دوره مقدماتی المپیاد کامپیوتر و ریاضی- تابستان ۱۴۰۳ (آنلاین)- هفتهٔ اول

مسائل هفتهٔ اول

1. تمام اعداد چهاررقمی را که هر چهار رقم آنها زوج است، در یک ردیف به‌ترتیب صعودی نوشته‌ایم:
   \[2000,2002,2004,\dots,8888.\]
   چنانچه تفاضل هر دو عدد مجاور در این ردیف را روی تخته بنویسیم، بزرگ‌ترین عدد ظاهر شده روی تخته را بیابید.

---

2. علی یک مستطیل را به دو مستطیل تقسیم کرد به‌طوری که مجموع محیط این دو مستطیل برابر \(100\) باشد. آرش نیز همین مستطیل را به دو مستطیل تقسیم کرد به‌طوری که مجموع محیط آنها برابر \(140\) شد. محیط مستطیل اصلی را تعیین کنید.

---

3. آلیس چهار عدد صحیح در ذهن خود در نظر گرفت و هر دوتا از این چهار عدد را باهم جمع کرد. اگر \(5\)تا از این مجموع‌ها برابر \(70\)، \(110\)، \(120\)، \(180\)، و \(220\) باشند، ششمین مجموع را تعیین کنید.

---

4. کوچک‌ترین عدد طبیعی را تعیین کنید به‌طوری که
   الف) مجموع رقم‌های آن برابر \(20\) باشد.
   ب) مجموع رقم‌های آن برابر \(20\) باشد و رقم تکراری نداشته باشد.
   ج) مجموع رقم‌های آن برابر \(20\) باشد و هفت‌رقمی باشد.

---

5. \(101\) سکه داریم که فقط یکی از آنها تقلبی است. سکه‌های اصل هم‌وزن‌اند ولی سکهٔ تقلبی با آنها هم‌وزن نیست. باید تعیین کنیم سکه تقلبی از سکه اصل سبک‌تر است یا سنگین‌تر. چگونه می‌توان با دوبار استفاده از ترازوی دو کفه‌ای این کار را انجام داد؟

---

6. کوچک‌ترین عدد طبیعی \(k\) را تعیین کنید به‌گونه‌ای که حاصل عبارت زیر مربع کامل باشد.
   \[(k+1)+(k+2)+(k+3)+\dots+(k+19)\]

---

7. \(2000\) راستگو و دروغگو در یک جزیره ساکن هستند و هرکدام فقط به یکی از سه مقولهٔ «آواز»، «فوتبال»، و «ماهی‌گیری» علاقه‌مند هستند. از هر کسی سه سؤال پرسیده شد:
   \(\bullet\) به آواز علاقه‌مندی؟
   \(\bullet\) به فوتبال علاقه‌مندی؟
   \(\bullet\) به ماهی‌گیری علاقه‌مندی؟
   \(1000\) نفر به سؤال اول، \(700\) نفر به سؤال دوم، و \(500\) نفر به سؤال سوم جواب «بله» دادند. در این جزیره چند دروغگو وجود دارد؟

---

8. در یک جمع \(1000\) نفره، در بین هر \(3\) نفر حداقل یک نفر مرد است. تعداد مردها در این جمع برابر چه اعدادی می‌تواند باشد؟ (همهٔ جواب‌های ممکن را تعیین کنید.)

---

9. دو عدد سه‌رقمی داریم که هریک از رقم‌های \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، و \(6\) دقیقاً یک‌بار در این دو عدد به‌کار رفته است. کمترین مقدار ممکن تفاضل این دو عدد را تعیین کنید.

---