نمونه سوال ریاضی دهم فصل ۲

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۲ ریاضی دهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

1. در مثلث $ABC$، زاویهٔ $B$ قائمه است و نقطهٔ $D$ روی ضلع $AB$ قرار دارد. اگر اندازهٔ زاویه‌های $BDC$ و $ACD$ به‌ترتیب $60$ و $30$ درجه و طول $BD$ برابر $10$ سانتی‌متر باشد، آنگاه طول $AD$ چقدر است؟
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   ابتدا شکل مناسبی برای این مسئله رسم می‌کنیم.
   
   $BC=10\sqrt{3}$.
   چرا؟

   در مثلث قائم‌الزاویهٔ $BCD$ داریم:
   $$\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}=\frac{BC}{DB}\\[7pt]&\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{BC}{10} \\[7pt]&\Rightarrow BC=10\sqrt{3}.\end{aligned}$$

   $\widehat{A}=30^\circ$.
   چرا؟

   با استفاده از قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث $ACD$)، داریم:
   $$\begin{aligned}&\widehat{A}+A\widehat{C}D=B\widehat{D}C\\&\Rightarrow\widehat{A}+30^\circ=60^\circ\\&\Rightarrow\widehat{A}=30^\circ.\end{aligned}$$

   در نتیجه،‌ $AB=30\,\rm cm$.
   چرا؟

   در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$ داریم:
   $$\begin{aligned}&\tan\widehat{A}=\frac{BC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow AB=30.\end{aligned}$$
   

   بنابراین،
   $$\begin{aligned}AD&=AB-BD\\&=30-10\\&=20.\end{aligned}$$
   

---

2. در شکل زیر، فرض کنید که $AB$ عرشهٔ یک قایق بادبانی به‌طول $8$ متر، و $FM$ دکل آن باشد. طنابی با زاویه $60$ درجه از $A$ به $M$ (بالای دکل) کشیده شده است. تعداد بیشتری طناب با زاویه $\theta$ از $B$ به نقطهٔ $P$ وصل شده است. اگر نقطهٔ $P$ دو متر پایین‌تر از $M$ باشد، آنگاه مقدار $MF$ (ارتفاع دکل) را برحسب $\theta$ بیابید.



پاسخ را نشان بده!

فرض کنید $AF=x$. در این‌صورت $MF=\sqrt{3}x$.
چرا؟

در مثلث قائم‌الزاویه $AMF$ داریم:
$$\begin{aligned}&\tan 60^{\circ}=\frac{MF}{AF}\\[7pt]&\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{MF}{x}\\[7pt]&\Rightarrow MF=\sqrt{3}x.\end{aligned}$$

و $PF=\sqrt{3}x-2$ زیرا
$$\begin{aligned}&PF=MF-MP\\&=\sqrt{3}x-2.\end{aligned}$$
بنابراین، $x=\dfrac{8\tan\theta+2}{\sqrt{3}+\tan\theta}$.
چرا؟

در مثلث $PFB$ داریم:
$$\begin{aligned}& \tan\theta=\frac{PF}{FB}\\[7pt]&\Rightarrow \tan\theta=\frac{\sqrt{3}x-2}{8-x}\\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta-x\times\tan\theta=\sqrt{3}x-2 \\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta+2=\sqrt{3}{\color{red}x}+\tan\theta\times{\color{red}x}\\[7pt]&\Rightarrow 8\tan\theta+2=(\sqrt{3}+\tan\theta){\color{red}x}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{8\tan\theta+2}{\sqrt{3}+\tan\theta}={\color{red}x}.\end{aligned}$$

و می‌دانیم $MF=\sqrt{3}x$ پس $MF=\dfrac{8\sqrt{3}\tan\theta+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\tan\theta}$.

---

3. با توجه به شکل زیر، دو تپه در نقطه $O$ به یکدیگر رسیده‌اند. یک تپه با افق زاویه $30^\circ$ و دیگری زاویه $45^\circ$ می‌سازد. نقاط $A$ و $B$ روی تپه ها قرار دارند به‌طوری‌که $OA=OB=20{\rm m}$.
   
   ستون‌های عمودی $AC$ و $BD$ با کابل $CD$ متصل شده اند. اگر $AC=6{\rm m}$، و $CD$ کمترین طول را داشته باشد، اندازه $BD$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به فرض مسئله، $CD$ باید بر $BD$ عمود باشد.
چرا؟

در صورت مسئله نوشته شده که $CD$ کمترین طول ممکن را دارد. فرض کنیم که $CD$ بر $BD$ عمود نباشد. در این‌صورت اگر عمود $CH$ را بر $BD$ رسم کنیم، آنگاه $CH < CD$ که با فرض مسئله در تناقض است.


پس شکل مسئله باید به‌صورت زیر باشد.

دو ستون $AC$ و $BD$ را امتداد می‌دهیم تا افق را به‌ترتیب در نقاط $P$ و $Q$ قطع کنند.

در این‌صورت $CP=16$.
چرا؟

بنابه فرض مسئله، $AO=20$. پس در مثلث $APO$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin30^\circ=\frac{AP}{AO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{AP}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10=AP.\end{aligned}$$بنابراین:
$$\begin{aligned}CP&=AP+AC\\&=10+6\\&=16.\end{aligned}$$

و $BQ=10\sqrt{2}$.
چرا؟

بنابه فرض مسئله، $BO=20$. پس در مثلث $BQO$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin45^\circ=\frac{BQ}{BO}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{BQ}{20}\\[7pt]&\Rightarrow10\sqrt{2}=BQ.\end{aligned}$$


حال، چون چهارضلعی $CDQP$ مستطیل است(؟)، پس
$$\begin{aligned}&DQ=CP\\&\Rightarrow BD+BQ=16\\&\Rightarrow BD+10\sqrt{2}=16\\&\Rightarrow BD=16-10\sqrt{2}.\\&\end{aligned}$$

---

4. مطابق شکل زیر، متحرکی ازنقطهٔ $A$ شروع به حرکت می‌کند و پس از طی مسافت $5\sqrt{2}$ کیلومتر به نقطهٔ $B$ و پس از طی مسافت $4\sqrt{3}$ به نقطهٔ $C$ می‌رسد. جابه‌جایی کل این متحرک در راستای افقی و در راستای عمودی را بیابید.



