برای اینکه صورت مسئله واضحتر شود، فرض کنید بهجای عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$ داده شده باشد.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، نُهتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز نیست. زیرا:
\[\begin{aligned}&\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}+\sqrt{10}\\&=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+2\sqrt{2}+3+\sqrt{10}\\&=6+3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{10}.\end{aligned}\]
بنابراین کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش حاصل عددی عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{10}$، ششتا است.
در عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، هفتادوچهارتا علامت جمع داریم که این تعداد، کمترین تعداد علامت جمع مورد نیاز نیست. زیرا میتوان دستههای زیر را در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$، در نظر گرفت. (در همهٔ موارد زیر، $n$ عددی طبیعی است)
چون $n\sqrt{1}=\sqrt{n^2}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2},\sqrt{2^2},\sqrt{3^2},\sqrt{4^2},\sqrt{5^2},\sqrt{6^2},\sqrt{7^2},\sqrt{8^2}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[1,2,3,4,5,6,7,8\]
هشت عدد صحیح در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
شش عدد بهصورت $n\sqrt{2}$، داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{2}=\sqrt{n^2\times 2}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 2}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 2\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 2},\sqrt{2^2\times 2},\sqrt{3^2\times 2},\sqrt{4^2\times 2},\sqrt{5^2\times 2},\sqrt{6^2\times2}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2},5\sqrt{2},6\sqrt{2}\]
شش عدد بهصورت $n\sqrt{2}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
پنج عدد بهصورت $n\sqrt{3}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{3}=\sqrt{n^2\times 3}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 3}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 3\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 3},\sqrt{2^2\times 3},\sqrt{3^2\times 3},\sqrt{4^2\times 3},\sqrt{5^2\times 3}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3},5\sqrt{3}\]
پنج عدد بهصورت $n\sqrt{3}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
سه عدد بهصورت $n\sqrt{5}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{5}=\sqrt{n^2\times 5}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 5}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 5\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 5},\sqrt{2^2\times 5},\sqrt{3^2\times 5}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{5},2\sqrt{5},3\sqrt{5}\]
سه عدد بهصورت $n\sqrt{3}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
سه عدد بهصورت $n\sqrt{6}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{6}=\sqrt{n^2\times 6}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 6}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 6\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 6},\sqrt{2^2\times 6},\sqrt{3^2\times 6}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{6},2\sqrt{6},3\sqrt{6}\]
سه عدد بهصورت $n\sqrt{6}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
سه عدد بهصورت $n\sqrt{7}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{7}=\sqrt{n^2\times 7}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 7}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 7\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 7},\sqrt{2^2\times 7},\sqrt{3^2\times 7}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{7},2\sqrt{7},3\sqrt{7}\]
سه عدد بهصورت $n\sqrt{7}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{10}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{10}=\sqrt{n^2\times 10}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 10}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 10\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 10},\sqrt{2^2\times 10}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{10},2\sqrt{10}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{10}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{11}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{11}=\sqrt{n^2\times 11}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 11}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 11\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 11},\sqrt{2^2\times 11}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{11},2\sqrt{11}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{11}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{13}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{13}=\sqrt{n^2\times 13}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 13}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 13\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 13},\sqrt{2^2\times 13}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{13},2\sqrt{13}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{13}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{14}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{14}=\sqrt{n^2\times 14}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 14}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 14\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 14},\sqrt{2^2\times 14}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{14},2\sqrt{14}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{14}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{15}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{15}=\sqrt{n^2\times 15}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 15}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 15\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 15},\sqrt{2^2\times 15}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{15},2\sqrt{15}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{15}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
دو عدد بهصورت $n\sqrt{17}$ داریم. (چرا؟)
چون $n\sqrt{17}=\sqrt{n^2\times 17}$ ($n$ عددی طبیعی است)، پس باید $\sqrt{n^2\times 17}$هایی را پیدا کنیم که $n^2\times 17\leq 75$. این اعداد عبارتاند از:
\[\begin{aligned}\sqrt{1^2\times 17},\sqrt{2^2\times 17}\end{aligned}\]
بهعبارتِدیگر، اعدادِ
\[\sqrt{17},2\sqrt{17}\]
دو عدد بهصورت $n\sqrt{17}$ در بین اعداد $\sqrt{1},\dots,\sqrt{75}$ هستند.
بنابه دستهبندی بالا، میتوان عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کرد بهطوریکه بهجای هفتادوچهار علامت جمع، چهلوشش علامت جمع داشته باشیم. (چرا؟)
در دستهٔ اول، هشت عدد صحیح باهم جمع میشوند؛ یعنی ۷ علامت جمع داریم که اگر حاصل این هشت عدد را بنویسیم، این ۷ علامت جمع از عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ حدف میشوند.
\[1+4+9+16+25+36+49+64=204\]
در دستهٔ دوم، شش عدد بهصورت $n\sqrt{2}$ با میشوند؛ یعنی ۵ علامت جمع داریم که اگر حاصل این شش عدد را بنویسیم، این ۵ علامت جمع از عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ حذف میشوند.
\[\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\sqrt{2}+6\sqrt{2}=21\sqrt{2}\]
اگر همین استدلال را برای دستههای سوم تا دوازدهم نیز بهکار بریم، بهترتیب ۴، ۲، ۲، ۲، ۱، ۱، ۱، ۱، ۱ و ۱ علامت جمع از عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ حذف میشوند. بنابراین، در مجموع
\[\begin{aligned}7+5+4+3\times 2+6\times 1=28\end{aligned}\]
علامت جمع از عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ حذف میشود.
پس بنابه دستهبندی بالا، میتوان عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کرد بهطوریکه بهجای هفتادوچهار علامت جمع،
\[74-28=46\]
علامت جمع داشته باشیم.
اعداد بهصورت $n\sqrt{4}$ و $n\sqrt{16}$ در اعداد دستهٔ اول ظاهر میشوند. زیرا:
\[\begin{aligned}n\sqrt{4}&=2n\\n\sqrt{16}&=4n.\end{aligned}\]
اعداد بهصورت $n\sqrt{8}$ و $n\sqrt{18}$ در اعداد دستهٔ دوم ظاهر میشوند. زیرا:
\[\begin{aligned}n\sqrt{8}&=n\sqrt{4\times 2}=2n\sqrt{2}\\n\sqrt{18}&=n\sqrt{9\times 2}=3n\sqrt{2}.\end{aligned}\]
اعداد بهصورت $n\sqrt{12}$ در اعداد دستهٔ سوم ظاهر میشوند. زیرا:
\[\begin{aligned}n\sqrt{12}=n\sqrt{4\times 3}=2n\sqrt{3}\end{aligned}\]
اگر بخواهیم اعدادی را که در دوازده دستهٔ بالا نیستند، با همین روش دستهبندی کنیم، چون $4\times 19>75$، پس هر دسته یک عدد خواهد داشت و اگر این اعداد باهم جمع شوند نمیتوان هیچ عمل جمعی را حذف کرد.
بنابه دستهبندی بالا و پاسخِ پرسشهای ۱ و ۲، کمترین تعداد علامتِ جمعِ موردِ نیاز برای نمایش عددیِ عبارت $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$، چهلو شش علامت جمع است؛ بهعبارتِدیگر، اگر $\sqrt{1}+\dots+\sqrt{75}$ را ساده کنیم، چهلوشش علامت جمع داریم.
بنابراین گزینهٔ ۳ درست است.
ارسال کامنت و دیدگاه
در اولین فرصت به کامنت شما پاسخ میدهیم و بلافاصله یک ایمیل برایتان ارسال میکنیم. ❤️