قضیه های هندسه

برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه‌ های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول و دوم دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است.

قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.

اثبات

قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

اثبات

عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و \(B_1\) پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.

اثبات

قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث $180$ درجه است.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.

اثبات

اصل ض‌ز‌ض. اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند. (در ریاضیات «اصل» عبارتی است که درستی آن بدون استدلال پذیرفته شود.)

توضیحات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.

اثبات (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث)

قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. در هر مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های پای ساق باهم برابرند.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. اگر مثلثی دو زاویهٔ برابر داشته باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است.

اثبات

قضیهٔ فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.

اثبات

عکس قضیهٔ فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد،‌ آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیهٔ وتر و یک ضلع. اگر وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ نیم‌ساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ نیم‌ساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.

اثبات

قضیهٔ کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به ‌آن زاویه برابر است.

اثبات

قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلع‌های قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است.

اثبات

قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه‌ باشد، آن‌وقت آن زاویه قائمه است.

اثبات

مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به‌طول ضلع \(a\). مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی به‌ضلع \(a\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است.

اثبات

اندازهٔ قطر مکعب. طول قطر هر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.

اثبات

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات

عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات

قضیه‌های همرسی

قضیهٔ همرسی میانه‌ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.

اثبات

نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد می‌شود.

اثبات

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات

قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. در هر مثلث، هر سه نیمساز داخلی همرسند.