پاسخ را نشان بده!

ابتدا از نقطهٔ $B$ عمودی بر محور $x$ها رسم می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم. سپس، از نقطه‌های $A$ و $C$ عمودهایی بر $BH$ رسم می‌کنیم و پای این عمودها را به‌ترتیب $M$ و $K$ می‌نامیم.



در این‌صورت داریم $AM=5$ و $CK=6$.
چرا؟

در مثلث $ABM$ داریم:
$$\begin{aligned}&\cos 45^\circ =\frac{AM}{AB} \\[7pt]& \Rightarrow AM=AB\times\sin 45^\circ \\& \Rightarrow AM=5\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\[7pt]&\Rightarrow AM=5.\end{aligned}$$
$M\widehat{B}C=60^\circ$.
چرا؟

توجه کنید که چون در مثلث $AMB$، اندازهٔ زاویه‌های $A$ و $M$ به‌ترتیب $45$ و $90$ درجه است، پس بنابه قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث، $A\widehat{B}M=45^\circ$. و چون بنابه فرض مسئله، $A\widehat{B}C=105^\circ$، پس:
$$\begin{aligned}M\widehat{B}C&=A\widehat{B}C-A\widehat{B}M\\[7pt]&=105^\circ-45^\circ\\[7pt]&=60^\circ.\end{aligned}$$



در مثلث $BCK$، داریم:
$$\begin{aligned}&\sin 60^\circ =\frac{CK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]& \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\times4\sqrt{3}=CK\\[7pt]&\Rightarrow6=CK.\end{aligned}$$

پس جابه‌جایی افقی این متحرک برابر است با:
$$\begin{aligned}AM+CK&=5+6\\&=11.\end{aligned}$$
در ادامه، جابه‌جایی کل این متحرک در راستای عمودی را محاسبه می‌‌کنیم.
به‌سادگی می‌توان نشان داد که $BM=5$ و $BK=2\sqrt{3}$.
چگونه؟

چون مثلث $ABM$ متساوی‌الساقین است(؟)، پس:
$$BM=AM=5.$$
از طرفی، در مثلث $BKC$ داریم:
$$\begin{aligned}&\cos60^{\circ}=\frac{BK}{BC}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{BK}{4\sqrt{3}}\\[7pt]&\Rightarrow 2\sqrt{3}=BK.\end{aligned}$$

بنابراین، جابجایی کل متحرک در راستای عمودی برابر است با:
$$\begin{aligned}KM&=BM-BK\\&=5-2\sqrt{3}.\end{aligned}$$


---

5. اگر $\cos \theta=\tan\theta$، آنگاه مقدارهای ممکن برای $\sin\theta$ را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

از $\cos \theta=\tan\theta$ می‌توان نتیجه گرفت که $\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0$.
چگونه؟

با استفاده از اتحادهای مثلثاتی $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ و $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ داریم:
$$\begin{aligned}&\cos\theta=\tan\theta\\&\Rightarrow \cos\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\&\Rightarrow \cos^2 \theta=\sin\theta\\& \Rightarrow 1-\sin^2 \theta=\sin\theta \\& \Rightarrow \sin^2 \theta+\sin\theta-1=0 \end{aligned}$$

بنابراین، $\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

چرا؟

به کمک روش مربع کامل، معادلهٔ $\sin^2 \theta+\sin\theta-1=0$ را حل می‌کنیم.
$$\begin{aligned}&\sin^2\theta+\sin\theta-1=0\\&\sin^2\theta+\sin\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow \sin^2\theta+\sin\theta+{\color{red}\frac{1}{4}}=1+{\color{red}\frac{1}{4}}\\[7pt]&\Rightarrow \big(\sin\theta+\frac{1}{2}\big)^2=\frac{5}{4}\\[7pt]& \Rightarrow \sin \theta+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\\[7pt]& \Rightarrow \sin\theta=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}$$
چون محدوده تغییرات $\sin\theta$ بازهٔ $[-1,1]$ است و
$$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx-1.65 < -1$$ پس $\sin\theta=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ غیرقابل قبول است. بنابراین: $$\sin\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.$$

---

6. اگر $x$ یک زاویه تند باشد و $\tan x=\frac{3}{4}$، حاصل عبارت زیر را بیابید.
   $$\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}$$
پاسخ را نشان بده!

چون $x$ یک زاویهٔ تند است و $\tan x=\frac{3}{4}$، پس
$$\begin{aligned}\cot x&=\frac{4}{3}\\[7pt]\cos x&=\frac{4}{5}\\[7pt]\sin x&=\frac{3}{5}.\end{aligned}$$
چرا؟

می‌دانیم همهٔ نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های تند، مثبت است. بنابراین،
$\bullet$ با استفاده از اتحاد $\cot x=\frac{1}{\tan x}$ داریم:
$$\begin{aligned}\cot x&=\frac{1}{\tan x}\\[9pt]&=\frac{1}{\frac{3}{4}}\\[9pt]&=\frac{4}{3}.\end{aligned}$$
$\bullet$ با استفاده از اتحاد $\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}$ داریم:
$$\begin{aligned}&\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\Big(\frac{3}{4}\Big)^2+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{9}{16}+1=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{25}{16}=\frac{1}{\cos^2x}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{16}{25}=\cos^2x\\[8pt]&\Rightarrow\frac{4}{5}=\cos x.\end{aligned}$$
$\bullet$ با استفاده از اتحاد $\sin^2x+\cos^2x=1$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin^2x+\cos^2x=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\Big(\frac{4}{5}\Big)^2=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x+\frac{16}{25}=1\\[7pt]&\Rightarrow\sin^2x=\frac{9}{25}\\[7pt]&\Rightarrow\sin x=\frac{3}{5}.\end{aligned}$$

حال، با جایگذاری مقدارهای بالا در عبارت داده شده، حاصل آن را به‌دست می‌آوریم:
$$\begin{aligned}&\frac{\sin x+\cos x-\tan x}{\frac{1}{\cos x}+\cos x-\cot x}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{\frac{4}{5}}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}+\frac{4}{5}-\frac{4}{3}}\\[9pt]&=\frac{\frac{12}{20}+\frac{16}{20}-\frac{15}{20}}{\frac{75}{60}+\frac{48}{60}-\frac{80}{60}}\\[9pt]&=\frac{\frac{13}{20}}{\frac{43}{60}}\\[9pt]&=\frac{13}{20}\times\frac{60}{43}\\[9pt]&=\frac{39}{43}.\end{aligned}$$


---

7. در چهارضلعی محدب $ABCD$، $A\widehat{B}C=90^\circ$، $B\widehat{C}D=60^\circ$، و
   $$AB=BC=CD=6.$$ طول $AD$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا از $D$ خطی بر $BC$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $E$ می‌نامیم.

