۸. ۱. ۱. ۳. با قرار دادن دو علامت ضرب و دو علامت جمع در جاهای خالی عبارتِ
\[5\;\square\; 4\;\square\;3\;\square\;2\;\square\;1\]
کدام‌یک از اعداد ۱۵، ۲۷، ۲۹، و ۳۰ می‌تواند حاصل عبارت داده شده باشد؟
راهنمای حل
همهٔ حالت‌هایی را که می‌توان دو علامت ضرب و دو علامت جمع را در جاهای خالی قرار داد، می‌نویسیم:
حالت اول.
\[5\times 4\times 3+2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $63$ است. (چرا؟)
حالت دوم.
\[5\times 4+3\times 2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $27$ است. (چرا؟)
حالت سوم.
\[5\times 4+3+2\times1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $25$ است. (چرا؟)
حالت چهارم.
\[5+4\times 3\times 2+1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $30$ است. (چرا؟)
حالت پنجم.
\[5+4\times 3+2\times1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $19$ است. (چرا؟)
حالت ششم.
\[5+4+3\times2\times1\]
دراین‌حالت، حاصل عبارت برابر $15$ است. (چرا؟)
پس حاصل عبارت نمی‌تواند برابر ۲۹ باشد.
پرسش در کلاس. در تمرین بالا، شش عددی که به‌دست آمدند متفاوت بودند:
\[63, 27, 25, 30, 19, 15\]
سارا به‌جای $a$، $b$، $c$، $d$، و $e$ پنج عدد طبیعی متفاوت قرار داد.
\[a\;\square\; b\;\square\;c\;\square\;d\;\square\;e\]
او همهٔ حالت‌هایی را که می‌توان در جاهای خالی دو علامت ضرب و دو علامت جمع قرار داد، نوشت و حاصل هر عبارت را به‌دست آورد. سارا ادعا می‌کند از شش عددی که به‌دست آورده است دو عدد باهم برابرند. آیا ادعای سارا درست است؟
درسنامهٔ ویژهٔ هشتمی‌های سمپاد
سلام، وقتتون بخیر
آیا ادعای سارا درست می شود یا خیر؟
و اینکه برای اینگونه سوالات نوشتن و قرار دادن تمام اعداد در قسمت های مجهول ممکن نیست. پس چطور از پاسخمان مطمین باشیم؟
سلام
لطفاً برای اینکه هدف از «پرسش‌درکلاس»ها را بدانید، روی آن کلیک کنید.
در اینگونه سؤالات نوشتن و قرار دادن تمام اعداد ممکن است. همان‌طور که در راه‌حل بالا ممکن شد. اگر منظورتان این است که به‌جای ۴ یا ۵ عدد، مثلاً ۱۰۰ عدد داشته باشیم، شاید حق با شما باشد. البته، در آن‌صورت هم می‌توان با یک برنامهٔ کامپیوتری، همهٔ حالت‌ها را تولید کرد. به‌شرطی که آن برنامه‌نویس خودش توانایی این را داشته باشد که همهٔ حالت‌ها را در مثال‌های کوچک‌تر بررسی کند.
توجه کنید که در این مسئله و البته، در بسیاری از مسائل کتاب‌های ریاضی تکمیلی، هدف این نیست که یک فرمول ساخته شود، دانش‌آموز آن را حفظ کند و ….
رویکرد کتاب‌های ریاضی تکمیلی بسیار متفاوت از کتاب‌های تستی و بازاری است. ریاضیات فقط حفظ کردن چند فرمول و جایگذاری اعداد در فرمول‌ها نیست.
در همین مسئله، اینکه دانش‌آموز بتواند همهٔ حالت‌ها را بنویسد، بدون اینکه حالتی را جا بیندازد یا حالت‌های تکراری را محاسبه کند، بسیار مهم است. تقویت این مهارت در ریاضیات سطوح بالا بسیار مهم است.
این سوالات راه حل ساده تری نداره؟
در این مسئله، حتماً باید همهٔ حالت‌ها بررسی شود.
ادعای سارا درست است
لطفاً با استدلال پاسخ دهید. توجه کنید که برای پاسخ به همهٔ مسائل ریاضی باید دلیل بیاورید.
همه حالات را می نویسیم ودو عبارت مشابه ab+cd+e=ab+c+de در نظر می گیریم. سپس d را برابر 1 می گیریم و این دو عبارت برابر میشوند پس می توانیم بگوییم این ادعا می تواند صحیح باشد.
آیا فرمولی برای محاسبهٔ تعداد حالات ممکن (که در این مسئله ۶ حالت است)، وجود دارد؟
(بدون نوشتن تمام حالت‌های ممکن)
فرمولی که خود به خود حاصل را حساب کند؟!
