۸. ۱. ۱. ۹. الگوی عددی زیر را در نظر بگیرید.
الف) دو سطر بعدی این الگو را بنویسید.
ب) اگر این الگو را تا سطر بیستم بنویسیم و سپس همهٔ عددهای آن را با هم جمع بزنیم، حاصل چه عددی میشود؟
ج) این الگو را تا سطر چندم ادامه دهیم که مجموع همهٔ عددهای آن $-144$ شود؟
راهنمای حل
الف) سطر پنجم الگوی بالا:
\[-5,5,-5,5,-5\]
سطر ششم الگوی بالا:
\[6,-6,6,-6,6,-6\]
ب) همان‌طور که می‌بینید، مجموع اعداد سطرهای زوج برابر صفر و مجموع اعداد سطرهای فرد قرینهٔ شمارهٔ آن سطر است. پس اگر این الگو را تا سطر بیستم بنویسیم و سپس همهٔ عددهای آن را باهم جمع بزنیم، داریم:
\[\begin{aligned}&-1+(-3)+(-5)+(-7)+\cdots(-19)\\&=\frac{-20\times10}{2}\\&=-10\times 10\\&=-100.\end{aligned}\]
ج) چون
\[-144=-12\times 12\]
پس بنا به قسمت «ب» همین مسئله و تمرین ۶ صفحهٔ ۵، اگر این الگو را تا سطر ۲۳اُم ادامه دهیم، آن‌وقت مجموع همهٔ عددهای آن برابر $-144$ میشود.
درسنامهٔ ویژهٔ هشتمی‌های سمپاد
۱۴۴- که زوج هست پس چرا از روش مجموع اعداد فرد رفتیم؟
منظورتان از «روش مجموع اعداد فرد» را متوجه نشدم
مجموع اعداد تا سطر ۲۳اُم و تا سطر ۲۴اُم برابر \(-144\) است.
سلام
اگر تا سطر ۲۴ ام هم مجموع اعداد را حساب کنیم باز هم به عدد ۱۴۴- می‌رسیم بنابراین این پاسخ هم درست هست اما در پاسخ سوال به این موضوع اشاره ای نشده است !
سلام
بله. تا سطر ۲۴ام را هم مجموع اعداد برابر \(-144\) است. چون مجموع سطرهای زوج، صفر است.
میشود قسمت ج را واضح تر توضیح دهید؟
در کامنت پایینی توضیحات مفصل‌تری نوشته شده است. لطفاً بخوانید و اگر مشکلتان حل نشد، در پاسخ به همان کامنت، دقیقاً بنویسید که کجای راه‌حل را متوجه نشده‌اید.
لطفا قسمت ج رو واضح تر توضیح دهید روش حل را کامل بیان کنید . چگونه نتیجه گرفته شد که n = ۱۲ است توی مجموع منفی ها؟؟؟
اگر قسمت «ج» را به‌دقت ببینید، پاسخ واضح است.
مجموع اعداد سطر اول برابر است با \(-1\).
مجموع اعداد سطر اول و دوم برابر است با \(-1\).
مجموع اعداد سطر اول، دوم، و سوم برابر است با \(-1-3\).
مجموع اعداد سطر اول، دوم، سوم، و چهارم برابر است برا \(-1-3\).
مجموع اعداد سطر اول تا پنجم برابر است با \(-1-3-5\).
مجموع اعداد سطر اول تا ششم برابر است با \(-1-3-5\).
.
.
.
آیا به تمرین ۶ صفحهٔ ۵ کتاب ریاضی تکمیلی هشتم مسلط هستید؟ اگر باشید، به‌راحتی می‌توانید بفهمید که چرا نوشته‌ایم \(-144=-12\times12\).
برای جمع اعداد یک تا n ( به شرط زوج بودن ) میتونیم با کمی دقت فرمول زیر رو پیدا کنیم :
(2^(n/2))-
که اینجا می بینیم -144 مساوی با این فرمول هست پس :
n/2)^2=144)
12-یاn/2=+12
n شماره سطر هست و مثبته از این رو حاصل هم مثبته پس مثبت 12 رو می پذیریم
n/2=12
n=24
پس سطر 24 هم جواب میشه همونطور که در کامنت پایین توضیح دادم .
سلام من اینطوری میگم :
ابتدا دو رابطه ای که کشف کردم :
اگر اعداد را از سطر اول تا سطر n ( به شرط فرد بودن n ) جمع بزنیم حاصل برابر است با : (2^(n+1/2))-
خب اگر سطر زوج بود حاصل همون جمع فرد قبلی خواهد بود ( چون جمع خودش 0 میشه تغییری رخ نمیده )
خب حاصل این شده -144 پس :
2^(n+1/2)=144
12-یاn+1/2=+12
چون n شماره سطر هست پس عدد مثبته و حاصل هم مثبته پس -12 غلطه و +12 رو قبول می کنیم حال :
n+1/2=12
n+1=24
n=23
پس سطر مورد نظر 23 هست البته سطر 24 هم میتونه باشه چرا که جمع اعداد سطر 24 0 خواهد بود و تغییری ایجاد نمی کنه پس سطر 23 یا 24 جواب نهایی می باشد
میتونیم بگیم که توی سطری که Nفرد باشه عدد اول اون سطر از چپ Nمنفی هست و بعدش Nمثبت و همینجوری توی اون سطر به تعداد N.مثلا توی سطح سوم که فرد هست اولی ازچپ منفی۳بعدش۳وبعدش هم منفی۳ وبه تعداد ۳تا عدد اینجوری
با سلام
مگه نگفتید جمع سطر های زوج صفر میشه پس چرا توی بخش ب گفتید جواب ۱۰-×۱۰
مجموع سطرهای زوج برابر صفر میشه؛ ولی در قسمت «ب» می‌خواهیم مجموع همهٔ سطرهای اول تا بیستم را به‌دست آوریم.