در این‌صورت داریم:
$$\begin{aligned}&BE=CE=3\quad(1)\\&DE=3\sqrt{3}.\quad(2)\end{aligned}$$

چرا؟

در مثلث $CDE$ داریم:
$$\begin{aligned}&\cos 60^\circ=\frac{CE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow CE=CD\times\cos 60^\circ\\&\Rightarrow CE=6\times\frac{1}{2}\\&\Rightarrow CE=3.\end{aligned}$$
از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، $BC=6$، پس داریم:
$$\begin{aligned}BE&=BC-CE\\&=6-3\\&=3.\end{aligned}$$
همچنین، در مثلث $CDE$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin60^\circ=\frac{DE}{CD}\\[7pt]&\Rightarrow DE=CD\times\sin 60^\circ\\&\Rightarrow DE=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Rightarrow DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}$$

سپس، از $D$ خطی بر $AB$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $F$ می‌نامیم.

در این‌صورت داریم:
$$\begin{aligned}&DF=3\quad(3)\\&AF=6-3\sqrt{3}.\quad(4)\end{aligned}$$
چرا؟

چون چهارضلعی $BEDF$ سه زاویهٔ قائمه دارد، پس این چهارضلعی، مستطیل است. و می‌دانیم که در مستطیل، ضلع‌های روبه‌رو دوبه‌دو برابرند. بنابراین، و بنابه رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ داریم:
$$\begin{aligned}&DF=BE=3\\&BF=DE=3\sqrt{3}.\end{aligned}$$

از طرفی، چون بنابه فرض مسئله، $AB=6$، پس
$$\begin{aligned}AF&=AB-BF\\&=6-3\sqrt{3}.\end{aligned}$$

در نتیجه، $AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}$.
چرا؟


با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث $AFD$)، و رابطه‌های $(3)$ و $(4)$ داریم:
$$\begin{aligned}&AD^2=AF^2+DF^2\\&\Rightarrow AD^2=\big(6-3\sqrt{3}\big)^2+3^2\\&\Rightarrow AD^2=36-36\sqrt{3}+27+9\\& \Rightarrow AD^2=72-36\sqrt{3}\\& \Rightarrow AD^2=36\big(2-\sqrt{3}\big)\\&\Rightarrow AD=\sqrt{36\big(2-\sqrt{3}\big)}\\& \Rightarrow AD=6\sqrt{2-\sqrt{3}}.\end{aligned}$$

پرسش. آیا در این مسئله، می‌توان اندازهٔ زاویه‌های $CDA$ و $DAB$ را به‌دست آورد؟

---

8. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
   $$\tan 1^{\circ}\times\tan 2^{\circ}\times\dots\times \tan 88^{\circ}\times\tan 89^{\circ}$$
پاسخ را نشان بده!

برای زاویهٔ $x$ که $0^\circ\leq x\leq90^\circ$، داریم $\tan x=\cot\big(90^\circ-x\big)$ (؟). بنابراین،
$$\begin{aligned}\tan46^{\circ}&=\cot44^{\circ}\\\tan47^{\circ}&=\cot43^{\circ}\\&\vdots\\\tan88^{\circ}&=\cot2^{\circ}\\\tan89^\circ&=\cot1^\circ.\end{aligned}\quad(1)$$از طرفی، برای هر زاویه دلخواه $x$ داریم:
$$\tan x\times\cot x=1.\quad(2)$$حال، با استفاده از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
$$\tan1^\circ\times\tan2^\circ\times\dots\times\tan88^\circ\times\tan89^\circ=1.$$
چگونه؟

$$\begin{aligned}&\tan1^\circ\times\dots\times\tan44^\circ\times\tan45^\circ\times\tan46^\circ\times\dots\times\tan89^\circ\\&=\tan1^\circ\times\dots\times\tan44^\circ\times\tan45^\circ\times\cot44^\circ\times\dots\times\cot1^\circ\\&=(\tan1^\circ\times\cot1^\circ)\times\dots\times(\tan44^\circ\times\cot44^\circ)\times\tan45^\circ\\[8pt]&=\overbrace{1\times\dots\times1}^{\text{تا}۴۴}\times1\\[7pt]&=1.\end{aligned}$$

احتمالاً شما ایدهٔ گاوس را در مسائل مختلفی دیده‌اید. برای حل این مسئله نیز، از ایدهٔ گاوس استفاده شده است.


---

9. حاصل عبارت زیر را بیابید.
   $$\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\dots+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ$$
پاسخ را نشان بده!

برای زاویهٔ $x$ که $0^\circ\leq x\leq90^\circ$، داریم $\sin x=\cos\big(90^\circ-x\big)$ (؟). بنابراین،
$$\begin{aligned}\sin46^{\circ}&=\cos44^{\circ}\\\sin47^{\circ}&=\cos43^{\circ}\\&\vdots\\\sin88^{\circ}&=\cos2^{\circ}\\\sin89^\circ&=\cos1^\circ.\end{aligned}\quad(1)$$از طرفی، برای هر زاویه دلخواه $x$ داریم:
$$\sin^2x+\cos^2x=1.\quad(2)$$
حال، با استفاده از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ می‌توان حاصل عبارت داده شده را به دست آورد.
$$\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\dots+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ=\frac{89}{2}.$$
چگونه؟

$$\begin{aligned}&\sin^21^\circ+\dots+\sin^244^\circ+\sin^245^\circ+\sin^246^\circ+\dots+\sin^289^\circ\\&=\sin^21^\circ+\dots+\sin^244^\circ+\sin^245^\circ+\cos^244^\circ+\dots+\cos^21^\circ\\&=(\sin^21^\circ+\cos^12^\circ)+\dots+(\sin^244^\circ+\cos^244^\circ)+\sin^245^\circ\\[8pt]&=\overbrace{1+\dots+1}^{\text{تا}۴۴}+\Big(\frac{\sqrt{2}}{2}\Big)^2\\[7pt]&=44+\frac{1}{2}\\[7pt]&=\frac{89}{2}.\end{aligned}$$

احتمالاً شما ایدهٔ گاوس را در مسائل مختلفی دیده‌اید. برای حل این مسئله نیز، از ایدهٔ گاوس استفاده شده است.


