آزمون هندسه دهم

در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر \(\frac{3}{36}\) است. (چرا؟)

پاسخ تشریحی

\(\bullet\) عبارت «هر مثلثی که قائم‌الزاویه باشد، متساوی‌الاضلاع نیست» همواره درست است و نمی‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

\(\bullet\) عبارت «چهارضلعی‌ای که قطر‌هایش باهم برابر و برهم عمود باشند، مربع است» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقض آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها با هم برابر و برهم عمودند، ولی این چهارضلعی، مربع نیست.

\(\bullet\) عبارت «هر چهارضلعی که دو قطرش برابر باشند، مستطیل یا ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین است.» نادرست است و می‌توان برای آن مثال نقضی آورد.
چرا؟

در چهارضلعی زیر، قطرها باهم برابرند، ولی این چهارضلعی نه مستطیل است و نه ذوزنقهٔ متساوی‌الساقین.

بنابراین، گزینهٔ ۳ درست است.

نقاط تقاطع شکل را به‌‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

به‌سادگی اندازهٔ زاویه‌های \(NMP\) و \(RPQ\) به‌دست می‌آید(؟)
\(\bullet\) \(a\nparallel b\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(b\nparallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(a\parallel c\). (چرا؟)

\(\bullet\) \(f\parallel e\). (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

می‌دانیم قطر مکعبی به یال \(x\) برابر با \(\sqrt{3}x\) است. (چرا؟)

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

\[\begin{aligned}&\big||x|-\sqrt{3}\big|=\sqrt{2}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|-\sqrt{3}=\sqrt{2}\\&|x|-\sqrt{3}=-\sqrt{2}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس:
\[\begin{aligned}&|x|=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=-\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}&|x|=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x=-\sqrt{2}+\sqrt{3}\\&x=-\big(-\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)=\sqrt{2}-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

اگر \(a>0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{(a+1)^2}\times(-2^3)}{\sqrt[3]{8(a+1)^{-1}}\times\sqrt{a+1}}=-2\sqrt{a+1}.\end{aligned}\]
(چرا؟)

\((-3)^{-4}\) مثبت است. (چرا؟)

\((-4)^{-3}\) منفی است. (چرا؟)

\(-3^{-4}\) منفی است. (چرا؟)

\(4^{-3}\) مثبت است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

\[\begin{aligned}&\frac{4}{3}\pi(3)^3-\frac{4}{3}\pi(2)^3\\&=\frac{4}{3}\pi(27)-\frac{4}{3}\pi(8)\\&=\frac{4}{3}\pi(27-8)\\&=\frac{4}{3}\pi(19)\\&=\frac{76}{3}\pi.\end{aligned}\]

عدد خانهٔ وسط جدول را $y$ در نظر می‌گیریم.
چون مجموع اعداد هر قطر با مجموع اعداد هر سطر برابر است، پس داریم:
\[\begin{aligned}&x+y+7=2+y+5\\&\Rightarrow x+y+7=y+7\\&\Rightarrow x=0.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. جدول زیر، با قانون گفته شده در بالا، پر شده است. آیا این جدول را فقط به‌‌صورت زیر می‌توان پر کرد؟

مسئله‌های مشابه

۱. در تمرین ۱۴ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، به‌طور مفصل به مربع‌های جادویی پرداخته شده است.

۲. جدول زیر را با اعداد داده شده طوری پر کنید که یک مربع جادویی تشکیل شود.
\[0,\;\frac{1}{100},\;\frac{1}{50},\;\frac{1}{25},\;\frac{1}{20},\;\frac{3}{100},\;-\frac{1}{100},\;-\frac{1}{50},\;-\frac{3}{100}.\]

(تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم) 

پاسخ تشریحی

۳. مربع زیر را با اعداد اول دو رقمی طوری پر کنید که یک مربع جادویی حاصل شود.

(تمرین ۳ صفحهٔ ۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)

پاسخ تشریحی

۴. اگر $a$، $b$ و $c$ سه عدد باشند، آنگاه خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنید که یک مربع جادویی داشته باشید.

(تمرین ۹ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)

پاسخ تشریحی

۵. در یک مربع جادویی \(4\times4\) که با اعداد \(1\) تا \(16\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.) (سؤال ۴۲ آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد - فروردین ۹۷) 
۱) \(20\)
۲) \(34\)
۳) \(40\)
۴) \(46\)

پاسخ تشریحی

۶. در یک مربع جادویی $3\times 3$ که با اعداد \(1\) تا \(9\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.) (سؤال ۶۴ آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد - بهمن ۹۶) 
۱) \(20\)
۲) \(25\)
۳) \(30\)
۴) نمی‌توان مشخص کرد.

پاسخ تشریحی