میشه سوال (ج) رو کامل توضیح بدید
در کامنتی که قبلاً گذاشته بودید، توضیحاتی نوشته شد. آیا پاسخ کامنت قبلی‌تان را خوانده‌اید؟
(کامنت‌های پایین را ببینید.)
میشه سوال (ج) کامل تر و بیشتر توضیح بدید
توجه داشته باشید که نباید نگاهتان به کتاب ریاضیات تکمیلی مثل کتاب‌های تمرین بازاری باشد. در این کتاب، در خیلی از تمرین‌ها درواقع یک درس مطرح میشود و تا وقتی آن تمرین یا درس نهفته در آن را متوجه نشوید، نمی‌توانید به‌راحتی تمرین‌های بعدی را حل کنید.
در قسمت «ب» این تمرین فهمیدم که مجموع اعداد این الگو تا سطر \(n\)اُم باید قرینهٔ یک عدد مربع کامل باشد. (حاصل‌جمع اعداد فرد متوالی را در تمرین ۶ صفحهٔ ۵ آموخته بودیم.) مثلاً در قسمت «ب» مجموع اعداد تا سطر \(20\)اُم برابر \(100\) یا \(10\times 10\) شد. بین \(20\) و \(10\) چه رابطه‌ای وجود دارد؟
چطور میشه در سوال { ب) } سطر های فرد را جمع بستید؟
از روش جمع زدن نجمه در سؤال ۷ صفحهٔ ۶ استفاده شده است.
و البته، می‌توان از روشی که در سؤال ۶ صفحهٔ ۵ هم آمده، استفاده کرد.
سلام ببخشید ای کاش این مسیله رو بز تر میکردید من الان متوجه نشدم یعنی اگر این مسیله رو بهم بدن نمیتونم حل کنم ممنون از توضیحاتتون ساییتون بینظیره ولی خب من این سوالو متوجه نشدم لطفا یک جوری بیشتر بازش کنید
سلام
اگر هرجایی از راه‌حل‌ها را متوجه نشدید، لطفاً دقیقاً مشخص کنید. (مثلاً بفرمایید: خط دوم تساوی‌های قسمت «ب» را متوجه نشدم.) در این صورت ما میتوانیم پاسخ پرسش‌های شما را بدهیم.
سلام.گفتن که اعداد سطرهای زوج رو اگه باهم جمع ببندیم میشه ۰.وبرای سطرهای فرد دو اگه بخوایم جمع ببندیم مثلا برای سطر۵میشه قرینه ۵ برای سطر ۱میشه منفی ۱ وبرای۳میشه منفی۳ حالا باید اینارو که میشن اعداد فردمنفی متوالی تامنفی۱۹ جمع ببندیم سوال گفته تاN۲۰ولی چون ۲۰ میشه زوج وصفر تا منفی ۱۹کجمع میبیندیم.بعدش هم اومده تعداد رو که شد۱۰در میانگین که میشه اولی +آخری تقسیم بر۲ ضرب میکنه که میشه مجموع
من سوال جیم رو متوجه نمیشم یکم واضح تر توضیح بدین
منظور از 12+12- =144- چیه
بیشتر توضیح بدید
حاصل‌جمع اعداد سطر اول برابر است با: #(-1)#
حاصل‌جمع اعداد سطرهای اول، دوم، و سوم برابر است با: #(-1)+(-3)#.
حاصل‌جمع اعداد سطرهای اول تا پنجم برابر است با: #(-1)+(-3)+(-5)#.
حاصل‌جمع اعداد سرهای اول تا هفتم برابر است با: #(-1)+(-3)+(-5)+(-7)#.
#\vdots#
می‌توان حاصل‌جمع اعداد سطر اول را این‌گونه نوشت:
\[\begin{aligned}-1=-1\times1.\end{aligned}\]
می‌توان حاصل‌جمع اعداد سطرهای اول، دوم، و سوم را این‌گونه نوشت:
\[\begin{aligned}(-1)+(-3)=-2\times2.\end{aligned}\]
می‌توان حاصل‌جمع اعداد سطرهای اول تا پنجم را این‌گونه نوشت:
\[\begin{aligned}(-1)+(-3)+(-5)=-3\times3.\end{aligned}\]
می‌توان حاصل‌جمع اعداد سطرهای اول تا هفتم را این‌گونه نوشت:
\[\begin{aligned}(-1)+(-3)+(-7)+(-9)=-4\times4.\end{aligned}\]
#\vdots#
حتماً تمرین ۸. ۱. ۱. ۶ را ببینید. (در راه‌حل بالا هم تأکید شده که این تمرین را ببینید؛ برای مشاهده کافی است روی آن کلیک کنید!)
پس حاصل‌جمع اعداد سطر اول تا سطر \(n\)اُم به‌صورت #-n\times n# است. حال، چون #144=-12\times12#، و
\[\begin{aligned}(-1)+(-3)+(-5)+\dots+(-23)=-12\times12\end{aligned}\]
پس اگر اعداد این الگو را تا سطر #23#اُم ادامه دهیم، حاصل‌جمع همهٔ اعداد برابر #-144# است. (البته، چون حاصل‌جمع اعداد سطر #24#اُم برابر صفر است، پس اگر الگو را تا سطر #24#اُم هم ادامه دهیم، حاصل‌جمع همهٔ اعداد برابر #-144# است.)
در انتهای توضیح nها عدد یکسانی نیستند.
میتوانیم تا سطر 24ام نیز ادامه دهیم چون آن سطر نیز مجموع اش صفر است
بله! کاملاً درست می‌فرمایید.