---

10. الف) در شکل زیر، $AD=BD$. ثابت کنید $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$.
    
    ب) مقدار $\tan15^\circ$ را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

الف) با توجه به شکل داده شده، داریم: $\widehat A=\dfrac{\alpha}{2}$.

چرا؟

چون مثلث $ACD$ متساوی‌الساقین است، پس $\widehat{A}=D\widehat{B}A$. از طرفی، بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث (در مثلث $ABD$) داریم:
$$\begin{aligned}&\widehat{A}+D\widehat{B}A=C\widehat{D}B\\&\Rightarrow2\widehat{A}=\alpha\\&\Rightarrow\widehat{A}=\frac{\alpha}{2}.\end{aligned}$$

از طرفی، در مثلث $BCD$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin\alpha=\frac{BC}{BD}\\&\Rightarrow BC=BD\sin\alpha.\quad (1)\end{aligned}$$و
$$\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{CD}{BD}\\&\Rightarrow CD=BD\cos\alpha.\quad (2)\end{aligned}$$

بنابراین، با استفاده از رابطه های $(1)$ و $(2)$ در مثلث $ABC$، داریم:
$$\begin{aligned}&\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AC}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BC}{AD+DC}\\[9pt]&\Rightarrow \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD+BD\cos\alpha}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{BD\sin\alpha}{BD(1+\cos\alpha)}\\[10pt]&\Rightarrow\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.\end{aligned}$$

---

ب) اگر در رابطهٔ $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$، قرار دهیم $\alpha=30^\circ$، آنگاه داریم:
$$\tan15^\circ=2-\sqrt{3}.$$
چرا؟

اگر $\alpha=30^\circ$، آنگاه $\frac{\alpha}{2}=15^\circ$. پس:
$$\begin{aligned}\tan15^\circ&=\frac{\sin30^\circ}{1+\cos30^\circ}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}\\[8pt]&=\frac{1}{2}\times\frac{2}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\times\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\[8pt]&=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\[8pt]&=2-\sqrt{3}.\end{aligned}$$




---

11. فرض کنید $\cos\theta=\frac{m}{m+2}$ و $\tan\theta=\frac{m+1}{m}$. مقدار عددی $\sin\theta$ و $\cot\theta$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

مقادیر ممکن برای $m$ برابر $3$ و $-1$ است.
چرا؟

برای هر زاویهٔ دلخواه $\theta$ داریم:
$$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$$
بنابراین
$$\begin{aligned}&1+\big(\frac{m+1}{m}\big)^2=\big(\frac{m+2}{m}\big)^2\\[7pt]&\Rightarrow1+\frac{m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{m^2+m^2+2m+1}{m^2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2}\\[7pt]&\Rightarrow 2m^2+2m+1=m^2+4m+4\\&\Rightarrow m^2-2m-3=0 \\&\Rightarrow (m-3)(m+1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&m=3\\&m=-1.\end{aligned}\right.\end{aligned}$$

$\bullet$ اگر $m=-1$، آنگاه $\sin\theta=0$ و کتانژانت زاویهٔ $\theta$ تعریف نشده است.
چرا؟

با جایگذاری $m=-1$ در رابطهٔ $\cos\theta=\frac{m}{m+2}$، داریم:
$$\begin{aligned}\cos\theta&=\frac{m}{m+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{-1+2}\\[7pt]&=\frac{-1}{1}\\[7pt]&=-1.\end{aligned}$$از $\cos\theta=-1$ نتیجه می‌شود که $\sin\theta=0$.(؟)
با جایگذاری $m=-1$ در رابطهٔ $\tan\theta=\frac{m+1}{m}$، داریم:
$$\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{m+1}{m}\\[7pt]&=\frac{-1+1}{-1}\\&=0.\end{aligned}$$ از $\tan\theta=0$ نتیجه می‌شود که $\cot\theta$ تعریف نشده است.(؟)

$\bullet$ اگر $m=3$، آنگاه:
$$\sin\theta=\frac{4}{5},\cot\theta=\frac{3}{4}.$$
چرا؟

برای $m=3$، داریم:
$$\cos\theta=\frac{m}{m+2}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$$ و
$$\tan\theta=\frac{m+1}{m}=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}.$$
چون $\cos\theta$ و $\tan\theta$ هردو مثبت‌اند، پس $\theta$ در ناحیه اول قرار دارد.
حال، چون می‌دانیم:
$$\begin{aligned}&\tan\theta\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\frac{4}{3}\times\cot\theta=1\\[7pt]&\Rightarrow\cot\theta=\frac{3}{4}.\end{aligned}$$
از طرفی، چون می‌دانیم:
$$\begin{aligned}&\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\\[7pt]& \Rightarrow \sin^2\theta=1-\frac{9}{25} \\[7pt]&\Rightarrow\sin^2\theta=\frac{16}{25}\\[7pt]&\Rightarrow \sin\theta=\pm\frac{4}{5}.\end{aligned}$$ اما چون $\sin\theta$ در ناحیه اول مثبت است، پس مقدار منفی غیرقابل قبول است. بنابراین، $\sin\theta=\frac{4}{5}$.

---

12. نیم‌دایره‌ای به قطر $AB$ داده شده است. مماس در نقطه $B$ را براین نیم‌دایره رسم می‌کنیم و از نقطه $A$ قاطعی می‌کشیم تا نیم‌دایره را در $C$ و مماس رسم شده را در $D$ قطع کند. اگر $\alpha$ زاویه بین قاطع و قطر $AB$، و $AD=4AC$، آنگاه اندازهٔ $\alpha$ چقدر است؟
پاسخ را نشان بده!

ابتدا با توجه به فرضیات مسئله، شکل مناسبی رسم می‌کنیم.

