت چپ تساوی برابر $-72$ است.
بنابراین فقط دو تا از عبارت‌های داده شده اتحاد است.