آزمون هندسه دهم

این مسئله را می‌توان با استفاده از تقارن موجود در شکل به‌سادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راه‌حلی که در زیر نوشته‌ایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است. 

راهنمای حل

می‌خواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پاره‌خط سبزِ شکل زیر را به‌دست آوریم.

برای پیدا کردن طول پاره‌خط سبز، فقط به سه‌ دایره‌ نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکز‌های این سه دایره و محل برخورد آنها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در ادامهٔ راه‌حل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پاره‌خط به‌هم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره،‌ روی پاره‌خط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

بنابه فرض مسئله، شعاع دایره‌های کوچک برابر \(1\) است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \(2\) است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، می‌دانیم در مثلث متساوی‌الاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبق‌اند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $\sqrt{3}$ است. (چرا؟)

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

گزارهٔ اول درست است. (چرا؟)

گزارهٔ دوم درست است. (چرا؟)

گزارهٔ سوم نادرست است. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

در کسر داده شده باید داشته باشیم:
\[\begin{aligned}&x\ne0,\\&x^2-4\ne0\Rightarrow(x-2)(x+2)\ne0\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x\ne2\\&x\ne-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

با توجه به تعریف اعداد گویا: \[\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{N}\}\]
هر چهار عدد داده شده گویا هستند. (چرا؟)

می‌دانیم یک مجموعهٔ \(n\)عضوی، \(2^n\)تا زیرمجموعه دارد. (چرا؟)

همهٔ زیرمجموعه‌هایی را که مجموع بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عضو برابر \(27\) است، به‌صورت زیر حالت‌بندی می‌کنیم.

حالت اول. کوچک‌ترین عضو \(13\) و بزرگ‌ترین عضو \(14\) باشد. واضح است که در این حالت فقط \(1\) زیرمجموعه وجود دارد: \(\{13,14\}\).

حالت دوم. کوچک‌ترین عضو \(12\) و بزرگ‌ترین عضو \(15\) باشد. در این حالت \(4\) زیرمجموعه وجود دارد. (چرا؟)

بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

\[\begin{aligned}&\frac{3\sqrt[3]{16}-\big|-2\sqrt[3]{128}-\sqrt[3]{-250}\big|}{\sqrt[3]{108}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{8\times2}-\big|-2\sqrt[3]{64\times2}-\sqrt[3]{-125\times2}\big|}{\sqrt[3]{27\times4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-8\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-\big|-3\sqrt[3]{2}\big|}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{6\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\\[7pt]&=\frac{3\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{4}}\times\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۱ درست است.

چون:
\[\begin{aligned}a&=4^{3^2}=4^9=\big(2^2\big)^9=2^{18}\\b&=27^7=\big(3^3\big)^7=3^{21}=3\times3^{20}\\c&=\big(-5^4\big)^5=(-1)^5\big(5^4\big)^5=-5^{20}\\d&=3^2\times64^3=3^2\times\big(2^6\big)^3=3^2\times2^{18}\end{aligned}\]
پس:
\[c < a < d < b.\]
بنابراین، گزینهٔ ۴ درست است.

وقتی توپ در کوچک‌ترین جعبهٔ ممکن باشد، یعنی وجه‌های جعبه بر توپ مماس هستند. پس یال جعبه برابر با قطر توپ است. شعاع کره برابر \(4\) است.
$$S=4\pi(4)^2=64\pi.$$

فرض کنیم که طول و عرض مستطیل برابر \(x\) و \(y\) باشند. در این‌صورت: \[x+y=18.\quad(1)\] (چرا؟)

از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود: \[xy=162-\frac{d^2}{2}\cdot\] (چگونه؟)

بنابه فرض مسئله، داریم: \[{\color{red}a^2+b^2=4ab}\] پس:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{a+b}{2a-2b}\Big)^6&=\Big(\frac{a+b}{2(a-b)}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\times\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^6\times\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)^6\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\big(\frac{a+b}{a-b}\big)^2\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}a^2+b^2}+2ab}{{\color{red}a^2+b^2}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{{\color{red}4ab}+2ab}{{\color{red}4ab}-2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times\Big(\frac{6ab}{2ab}\Big)^3\\[8pt]&=\frac{1}{64}\times3^3\\[8pt]&=\frac{27}{64}.\end{aligned}\]
بنابراین، گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. چرا در صورت مسئله، شرط \(a\ne b\) نوشته شده است؟