در شکل بالا، پاره‌خط $BC$ را رسم کرده‌ایم. دو مثلث‌های $ABD$ و $ACB$ متشابه هستند.
چرا؟

بنابه قضیهٔ شعاع و مماس، $BD$ بر $AB$ عمود است. یعنی مثلث $ABD$ قائم‌الزاویهٔ است.
بنابه قضیهٔ زاویهٔ محاطی، زاویهٔ روبه‌رو به قطر برابر $90$ درجه است. در نتیجه، $A\widehat{C}B=90^\circ$. بنابراین، مثلث $ACB$ قائم‌الزاویه است.
پس دو مثلث $ABD$ و $ACD$ در حالت زز متشابه‌اند. زیرا:
$\bullet$ زاویه‌های $ABD$ و $ACD$ قائمه هستند.
$\bullet$ زاویهٔ $A$ در هر دو مثلث مشترک است.

طول $AC$ با شعاع دایره برابر است.
چرا؟

اگر شعاع نیم‌دایره را $r$ فرض کنیم، آنگاه $AB=2r$. از طرفی، چون دو مثلث $ABD$ و $ACB$ متشابه‌اند و بنابه فرض مسئله ${\color{red}AD}={\color{red}4AC}$، پس:
$$\begin{aligned}&\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}AD}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{2r}{AC}=\frac{\color{red}4AC}{2r}\\[7pt]&\Rightarrow 4AC^2=4r^2\\&\Rightarrow AC=r.\end{aligned}$$

پس در مثلث قائم‌الزاویه $ABC$ داریم:
$$\begin{aligned}&\cos\alpha=\frac{AC}{AB}\\[7pt]&\Rightarrow\cos\alpha=\frac{1}{2}\\[7pt]&\Rightarrow \alpha=60^\circ.\end{aligned}$$


---

یادآوری: علامت نسبت‌های مثلثاتی در ناحیه‌های اول تا چهارم

13. اگر $\tan x+\cot x>0$، آنگاه انتهای کمان $x$ در کدام ناحیهٔ دایره مثلثاتی قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

از فرض $\tan x+\cot x>0$ نتیجه می‌شود که $\tan x$ و $\cot x$ هر دو مثبت‌اند.
چرا؟

می‌دانیم $\tan x=\frac{1}{\cot x}$. پس برای هر زاویهٔ $x$، مقدارهای $\tan x$ و $\cot x$ هم‌علامت هستند؛ یعنی یا هر دو مثبت‌اند یا هر دو منفی.
از طرفی، چون $\tan x+\cot x>0$، پس واضح است که مقدارهای $\tan x$ و $\cot x$، هر دو مثبت‌اند.

می‌دانیم که در ناحیه‌های اول و سوم، $\tan x$ و $\cot x$ مثبت‌اند. پس انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ اول یا سوم قرار دارد.




---

14. اگر $\sin \alpha\times\cos\alpha < 0$ و $\sin\alpha-\cos\alpha < 0$، آنگاه انتهای کمان $\alpha$ در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

از $\sin \alpha\times\cos\alpha<0$ نتیجه می‌شود که انتهای کمان $\alpha$ در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
چرا؟

چون $\sin \alpha\times\cos\alpha<0$، پس $\sin\alpha$ و $\cos\alpha$ مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان $\alpha$ در ناحیه دوم یا چهارم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.

از $\sin\alpha-\cos\alpha<0$ نتیجه می‌شود که $\alpha$ در ناحیهٔ دوم قرار ندارد.
چرا؟

با توجه به فرض مسئله داریم:
$$\begin{aligned}&\sin\alpha-\cos\alpha<0\\&\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha.\quad(*)\end{aligned}$$چون در ناحیهٔ دوم رابطهٔ $(*)$ برقرار نیست(؟)، پس $\alpha$ نمی‌تواند در ناحیهٔ دوم باشد.

پس انتهای کمان $\alpha$ در ناحیهٔ چهارم قرار دارد.
چرا؟

چون برای برخی از زاویه‌های ناحیهٔ چهارم، هر دو شرط $\sin \alpha\times\cos\alpha<0$ و $\sin\alpha-\cos\alpha<0$ برقرار است.



---

15. اگر $\sin^4 x\times\cos x < 0$ و $\tan x > \sin x$، آنگاه انتهای کمان $x$ در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

واضح است که $\sin^4 x\geq0$. پس
$$\begin{aligned}&\overbrace{\sin^4 x}^{\geq0}\times\cos x<0\\&\Rightarrow \cos x <0.\quad(1)\end{aligned}$$
از رابطهٔ $(1)$ و فرض $\tan x > \sin x$، می‌توان نتیجه گرفت:$$\sin x < 0.\quad(2)$$
چگونه؟

$$\begin{aligned}&\tan x >\sin x\\[7pt]& \Rightarrow\tan x-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x>0 \\[7pt]& \Rightarrow \sin x\big(\frac{1}{\cos x}-1\big)>0 \\[7pt]&\Rightarrow \sin x\big(\frac{1-\cos x}{\cos x}\big)>0.\quad(2)\end{aligned}$$
حال، می‌خواهیم علامت کسر $\frac{1-\cos x}{\cos x}$ را تعیین کنیم.
$\bullet$ با توجه به رابطهٔ $(1)$، مخرج کسر $\frac{1-\cos x}{\cos x}$ منفی است.
$\bullet$ چون همواره $\cos x\leq1$، پس $0 \leq 1-\cos x$ یا به‌طور معادل $1-\cos x\geq0$. بنابراین، صورت کسر $\frac{1-\cos x}{\cos x}$، نامنفی است.
پس، با توجه به رابطهٔ $(2)$ داریم:
$$\begin{aligned}&\sin x\big(\frac{\overbrace{1-\cos x}^{\geq 0}}{\underbrace{\cos x}_{ < 0}}\big) > 0\\[9pt]&\Rightarrow\sin x < 0.\end{aligned}$$

حال، از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ نتیجه می‌شود که انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ سوم قرار دارد.


---

16. اگر $180^{\circ}<\alpha<270^{\circ}$، حاصل عبارت $A=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید.
پاسخ را نشان بده!

