آزمون هندسه دهم

در جدول زیر، همهٔ حالت‌هایی که چهار نامه در چهار پاکت اشتباه گذاشته شوند، نمایش داده شده است.

پرسش. آیا می‌توانید حدس بزنید که به چند حالت می‌توان $n$ نامه را در $n$ پاکت اشتباه قرار داد؟

در شکل زیر، شعاع دایره و اضلاع شش‌ضلعی کوچک برابر \(1\) است(؟)؛ ضلع شش‌ضلعی بزرگ برابر \(y\)، \(OA=y\)، و \(AM=\frac{y}{2}\) (؟).

چون مثلث \(AOM\) قائم‌الزاویه است(؟)، پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس \(y=\frac{2}{\sqrt{3}}\). (چرا؟)

گزارهٔ اول درست است.
گزارهٔ دوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

چون تعداد افرادی که تنها به یک ورزش علاقه دارند، \(21\) نفر است، پس \(m=4\). (چرا؟)

پس \(25\) نفر تنها به \(2\) ورزش علاقه‌مند هستند.

گزینهٔ ۲ نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

\(\Big\{2^{x-1}\mid x\in\mathbb{N},x < 8\Big\}=\{1,2,4,8,16,32,64\}\). (چرا؟)

پاسخ تشریحی

اگر \(A\) عددی مثبت باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{A}=1.\]
اگر \(A\) عددی منفی باشد، آنگاه: \[\frac{A}{|A|}=\frac{A}{-A}=-1.\]
چون \(xyz < 0\)، پس از بین سه متغیر \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتای آنها هم‌علامتند.
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، مثبت باشند و دیگری منفی، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=1+1+(-1)+{\color{red}(-1)}\\&=0.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر از بین \(x\)، \(y\)، و \(z\)، دوتا متغیر، منفی باشند و دیگری مثبت، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+{\color{red}\frac{xyz}{|xyz|}}\\[7pt]&=-1+(-1)+1+{\color{red}(-1)}\\&=-2.\end{aligned}\] بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

در همهٔ عبارت‌های بالا حاصل‌جمع مقدارهای زیر رادیکال، برابر \(41\) است:
\[\begin{aligned}24+17&=41\\18+23&=41\\19+22&=41\\20+21&=41.\end{aligned}\]
گزاره. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عدد طبیعی باشند و \(a+b=c+d\). اگر \(ab>cd\)، آن‌وقت \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}\). (چرا؟)

پرسش. عدد طبیعی \(n\) را در نظر بگیرید. فرض کنید برای اعداد طبیعی \(a\) و \(b\) داشته باشیم \(a+b=n\). بیشترین مقدار ممکن برای \(ab\) (برحسب \(n\)) چیست؟ چرا؟ (راهنمایی: تمرین ۷ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.)

مسئلهٔ مشابه

تمرین ۷ صفحهٔ ۱۱۳ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم

\[R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
نسبت کمان حاصل از گستردهٔ روی مخروط به کل دایرهٔ آن برابر است با:
\[x=\frac{2}{3}.\] پس مساحت رویهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi\times9\times\frac{2}{3}=6\pi.\] در نتیجه، مساحت قاعدهٔ مخروط برابر است با:
\[\pi(2)^2=4\pi.\] بنابراین، مساحت کل مخروط برابر است با:
\[6\pi+4\pi=10\pi.\]

عدد خانهٔ وسط جدول را $y$ در نظر می‌گیریم.
چون مجموع اعداد هر قطر با مجموع اعداد هر سطر برابر است، پس داریم:
\[\begin{aligned}&x+y+7=2+y+5\\&\Rightarrow x+y+7=y+7\\&\Rightarrow x=0.\end{aligned}\]
بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. جدول زیر، با قانون گفته شده در بالا، پر شده است. آیا این جدول را فقط به‌‌صورت زیر می‌توان پر کرد؟

مسئله‌های مشابه

۱. در تمرین ۱۴ صفحهٔ ۱۰ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، به‌طور مفصل به مربع‌های جادویی پرداخته شده است.

۲. جدول زیر را با اعداد داده شده طوری پر کنید که یک مربع جادویی تشکیل شود.
\[0,\;\frac{1}{100},\;\frac{1}{50},\;\frac{1}{25},\;\frac{1}{20},\;\frac{3}{100},\;-\frac{1}{100},\;-\frac{1}{50},\;-\frac{3}{100}.\]

(تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم) 

پاسخ تشریحی

۳. مربع زیر را با اعداد اول دو رقمی طوری پر کنید که یک مربع جادویی حاصل شود.

(تمرین ۳ صفحهٔ ۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)

پاسخ تشریحی

۴. اگر $a$، $b$ و $c$ سه عدد باشند، آنگاه خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنید که یک مربع جادویی داشته باشید.

(تمرین ۹ صفحهٔ ۵۹ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)

پاسخ تشریحی

۵. در یک مربع جادویی \(4\times4\) که با اعداد \(1\) تا \(16\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.) (سؤال ۴۲ آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد - فروردین ۹۷) 
۱) \(20\)
۲) \(34\)
۳) \(40\)
۴) \(46\)

پاسخ تشریحی

۶. در یک مربع جادویی $3\times 3$ که با اعداد \(1\) تا \(9\) پر شده است، حاصل‌جمع اعداد چهار گوشه کدام است؟
(در مربع جادویی مجموع اعداد در هر سطر و هر ستون و هر قطر عددی ثابت است.) (سؤال ۶۴ آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد - بهمن ۹۶) 
۱) \(20\)
۲) \(25\)
۳) \(30\)
۴) نمی‌توان مشخص کرد.

پاسخ تشریحی