منظورم فرمولی است که تعداد حالت‌های ممکن را محاسبه کند نه حاصل آنها را. مثلاً اگر به‌جای ۲ علامت ضرب و جمع، ۳ علامت ضرب و جمع و با اعداد بیشتر داشتیم بتواند حالات ممکن قرارگیری این علامت‌های ضرب و جمع در کنار هم را محاسبه کند.
در این سایت رویکرد حفظ فرمول‌ها نیست. در این مسئله هم نیازی به حفظ فرمول نیست.
ضمنا درباره کامنت پایین باید بگم شکل درست اینطوریه:
5×4+3×1+2=25
5×4+3+2×1=25
قابل توجه همه دوستانی که میخوان این پاسخ نامه کتاب رو بخرن، باید بگم که همه سوالات، نه فقط این فصل بلکه همه فصل ها به صورت تشریحی بوده و پاسخ اشکالاتتون هم در یک روز داده میشه خود من هم خریدم و الان خیلی راضی و ام و واقعا میگم ارزش هزینه داده شده رو برای من داره و به همه پیشنهاد میکنم.
سلام !
شش حالت مختلف وجود داره برای اعداد که عبارتند از :
ab+cd+e
a+bc+de
abc+d+e
a+bcd+e
ab+c+de
خب الان اثبات میکنم که سارا ممکنه راست گفته باشه ( هر چند اگر منظورتون فقط صرفا از نظر جبری بوده خب دروغ گفته )
فرض کنین اولین و اخرین حالت برابره یعنی :
ab+cd+e=ab+c+de
cd+e=de+c
d(c-e)=c-e
حال اگر d=1 برابری حاصل می شود
مثالی برای درستی ادعای سارا:
اگر از جپ به راست اعداد به ترتیب 2 1 3 4 5 باشند انگاه :
5×4+3×1+2=25
5×4+3+1×2=25
پس حداقل یک حالت وجود داره که درسته ممکنه ادعا سارا درست باشه اما ممکن هم هست که غلط باشه بنابراین میتونه راست گفته باشه !
ایا جوابم درسته یا استدلالم مشکل داره ؟!؟؟؟
ادعای سارا به نظرم درسته اگه علائم ضرب و جمع رو جاگذاری کنیم و با رعایت ترتیب علائم حاصل رو بدست بیاریم دو عبارت از بیت شش عبارت حاصل با هم برابرند (a*b+c+d*e=ab+c+de و حاصلa*b+c*d+e=ab+c+de
سلام با چه الگویی 6 حالت را پیدا کردید لطفا مفصل
این سوال رو و سوالهای شبیه به این رو توضیح دهید.
می‌خواهیم همهٔ حالت‌هایی را بنویسیم که می‌توان \(\times\times++\) را در یک صف چید. همهٔ این حالت‌ها عبارتند از:
\[\begin{aligned}&\times\times++\\&\times+\times+\\&\times++\times\\&+\times\times+\\&+\times+\times\\&++\times\times.\end{aligned}\]
مشابه چنین مسئله‌ای را احتمالاً قبلاً هم دیده‌اید. مثلاً با دو رقم \(1\) و دو رقم \(2\) چند عدد چهاررقمی می‌توان ساخت؟ همهٔ آنها را بنویسید.
\[\begin{aligned}&1122\\&1212\\&1221\\&2112\\&2121\\&2211.\end{aligned}\]
درود
در مورد پرسش ارایه شده ،تیتر سوال که عددها متفاوت هستند و عددهای حاصل نیز متفاوتند و هیچ دو عددی برابر نیستند ، پس ادعای سارا غلط است ،اگه سوال رو درست متوجه نشدم لطفاً راهنماییم کنید! ممنونم از سایت بسیار خوبتون
درود بر شما که با علاقه همهٔ نوشته های سایت را دنبال می‌کنید.
از همراهی با شما بی‌نهایت خوشحالیم.
به این سادگی نمی‌توان گفت که ادعای سارا غلط است. از اینکه پنج عدد متفاوت باشند، نمی‌توان نتیجه گرفت که حاصل‌ها نیز متفاوت‌اند.
29 هم میشه
چگونه؟
به ترتیب اگر علامت ها را از چپ به راست (+) ، (*) ، (* ) و (*) بزاریم ، حاصل برابر با 29 می شه . منظور (*) علامت ضرب است .
سلام عزیزم
روی سوال گفته که فقط دو بار از ضرب و دو بار از جمع میتونیم استفاده کنیم در حالتی که شما فرمودین سه بار عملیات ضرب صورت میگیره
عاااالیییی دست تون درد نکنه من اول حل میکنم بعد تو سایت شما از جواب خودم مطمئن میشوم