به کمک اتحاد مثلثاتی $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ داریم:
$$\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha\sqrt{\cos^2\alpha}}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\end{aligned}$$
چون انتهای کمان $\alpha$ در ناحیهٔ سوم قرار دارد، پس $\cos\alpha<0$. بنابراین، $|\cos\alpha|=-\cos\alpha$. در نتیجه:
$$\begin{aligned} A&=\sqrt{1-2\sin\alpha|\cos\alpha|}\\&=\sqrt{1-2\sin\alpha(-\cos\alpha)}\\&=\sqrt{{\color{red}1}+2\sin\alpha\cos\alpha} \\&= \sqrt{{\color{red}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha}\\&=\sqrt{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}\\&=|\cos\alpha +\sin\alpha|\end{aligned}$$
چون $180^\circ < \alpha < 270^\circ$، پس
$$\left.\begin{aligned} &\cos\alpha < 0\\ &\sin\alpha < 0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos\alpha+\sin\alpha < 0.$$
بنابراین:
$$\begin{aligned}A&=|\overbrace{\cos\alpha+\sin\alpha}^{<0}|\\&=-(\cos\alpha+\sin\alpha)\\&=-\cos\alpha-\sin\alpha.\end{aligned}$$


---

17. اگر $\sin x>\sin^3 x$ و $\cos x<\cos^3 x$، دراین‌صورت انتهای کمان $x$ در کدام ناحیه قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

با توجه به $\sin x>\sin^3 x$، انتهای زاویهٔ $x$ در ناحیه اول یا دوم قرار دارد. $(1)$
چرا؟

$$\begin{aligned}&\sin x>\sin^3 x \\&\Rightarrow \sin x-\sin^3 x>0 \\&\Rightarrow\sin x(1-\sin^2 x)>0\\&\Rightarrow \sin x\times\underbrace{\cos^2 x}_{\geq0}>0\\[7pt]&\Rightarrow\sin x>0.\end{aligned}$$حال، چون $\sin x>0$، پس $x$ در ناحیهٔ اول یا دوم قرار دارد.

با توجه به $\cos x<\cos^3 x$، انتهای زاویه $x$ در ناحیه دوم یا سوم قرار دارد. $(2)$
چرا؟

$$\begin{aligned}&\cos x<\cos^3 x \\&\Rightarrow \cos x-\cos^3 x<0 \\&\Rightarrow\cos x(1-\cos^2 x)<0\\&\Rightarrow \cos x\times\underbrace{\sin^2 x}_{\geq0}<0\\&\Rightarrow \cos x<0.\end{aligned}$$حال، چون $\cos x<0$، پس $x$ در ناحیهٔ دوم یا سوم قرار دارد.

با توجه به دو نتیجهٔ $(1)$ و $(2)$، انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ دوم قرار دارد.


---

18. می‌دانیم $180^\circ <\alpha <360^\circ$. حاصل عبارت زیر را به ساده ترین صورت بنویسید.
    $$A=\sin\alpha-\sqrt{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}.$$
پاسخ را نشان بده!

به کمک اتحادهای مثلثاتی$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ و $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$، می‌توان نتیجه گرفت که $A=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}$ می‌رسیم.
چگونه؟

$$\begin{aligned}A=&\sin\alpha-\sqrt{\cot^2\alpha-\cos^2\alpha}\\[8pt]& =\sin\alpha-\sqrt{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\cos^2\alpha}\\[8pt]& =\sin\alpha-\sqrt{\frac{\color{red}\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\times{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\big(1-\sin^2\alpha\big)}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{{\color{red}\cos^2\alpha}\times\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]&=\sin\alpha-\sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}\\[8pt]& =\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}.\end{aligned}$$

چون $\alpha$ در ناحیه سوم و چهارم دایره مثلثاتی قرار دارد، پس $A= \frac{1}{\sin\alpha}$.
چرا؟

واضح است که $\cos^2\alpha > 0$. از طرفی، چون $180^\circ<\alpha<360^\circ$، پس $\sin\alpha < 0$. بنابراین، $|\sin x|=-\sin x$. در نتیجه، داریم:
$$\begin{aligned}A&=\sin\alpha-\frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}\\[7pt]&=\sin\alpha-\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha}\\[7pt]&=\sin\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]& =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\[7pt]&=\frac{1}{\sin\alpha}.\end{aligned}$$

---

19. اگر $135^{\circ}<\theta<180^\circ$ باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.
    $$A=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}$$
پاسخ را نشان بده!

با استفاده از اتحاد $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ می‌توان ثابت کرد:
$$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$$
چگونه؟

$$\begin{aligned}&(\sin\theta+\cos\theta)^2\\&=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\\&=1+2\sin\theta\cos\theta.\end{aligned}$$
و به طریق مشابه ثابت می‌شود:
$$(\sin\theta{\color{red}-}\cos\theta)^2=1{\color{red}-}2\sin\theta\cos\theta.$$

بنابراین
$$\begin{aligned}A&=\sqrt{1-2\sin\theta\cos\theta}-\sqrt[6]{(1+2\sin\theta\cos\theta)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{\big((\sin\theta+\cos\theta)^2\big)^3}\\&= \sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^2}-\sqrt[6]{(\sin\theta+\cos\theta)^6}\\&=|\sin\theta-\cos\theta|-|\sin\theta+\cos\theta|\end{aligned}$$
چون $135^{\circ}<\theta<180^\circ$، پس $(\sin\theta-\cos\theta)>0$ و $(\sin\theta+\cos\theta)<0$.
چرا؟

با توجه به فرض مسئله، $\theta$ در ناحیهٔ دوم قرار دارد. در ناحیهٔ دوم دایرهٔ مثلثاتی $\sin\theta>0$ و $\cos\theta<0$، پس: $$\sin\theta-\cos\theta>0.$$

می‌دانیم $|\sin135^\circ|=|\cos135^\circ|$. از طرفی، همان‌طور که در ویدئوی بالا می‌بینید اگر $135^\circ<\theta<180^\circ$، آنگاه $|\sin\theta|<|\cos\theta|$ و در نتیجه:
$$\sin\theta+\cos\theta<0.$$

بنابراین $A=2\sin\theta$.
چرا؟

$$\begin{aligned}A&=|\overbrace{\sin\theta-\cos\theta}^{>0}|-|\overbrace{\sin\theta+\cos\theta}^{<0}|\\&=(\sin\theta-\cos\theta)-\big(-(\sin\theta+\cos\theta)\big)\\&=\sin\theta-\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta\\&=2\sin\theta.\end{aligned}$$

---

20. اگر $270^\circ<x<360^\circ$ باشد، حاصل عبارت زیر را بیابید.
    $$A=\sqrt[3]{(\tan x+\cot x)^3}+\sqrt[4]{(\sin x+\tan x)^4}+\sqrt{(\cos x-\cot x)^2}$$
پاسخ را نشان بده!

$$\begin{aligned}A&=\sqrt[3]{(\tan x+\cot x)^3}+\sqrt[4]{(\sin x+\tan x)^4}+\sqrt{(\cos x-\cot x)^2}\\&=(\tan x+\cot x)+|\sin x+\tan x|+|\cos x-\cot x|.\\\end{aligned}$$

اگر $270^\circ<x<360^\circ$، آنگاه $\sin x+\tan x<0$.
چرا؟

می‌دانیم که اگر انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی $270^\circ<x<360^\circ$)، آنگاه داریم:
$$\left.\begin{aligned}\sin x<0\\\tan x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\sin x+\tan x<0.$$

اگر $270^\circ<x<360^\circ$، آنگاه $\cos x-\cot x>0$.
چرا؟

می‌دانیم که اگر انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ چهارم باشد (یعنی $270^\circ<x<360^\circ$)، آنگاه داریم:
$$\left.\begin{aligned}\cos x>0\\\cot x<0\end{aligned}\right\}\Rightarrow\cos x-\cot x>0.$$

بنابراین:
$$\begin{aligned}A&=(\tan x+\cot x)+|\overbrace{\sin x+\tan x}^{ < 0}|+|\overbrace{\cos x-\cot x}^{ > 0}|\\&=\tan x+\cot x+\big(-(\sin x+\tan x)\big)+\cos x-\cot x\\&=\tan x+\cot x-\sin x-\tan x+\cos x-\cot x\\&=-\sin x+\cos x.\end{aligned}$$

---

21. اگر $\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0$ باشد، حدود $\alpha$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

از $\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0$ می‌توان نتیجه گرفت که $\sin\alpha > \cos\alpha$.
چرا؟

می‌دانیم برای هر مقدار $\alpha$، $\sqrt{1-\cot\alpha}\geq 0$. از طرفی، چون $\sin\alpha\times\sqrt{1-\cot\alpha}>0$، پس ${\color{red}\sin\alpha > 0}$ و $\sqrt{1-\cot\alpha}>0$. بنابراین، داریم:
$$\begin{aligned} &\sqrt{1-\cot\alpha} > 0\\&\Rightarrow 1-\cot\alpha > 0\\&\Rightarrow 1 > \cot\alpha\\&\Rightarrow 1 > \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ {\color{red}(\sin\alpha > 0)}\;&\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\end{aligned}$$

در نتیجه: $45^\circ <\alpha <180^\circ$.

چرا؟

می‌دانیم که اگر $\sin\alpha>0$، آنگاه $\alpha$ در ناحیهٔ اول یا دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.

واضح است که
$$90^\circ\leq\alpha\leq180^\circ\Rightarrow\sin\alpha > \cos\alpha.\quad (1)$$

حال باید در ناحیهٔ اول دایرهٔ مثلثاتی، زاویه‌هایی مانند $\alpha$ را پیدا کنیم که برای آن‌ها $\sin\alpha > \cos\alpha$.

می‌دانیم که $\sin45^\circ=\cos45^\circ$. از طرفی، با توجه به نمودار بالا، واضح است که اگر
$$\begin{aligned}&0\leq\alpha < 45^\circ\Rightarrow\sin\alpha<\cos\alpha\\&45^\circ<\alpha\leq90^\circ\Rightarrow\sin\alpha>\cos\alpha.\quad(2)\end{aligned}$$ اکنون، باتوجه به رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ داریم: $$45^\circ < \alpha\leq180^\circ.$$

---

22. اگر $\sin x\times\cos x < 0$ و $\sin x+\cos x <0$، آنگاه انتهای کمان $x$ در چه بازه‌ای قرار دارد؟
پاسخ را نشان بده!

چون $\sin x\times\cos x < 0$، پس $\sin x$ و $\cos x$ مختلف‌العلامت هستند؛ یعنی یکی مثبت و دیگری منفی است. بنابراین، انتهای کمان $x$ در ناحیهٔ دوم یا چهارم قرار دارد.
از طرفی، می‌دانیم که $\sin x+\cos x <0$. در ناحیهٔ دوم $\sin135^\circ=-\cos135^\circ$ و در ناحیهٔ چهارم $\sin(315)^\circ=-\cos(315)^\circ$.
حال، با توجه به شکل‌های زیر، $x$ متعلق به بازهٔ $(135^\circ, 180^\circ)$ یا $(270^\circ , 315^\circ)$ است.

---

23. اگر $A=2\sin x-1$، محدوده $A$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به محدوده تغییرات $\sin x$، یعنی $-1\leq\sin x\leq1$، محدوده تغییرات $A$ در بازهٔ $[-3 , 1]$ است.
چرا؟

$$\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1 \\[7pt]&\Rightarrow -2\leq2\sin x\leq 2 \\[7pt]& \Rightarrow -2-1\leq 2\sin x-1\leq 2-1 \\[7pt]& \Rightarrow-3\leq A\leq 1.\end{aligned}$$

---

24. اگر $A=2\cos^3x+3$، محدوده $A$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

با توجه به اینکه برای هر زاویهٔ دلخواه، مانند $x$، داریم $-1\leq\cos x\leq 1$، بنابراین محدوده تغییرات $A$ در بازه $[1,5]$ قرار دارد.
چرا؟

$$\begin{aligned}& -1\leq\cos x\leq 1 \\[7pt]&\Rightarrow(-1)^3\leq(\cos x)^3\leq1^3\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq \cos^3 x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow-2\leq 2\cos^3 x\leq 2 \\[7pt]& \Rightarrow -2+3\leq 2\cos^3x+3\leq 2+3 \\[7pt]&\Rightarrow 1\leq A\leq 5.\end{aligned}$$

---

25. محدوده تغییرات $A=3\sin^4 x-1$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

باتوجه به اینکه برای هر زاویهٔ دلخواه، مانند $x$، داریم $-1\leq\sin x\leq 1$، بنابراین $-1\leq A\leq 2$.
چرا؟

می‌دانیم اگر هریک از اعداد بازهٔ $[-1 , 1]$ را به توانی زوج برسانیم، عدد حاصل مثبت خواهد شد و در بازهٔ $[0 , 1]$ قرار می‌گیرد. بنابراین داریم:
$$\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow 0\leq\sin^4 x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow 0\leq 3\sin^4 x\leq 3 \\[7pt]&\Rightarrow 0{\color{red}\,-\,1}\leq 3\sin^4 x{\color{red}\,-\,1}\leq 3{\color{red}\,-\,1}\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq 3\sin^4 x-1\leq 2\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq A\leq 2.\end{aligned}$$

---

26. محدوده تغییرات $A=\sin^2 x-4\sin x$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

$$\begin{aligned}A&=\sin^2 x-4\sin x{\color{red}\,+\,4\,-\,4}\\&= {\color{blue}(\sin x)^2\,-\,2(\sin x)(2)\,+\,2^2}-4\\&={\color{blue}(\sin x\,-\,2)^2}-4.\end{aligned}$$
بنابراین $-3\leq A\leq 5$.
چرا؟

$$\begin{aligned}& -1\leq\sin x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow -1{\color{red}\,-\,2}\leq\sin x{\color{red}\,-\,2}\leq 1{\color{red}\,-\,2}\\[7pt]&\Rightarrow -3\leq\sin x-2\leq -1 \\[7pt]& \Rightarrow 9\geq (\sin x-2)^2\geq 1 \\[7pt]&\Rightarrow 9{\color{red}\,-\,4}\geq (\sin x-2)^2{\color{red}\,-\,4}\geq 1{\color{red}\,-\,4}\\[7pt]&\Rightarrow 5\geq (\sin x-2)^2-4\geq -3\\[7pt]&\Rightarrow 5\geq A\geq -3.\end{aligned}$$

---

27. اگر $A=2\cos^2 x-\sin^2x$، محدوده تغییرات $A$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

ابتدا با استفاده از اتحاد مثلثاتی $\sin^2x+\cos^2x=1$، عبارت $A$ را فقط برحسب $\cos x$ می‌نویسیم:
$$\begin{aligned}A&=2\cos^2 x-{\color{red}\sin^2x}\\[7pt]&=2\cos^2x-{\color{red}(1\,-\,\cos^2x)}\\[7pt]&=3\cos^2x-1.\end{aligned}$$
پس $-1\leq A\leq 2$.
چرا؟

$$\begin{aligned}& -1\leq\cos x\leq1\\[7pt]&\Rightarrow 0\leq\cos^2x\leq 1 \\[7pt]& \Rightarrow 0\leq 3\cos^2x\leq 3 \\[7pt]&\Rightarrow 0{\color{red}\,-\,1}\leq 3\cos^2x{\color{red}\,-\,1}\leq 3{\color{red}\,-\,1}\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq 3\cos^2x-1\leq 2\\[7pt]&\Rightarrow -1\leq A\leq 2.\end{aligned}$$

---

28. محدوده تغییرات عبارت $A=\dfrac{\sin x-1}{\sin x+2}$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

عبارت را طوری تغییر شکل می‌دهیم که فقط در مخرج نسبت مثلثاتی $\sin x$ را داشته باشیم:
$$\begin{aligned} A&=\frac{\sin x-1{\color{red}\,+\,2\,-\,2}}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2-3}{\sin x+2}\\[9pt]&=\frac{\sin x+2}{\sin x+2}-\frac{3}{\sin x+2}\\[9pt]&=1-\frac{3}{\sin x+2}.\end{aligned}$$
حال به کمک محدوده تغییرات $\sin x$، می‌توان تعیین کرد که برای هر $x$، $\dfrac{3}{\sin x+2}$ در بازه $[1,3]$ قرار می‌گیرد.
چگونه؟

$$\begin{aligned} &-1\leq\sin x\leq1 \\&\Rightarrow 1\leq\sin x+2\leq3\\&\Rightarrow 1\geq\frac{1}{\sin x+2}\geq\frac{1}{3}\\&\Rightarrow 3\geq\frac{3}{\sin x+2}\geq1.\end{aligned}$$

بنابراین $-2\leq A \leq 0$.
چرا؟

$$\begin{aligned}& 3\geq\frac{3}{\sin x+2}\geq 1\\[9pt]&\Rightarrow -3\leq-\frac{3}{\sin x+2}\leq -1\\[9pt]&\Rightarrow -3{\color{red}\,+\,1}\leq-\frac{3}{\sin x+2}{\color{red}\,+\,1}\leq -1{\color{red}\,+\,1}\\[9pt]&\Rightarrow -2\leq 1-\frac{3}{\sin x+2}\leq 0\\[9pt]&\Rightarrow -2\leq A\leq 0.\end{aligned}$$

---

29. اگر $\sin x>\frac{1}{2}$ باشد، $x$ در چه ناحیه‌ای تغییر می‌کند؟ (روی دایره مثلثاتی نمایش داده شود.)
پاسخ را نشان بده!

خط $y=\frac{1}{2}$ را رسم می‌کنیم تا دایره مثلثاتی را قطع کند.



نقاط تلاقی خط و دایره، مکان زاویه‌هایی است که $\sin x=\frac{1}{2}$. با توجه به شکل بالا، فقط برای $30^\circ<x<150^\circ$ داریم $\sin x>\frac{1}{2}$. بنابراین $30^\circ<x<150^\circ$.


---

30. اگر $\cos x=1-m$ و $-60^\circ\leq x<60^\circ$، آنگاه محدوده $m$ را بیابید.
پاسخ را نشان بده!

همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، اگر $-60^\circ<x<60^\circ$، آنگاه $\frac{1}{2}\leq\cos x\leq1$ است.



بنابراین:
$$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\leq\cos x\leq 1\\&\Rightarrow\frac{1}{2}\leq 1-m\leq 1\\&\Rightarrow \frac{-1}{2}\leq -m\leq 0\\&\Rightarrow \frac{1}{2}\geq m\geq0.\end{aligned}$$


---